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1、学习必备欢迎下载 第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习 1、二次根式的概念： 1、定义：一般地，形如 （a0 ）的代数式叫做二次根式。当a0 时， 表示 a的算术平方根，当a小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号 下为负数，则无实数根） 概念：式子 （a0 ）叫二次根式。 （a0 ）是一个非负数。 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、 3 3、 1 x 、x（x0） 、 0、 4 2、-2、 1 xy 、xy（x0 ，y?0 ） （2）在 式 子 23 0,2 ,12,20,3 ,1 , 2 x xyyxxxxy 中，二次根式有（）
2、A. 2 个B. 3 个C. 4个D. 5 个 （3）下列各式一定是二次根式的是（） A. 7B. 3 2mC. 2 1aD. a b 2、二次根式有意义的条件 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43x（2）a8 3 1 （3）4 2 m（4） x 1 2、 2 1 x x 有意义，则； 3、若 x x x x 3 2 3 2 成立，则 x 满足_ 。 典型练习题： 1、当 x 是多少时，23x+ 1 1x 在实数范围内有意义？ 2、当 x 是多少时， 23x x +x 2 在实数范围内有意义？ 3、当_时，212xx有意义。 学习必备欢迎下载 4、使式子
3、2 (5)x有意义的未知数x 有（）个 A0 B1 C2 D无数 5、已知 y=2x+2x+5，求 x y 的值 6、若3x+3x有意义，则 2 x=_ 7、若 1 1 m m 有意义，则 m的取值范围是。 8、已知 2 22xx，则 x 的取值范围是。 9、 使等式1111xxxx成立的条件是。 10 、已知 23 3xxx3x，则（） （A）x0（B）x3（C）x3（D）3x0 11、若 xy0，则 22 2yxyx 22 2yxyx（） （A）2x（B）2y（C）2x（D）2y 12、若 0x1，则4) 1 ( 2 x x4) 1 ( 2 x x等（） （A） x 2 （B） x 2 （
4、C）2x（D）2x 13、化简 a a 3 (a0)得（） （A） a （B）a（C） a （D）a 3、最简二次根式的化简 最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足： （1）被开方数的因数是整数， 字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一 个二次根式化为最简二次根式呢？ 题型一：判断下列是不是最简二次根式： 1x8、 3 1 、 2 9x 、 322 2babba 、 题型二：不同类型二次根式的化简成最简二次根式 一、被开方数是整数或整数的积 例 1 化简： （1）162； （2）7532. 解： （1）原式 =281=29 2 =29 2 =29； （2）原
5、式 =325216=654 22 =254 22 =620. 学习必备欢迎下载 温馨提示： 当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积 的算术平方根的性质进行化简. 二、被开方数是数的和差 例 2 化简： 22 ) 2 1 () 2 3 (. 解：原式= 4 1 4 9 = 4 10 =10 2 1 . 温馨提示： 当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简. 三、被开方数是含字母的整式 例 3 化简： （1） 34 18yx；（2） 322 2babba. 解： （1）原式 =yyx2)(3 2222 =yyx23 2 ； （2）原式 =)2( 22 babab= 2
6、 )(bab=bba)(. 温馨提示： 当被开方数是单项式时，应先把指数大于 2 的因式化为 2 )( m a或 aa m2 )(的形式再化简 ； 当被开方数是多项式时， 应先把 多项式分解因式再化简 ， 但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差 例 4 化简： （1） ba x 2 3 8 3 （2） y x x y 解： （1）原式 = bba bx 28 23 2 3 = 222 2 4 6 ba bxx =bx ab x 6 2 ； （2）原式= xy yx 22 = 22 22 )( yx xyyx =)( 1 22 yxxy xy . 温馨提示
7、： 当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的 算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简. 典型练习题： 1、把二次根式 x y （y0）化为最简二次根式结果是（） A x y （y0）Bxy （y0） C xy y （y0） D以上都不对 2、化简 422 xx y =_ （x0） 3、a 2 1a a 化简二次根式号后的结果是_ 学习必备欢迎下载 4、已知xy0，化简二次根式 2 y x x 的正确结果为 _ 5、已知 a、b、c 为正数， d 为负数，化简 22 22 dcab dcab _ 4、同类的二次根式 1、以下二次根式：12； 2 2 ；
8、2 3 ；27中，与3 是同类二次根 式的是（） A和B和C和D和 2、在8 、 1 75 3 a、 2 9 3 a、 125、 3 2 3a a 、3 0.2、-2 1 8 中，与 3a是同 类二次根式的有 _ 3、 ab、 3 1 ba 3 、 b a x 2 是同类二次根式（） 4、若最简根式 3 43 a b ab与根式 232 26abbb 是同类二次根式， 求 a、b 的值 5、若最简二次根式 22 32 3 m与 2 12 410 n m是同类二次根式，求m、n 的值 5、二次根式的非负性 1若1a+1b=0，求 a 2004+b2004 的值 2. 已知1xy+3x=0，求 x
9、 y 的值 3. 若 2 440xyyy，求 xy的值。 4. 若1x3y0，则(x1) 2( y3) 2_ 5. 已知,a b为实数，且1110abb，求 20052006 ab的值。 学习必备欢迎下载 6、 a a aa 2 的应用 1 a0 时， 2 a 、 2 ()a、- 2 a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的 是（） A 2 a = 2 ()a- 2 aB 2 a 2 ()a- 2 a C 2 a 2 a = 2 ()a 2先化简再求值：当a=9时，求 a+ 2 12aa 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式 =a+ 2 (1)a=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原
10、式 =a+ 2 (1)a=a+（a-1）=2a-1=17 两种解答中， _的解答是错误的，错误的原因是_ 3若 1995-a +2000a=a，求 a-1995 2 的值 （提示：先由 a-20000，判断 1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值） 4. 若-3x2 时，试化简 x-2+ 2 (3)x+ 2 1025xx。 5化简 a 1 a 的结果是（） A a BaC- a D-a 6把（ a-1） 1 1a 中根号外的（ a-1）移入根号内得（） 7、求值问题 1.当 x=15+7 ,y=15-7 ,求 x 2-xy+y2 的值 2已知 a=3+22，b=3-22，则 a 2b-a
11、b2=_ 3.已知 a=3 -1,求 a 3+2a2-a的值 3 x y 4已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 9 3 xx+y 2）-（x2 1 x -5x y x ）的值 5已知5 2.236 ，求（80- 4 1 5 ）-（ 1 3 5 + 4 45 5 ）的值 （结果精确到 0.01） 6先化简，再求值 a0 a0 学习必备欢迎下载 （6x y x + 33 xy y ）-（4y x y +36xy） ，其中 x= 3 2 ，y=27 7当 x= 1 21 时，求 2 2 1 1 xxx xxx + 2 2 1 1 xxx xxx 的值 （结果用最简二次根 式表示）(
12、注：设分子分母分别为a、b，求出 a+b 与 a-b) 变形题 7： 8. 已知 2 310xx，求 2 2 1 2x x 的值。 9、已知 x 23 23 ，y 23 23 ，求 32234 23 2yxyxyx xyx 的值 （先化简 xy，再 化简分式，求值） 10、当 x12时，求 2222 axxax x 222 22 2 axxx axx 22 1 ax 的值 学习必备欢迎下载 11、若 x，y 为实数，且 yx4114x 2 1 求 x y y x 2 x y y x 2 的值 8、比较大小的问题 1、 设 a=23， b=32， c=25， 则 a、 b、 c 的大小关系是。
13、2、35与 26比较大小。 3、化简： (752) 2000 (752) 2001_ 4、9. 2 3和3 2的大小关系是（） A. 2 33 2 B. 2 33 2 C. 2 33 2 D. 不能确定 9、二次根式的整数部分、小数部分的问题 1、 x，y 分别为 86的整数部分和小数部分，则2xyy 2_ 2、已知 ab 分别是 6-13的整数部分和小数部分 , 那么2a-b 的值为多少？ 3、9.已知111的整数部分为 a，小数部分为 b，试求111ba的值。 10、二次根式的化简计算 1、当 a0，b0 时， a2abb 可变形为（） （A） 2 )(ba（B） 2 )(ba（C） 2
14、)(ba（D） 2 )(ba 2、 （235） （235） ；3、 114 5 711 4 73 2 ； 212 5 . 121 335 5323 6 .3 2 b aba b ba 4、 （ a 2 m n m ab mn m n n m ） a2b2 m n ； 学习必备欢迎下载 5、 （a ba abb ）（ bab a aab b ab ba ） （ab） 6、 3 2 nn mm （- 3 3 1n mm ） 3 2 n m （m0，n0） 7、-3 22 2 33 2 mn a （ 2 3 2 mn a ） 2 a mn （a0） 8、 22 11 aa aa 9、 2ababab abab 10、x y y xyxxy xyy xyxxy 11、 2aabbaba abaabbabbab