【优质文档】全部的初等不等式证明.pdf

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1、学习必备欢迎下载 初等不等式证明 一、基本不等式及应用 基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理， 用于证明其他 一些不等式 . 基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式. 1.平均值不等式 设 12 , n a aa是n个正实数，记 12 111 n n n H aaa ， 12 n nn Ga aa， 12n n aaa A n ， 222 12n n aaa Q n ， 分别称 nnnn HGAQ、为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则 有 nnnn HGAQ， 当且仅当 12n aaa时取等号 . 2.柯西（ Cauc

2、hy）不等式 设,(1,2, ) ii a bR in，则 222 111 ()()() nnn iiii iii a bab， 当数组 12 , n a aa； 12 , n b bb不全为零时，当且仅当(1,2, ,0) ii ba in时取 等号 . 3.排序不等式 设两组实数 12 , n a aa； 12 , n b bb，满足 12n aaa， 12n bbb，则 有 1211nnn a ba ba b（反序和） 12 12 n iin i a ba ba b（乱序和） 1 12 2nn a ba ba b（同序 和） 当且仅当 12n aaa，或 12n bbb时取等号 . 学习

3、必备欢迎下载 4.琴生（ Jensen ）不等式 设连续函数( )f x的定义域为( ,)a b，如果对于( , )a b内的任意两个数 12 ,x x，都有 1212 ()() () 22 xxf xf x f， 则称( )f x为( , )a b上的凸函数 .若上式不等式反号，则称( )f x为( , )a b上的凹函数 . 若( )f x为( , )a b上的凸函数，则对于任意 12 ,( , ) n x xxa b有 12 12 1 ()()()() n n xxx ff xf xf x nn ， 当且仅当 12n xxx时取等号 . 若为( , )a b上的凹函数，则对于任意 12

4、,( , ) n x xxa b有 12 12 1 ()()()() n n xxx ff xf xfx nn ， 当且仅当 12n xxx时取等号 . 5.贝努利（ Bernoulli）不等式 设1x，若0，或1，则 (1)1xx. 若0 1，则 (1)1xx. 当且仅当0x时，以上两式均取等号. 6.赫尔德（ H lder）不等式 设,(1,2, ) iii a blRin，又,R，且1，则有 1111 () ()() nnnn iiiiii iiii a blabl，. 当且仅当 111 (1,2, ) kkk nnn iii iii abl kn abl 时取等号 . 特别当 1 n

5、时，有 1 1111 () ()()() nnnn n n iiiiii iiii a blabl. 7.切比雪夫 (Chebyshev)不等式 设两组实数 12 , n a aa； 12 , n b bb，若满足 12n aaa， 12n bbb或 12n aaa， 12n bbb，则有 学习必备欢迎下载 111 111 ()() nnn iiii iii a bab nnn . 若满足 12n aaa， 12n bbb，或 12n aaa， 12n bbb， 则有 111 111 ()() nnn iiii iii a bab nnn . 当且仅当 12n aaa，或 12n bbb时以上

6、两式均取等号. 8.加权幂平均不等式 设,(1,2, ) ii apRin，, r sR，且rs，则 11 11 11 nn rs rs iiii ii nn ii ii p ap a pp ， 当且仅当 12n aaa时取等号 . 9. 其他 （1）设, , ,x y zR，且(21)k（kZ） ，则 i） 222 1 c o sc o sc o s() 2 y zz xx yxyz 当且仅当sinsinsinyzzxxy时取等号 . ii ） 2222 1 sinsinsin() 4 yzzxxyxyz， 当且仅当sin 2sin 2sin 2yzzxxy时取等号 . （2） 设 , ,1

7、,2, , ij xR i jn 则 22 1111 () nnnn ijij ijji xx， 当且仅当 123 : iiini xxxx（常数），1,2,3,in时取等号 . （3）设, iiii x y zlR， 2222 0 iiii xyzl，1,2,3,in，则 22222222 1111 11111 ()()()() nnnnn iiii iiiii xyzlxyzl ， 当且仅当: iiii xyzl（常数），1,2,3,in时取等号 . （4）两个有用定理 定理 1 设, ,u vR ，记 1 suv， 2 suvvu， 3 suv， 1 3 3 3 s x s ， 学习必备

8、欢迎下载 2 2 3 3 3 s y s ，则 i） 2 3()61(1) (91)(1)xyxyxyxyxy ( 1 )( 2 ) 32 83()61(1) (91)(1)xxyxyxyxyxy； ii） 2 3()61(1) (91)(1)xyxyxyxyxy ( 3 )( 4 ) 32 83()61(1) (91)(1)yxyxyxyxyxy. 当且仅当, ,u v中有两个数相等且不小于第三个数时，（1） 、 （ 4）两式取等号；当且仅 当, ,u v中有两个数相等，且不大于第三个数时，（2） 、 （3）两式取等号. 推论 1 同定理 1 条件，有 ( 5 )( 6 ) 32 4(1)4

9、(1) 164129()21 9595 xyxy xyxxyxy xyxy ； (7)(8) 32 4(1)4(1) 164129()21 9595 xyxy xyyxyxy xyxy 当且仅当uv时， （5） 、 （6） 、 （7） 、 （ 8）四式取等号. 推论 2 同定理 1 条件，有 3363 ( 9 )( 1 0 ) 122 72272 87 2 96 4 82 0 8 972 yyyy x yy ； 3363 ( 1 1 )( 1 2 ) 122 722 72 87 2 96 4 82 0 8 97 2 xxxx y xx ， 当且仅当uv时， （9） 、 （10） 、 （11）

10、、 （12）四式均取等号. 定理 2 设, ,u vR， 记 1 suv， 2 suvvu， 3 suv， 2 12 3wss （ 1 0ws） ，则 32322323 ( 1 3 )( 1 4 ) 11111111 3 32(2) ()(2) ()32 2 72 72 72 7 ss wwswswswswss ww s， 当且仅当, ,u v中有两个数相等，且不小于 1 1 3 s时， （13）式取等号；当且仅当, ,u v中有 两个数相等，且不大于 1 1 3 s时， （14）式取等号 . 推论 3 同定理 2 条件，特别当 1 1s时，有 232223 ( 1 5 )( 1 6 ) 13

11、2(12) (1)(12) ( 1)132 2 72 72 72 7 wwwwwwww uv， 学习必备欢迎下载 当且仅当, ,u v中有两个数相等，且不小于 1 3 时， （15）式取等号；当且仅当, ,u v中有两 个数相等，且不大于 1 3 时， （16）式取等号 . 注：在应用定理2 与其推论3 时，要特别注意1 20w的情况，有时要对120w 和120w分别加以讨论，尤其在0u时的情况 . （一）算术几何平均值不等式应用例子 例 1 已知,1,2, i aRi,n, 且 1 1 n i i a ，求证 3 122311 1111 11111 nnn n aaaaaaaan （ 1）

12、当且仅当 12 1 n aaa n 时， （1）式取等号 . 例 2 （20XX 年全国十八所奥赛协作体学校试题）设, ,a b cR 且1bccaab， 求证 333 1111 666bca abcabc （2） 提示由 2 3 13bcabc知，可证更强式 333 3 1113 666bca abcabc （3） 333222 6663bcab ccaabcaba bc（） 例 3 （2005，第 17 届亚太地区数学奥林匹克）设, ,x y zR 且8xyz，则 2 33 4 3 11 x xy （4） 当且仅当2xyz时， （4）式取等号 . 注：由本题证明中可知，若将条件改为12yz

13、zxxy，结论也成立. 例 4 （自创题， 2006.12.17） 设, ,a b cR ，则 学习必备欢迎下载 2 33 4 a a bc ，（5） 例 5 （自创题，1988.10.13）设同一平面上两个凸四边形的边长分别为, , ,a b c d和 ,a b c d，面积分别为和，那么 4a ab bc cd d（6） 当且仅当这两个凸四边形都内接于圆（不一定要同一个圆），且()()()sasasb ()()()()()sbsc scsdsd时， （6）式取等号 . 这里 1 () 2 sabcd， 1 () 2 sabcd. 附：凸四边形 ABCD四边长分别为ABa，BCb，CDc，D

14、Ad，当且仅 当此四边形ABCD内接于圆时，其面积最大，最大值为 max 1 ()()()()() 4 ABCD Sabcdabcdabcdabcd（ 7） 例 6 （自创题， 2006.12.26 ）设, , ,a b c dR ，则 32222 ()4 ()()()() aa cdb dac abd bc （8） 当且仅当ac，bd时， （8）式取等号 . 例 7 设, ,x y zR ，求证 2 5 ()8 1xxyzx（9） 当且仅当xyz时， （9）式取等号 . （二）柯西不等式应用例子 例 1 设, ii xyR，1,2,in，且 1 0 n i i x， 1 0 n i i y，

15、 1 0 ij ijn x x， 1 0 ij ijn y y ， 1 n i i xx ，则 111 ()2 n iiijij iijnijn xxyx xy y（1） y x d c b a D C B A 学习必备欢迎下载 当且仅当 12 12 n n xxx yyy 时， （1）式取等号 . 在（ 1）式中，当3n时，被人们称之为“母不等式”.即以下 命题 1： 设 123123 , , , , ,x x x y y yR， 且 1 0x ， 1 0y ， 12 0x x ， 12 0y y ， 则 2311212 ()2xxyx xy y（2） 当且仅当 312 123 xxx yy

16、y 时， （2）式取等号 . 命题 1 应用如下： 1.（匹多不等式）ABC与A B C边长分别为, ,a b c和,a b c，面积分别为与 ，则 2222 ()16abc a（3） 当且仅当 ABCA B C 时， （3）式取等号 . 提示：取 222 xabc, 2222 xabc等，并应用三角形面积公式. 2. （程灵提出） 若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c， 面积分别为与， 则 ()4 3abc a（4） 当且仅当 ABC与A B C 均为正三角形时， （ 4）式取等号 . 提示：在（ 2）中取 1 xabc， 1 yabc等，并应用到 2 2bca 4 3

17、. 3.（安振平提出）若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c，面积分别为与 ，则 2 () ()1 6abcabc a（5） 当且仅当 222 ()()() abc aabcb abcc abc 时， （ 5）式取等号 . 提示：在（ 2）中取 222 1 xabc， 1 ()()yabc abc等. 4.（自创题， 1983.05.07）若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c，面积分别 为与，则 () () ()1 6aabcabcabc（6） 当且仅当ABCA B C时， （6）式取等号 . 学习必备欢迎下载 提示：在（ 2）中取 1 ()()xab

18、c abc， 1 ()()yabcabc等. 以上（ 3）式与（ 6）式有相同的取等号条件，试讨论他们左边式子的大小. 5. 设ABC三边长为,BCa CAb ABc，面积为，P为ABC内部或边界上 一点，从P分别向三边 BC、CA、AB所在直线作垂线， 垂足分别为D、E、F， 记 1 P Dr， 2 PEr， 3 PFr，则 2 2 32 4 2 r r bca . （7） 提示： 123 42()()arabc rr 2 3 2r r （a-b+c)(a+b-c) 2 2 3 2 2ar r bc. 我们还可以由 （2）式得到或证明更多不等式.又如第六章，“三角几何不等式”中的例 6、 例

19、 22 等. 注：类似上述方法，应用赫尔德不等式，有 命题 设x , iii y zR，1,2,3i，则 123123123111222 () () ()()xxxyyyzzzx y zx y zx y z 3 233112233112233112 3 ()()()()()()()()()xxxxxxyyyyyyzzzzzz. （8） 例 2 （自创题， 1988，0.4.20）设, ,x y z wR，且0,0xyzw，2，则 2222() () ()x yzwx zy wx wy z xyx yzwzw x yzw （9） 当且仅当 2222 xyxyzwzw xyzw 时， （ 9）式取

20、等号 . 注： （9）式可参阅由吴康主编的奥赛金牌之路 （高中数学）“第一章 6 三角不等式” （P81P90） ，本节系杨学枝所写. 利用同上证法可得以下命题（自创题）： 设, , ,x y z wR ，(21)k()kz，则 sinsinsinsinxyzw 学习必备欢迎下载 ()()()xyzw xzyw xwyz xyzw （10） 当且仅当，coscoscoscosxyzw时， （9）式取等号 . （10）式为笔者首创，可参见同上吴康主编的奥赛金牌之路（高中数学） P82. 本命题在中等数学杂志社组织的数学竞赛命题评奖中，获一等奖.本命题也可参见 中等数学 ，1989 年第二期，杨学

21、枝文： 对一个三角不等式的再探讨. 例 3 a , ii bR，1,2,in，则 22 11111 2 nnnnn iiiiii iiiii ababab n . （11） 注： （11）式是一个值得关注的不等式，如取3n时，可证 20XX 年中国国家队培训题： , , , , ,a b c x y zR，满足()()3abcxyz， 222222 ()()4abcxyz， 求证 0axbycz. 例4设a, ,b cR ，且3abc，则 2 2 3 2 a ab . （12） 例 5 （20XX 年.IMO.46 ）已知 x,y,z R,且1xyz，求证 52 522 0 xx xyz （1

22、3） 例 6 （20XX年 IMO预选题）设(1,2, ) i xR in, 求证 12 222222 11212 111 n n xxx n xxxxxx . （14） 例 7 a,b,c为正数，证明 2222 4()abcab abc bcaabc ，（15） 当且仅当acb，且 abc acabcb ，即acb且 332 2bcb c时， （ 15）式 取等号 . 学习必备欢迎下载 例 8 （20XX 年国家集训队测试题）设 , ,x y zR且1xyz，求证 2 2 xyyzzx xyyzyzzxzxxy （16） 例 9 （自创题， 1987.07.20） 设, ,x y z wR

23、，则 2 9 1 8 x x xx yx zx wy zy wzw （17） 当且仅当xyzw时， （17）式取等号 . 注： （17）式可推广为：设,1,2, i xRin，则 11 1 nn i iii x x 2 2 12 1 1 2 n i i ij ijj nx nn x x （18） 当且仅当 12n xxx时,(18)式取等号 . 若记 1 1 n i i sx ， 2 1 ij ij n sx x ， 12nn sx xx， 1 1 1 nn ss x ，则（ 18）式可写 成如下形式： 222 12121 (2)(1) nnn s s snn s sns s. 例 10 (陈

24、计， 2008.08.29 提供 )对正数, , ,a b c d及0k，有 4 1 abcd bkdck adk bak ck . （19） 例 11 （自创题， 2010.11,09）设, ,x y zR ，求证 3 2 22 1 3 3 x x xxyy ，（20） 当且仅当1xyz时（ 20）式取等号 . 注：猜想设,x y zR ，有 3 3 3 22 3 x x xxyy ；更强有 学习必备欢迎下载 4 3 4 22 3 x x xxyy . 例 12 设, , , . .a b c x y z非负，且abcxyz，则 ()()()3 (a x axb y byc z cza b

25、cx y z. （21） 例 13 （第 50 届 IMO 金牌得主林博提出的猜想）设, ,0a b c，求证 222 abb cca. （22） 例 14（自创题， 2001.02.02）设,x y zR ,且4yzzxxyxyz，则 xyzyzzxx. （23） 注： 1. 用类似方法，可证以下 命题设 , ,p q rR，,x y zR，且14pqrpqr，则 222 pxqyrzyzzxxy. （24） 2.第 48 届国际数学奥林匹克中国国家集训队有一道测试题（20XX年 3 月）与其相似 . 题目设正实数, ,u v w满足4uvwuvw，求证 v wu wu v uvw uvw

26、. （25） 若设 vw x u ， uw y v ， uv z w ，则原命题等价于：,x y zR，且 4yzzxxyxyz，则 xyzyzzxxy 式证明可见数学奥林匹克不等式研究第八章章练习题64 中 i ）. 例 15（第 48 届 IMO 中国国家集训队测试题）设正数 12 , n a aa，满足 12 aa 1 n a，求证 12 12231222 223311 ()() 1 n n aaan a aa aa a aaaaaan （26） 例 16 已知 22 1,abkab 22 1cdkcd，, , ,a b c d kR，且2k，求证 2 2 4 a cb d k （27）

27、 学习必备欢迎下载 当且仅当 2 2 abcdk kabcd ，即 bcad k acbd 时， （27）式取等号 . 例 17. （20XX年 IMO预选题）设(1,2, ) i xR in, 求证 12 222222 11212 111 n n xxx n xxxxxx . （28） 3. 其他基本不等式应用例子 例 1 设, ,x y zR ，则 33() () () 4 x yy zzxyzzxxy xyzx yyzy zzxzxxy (1) 2 () 2 xyz (2) ， 例 2 （自创题， 2010.07.03） 若, ,a b c为满足1abc的正数， 1 9 ，则 3 1 (

28、) () ()(3) 3 abc bca ，（ 3） 推广式，即有以下 命题若 12 , n a aa为满足 1 1 n i i a 的正数， 2 1 n ，则 12 231 1 ()()()() n n aaan aaan ，（ 4） 当且仅当 12 1 n aaa n 时， （4）式取等号 . 例 3 （自创题， 2010.07.03）若, ,a b c为满足1abc的正数， 2 3 ，则 2222222 1()abcabc，（ 5） 当且仅当 1abc 时， （5）式取等号 . 推广式以下 命题若 12 , n a aa为满足 12 1 n a aa的正数， 1 1 n ，则 222 1

29、1 1 nn ii ii aa ，（ 6） 学习必备欢迎下载 当且仅当 12 1 n aaa时， （6）式取等号 . 例 4（ 不等式研究网站 ， “竞赛不等式”专栏，20XX 年 1 月 6 日，陈胜利老师提出） 设, ,0a b c，且 1abc ，求证 62 3 11 (1)2() 3 aa a （7） 例 5 （王雍熙， 2011.08.22 提供）设, ,a b cR ，且 2 aa，则 3 1aa b cbc. （8） 本题可推广，见以下例6. 例 6（自创题， 2011.08.22）设 i aR，1,2,in，2n，记 i a（1,2,in） 中每k（1,2,kn） ,个乘积之和

30、为 k s，m为不大于n的正整数，且 2 11 nn ii ii aa ，则 11 3524 1 1 +s1 n nnn i i nn s nsn asss sns n （ 为奇数）（ 为奇数） （ 为偶数）（ 为偶数） ，（ 9） 二、其他方法证明不等式例子 例 1 （自创题， 2006.08.25 ）设 , ,x y zR，且 222 2xyzxyz1，则 142xyzyz，（1） 当且仅当 1 2 xyz，或, ,x y z中一个为零，另外二个均等于 2 2 时， （1）式取等号 . 例 2（20XX 年全国高中数学联赛A 卷加试题3） 给定整数 2n ，设正实数 12 , n a aa

31、满足1,1,2, k akn，记 12 ,1,2, k k aaa Akn k . 求证： 11 1 2 nn kk kk n aA. （2） 例3 已 知 123123 aaabbb， 122331122331 a aa aa aa aa aa a， 若 123123 min,min,a aab b b，求证： 123123 max,max,a aab b b. 学习必备欢迎下载 注. 本例可推广 . 例 4 （自创题， 2007.12.28）设, ,a b cR ，且1bc ，则 2 1 1 42abc ，（ 3） 当且仅当 3 3 abc时取等号 . 例 5 （宋庆老师在中学数学研究（广

32、东），20XX年第 1 期，文“两个优美的无理不 等式”中提出的猜想）若, ,0a b c，满足 1abc ，则 111 2 6aabbcc. （ 4） 例 6 .(20XX 年， Serbian 数学奥林匹克试题) 已知, ,a b c是正数 ,且1abc，证 明 12 7 1 31 bca a . （ 5） 例 7（陈计， 2008.05.04 提供）设, ,a b cR，nN，则 2 () () 4() () nnn bcbcbcb c bc. （ 6） 例 8 （自创题， 2008.05.07）设 , ,a b cR，求使 2222223 () () ()(2 )()bcb ccac

33、aaba ba b c abc 成立的最大正数的值 . 例 9 (自创题， 2008.08.30)设 1122 ,a b a bR，且 22222 1122 ababm，则 22 12211122 2 11221122 ()()() ()()4()() ababmabab ababmabab ，（ 7） 当且仅当 222 11 abm， 12 aa， 12 bb时， （7）式取等号 . 例 10 （江苏高三学生顾振同学2010.08.06 提供）设, ,x y zR ，且 222 1xyz， 则 学习必备欢迎下载 4 1 1 x yzxx y z ，（ 8） 当且仅当 3 3 xyz，或, ,

34、x y z中，有一个为零，其余两个都等于 2 2 时， （ 8）式取 等号 . 例 11 （自创题， 2005.12.04）设, ,a b cR ，且1abc，则 ( 233)9 ( 635 )1 0 80a b cab cb c（ 9） 当且仅当 1 3 abc，或, ,a b c中有一个等于 33 3 ，另外两个都等于 3 6 时， （9）式 取等号 . 例 12（自创题， 2007.09.18）设, ,a b cR，且1abc，则 2 71 481 abca （10） 当且仅当 1 3 abc，或, ,a b c中一个等于 2 3 ，其余两个都等于 1 6 时， （10）式取等号 . 例

35、 13 （美国， Pham Kim Hung ）设, ,a b c是三角形三边长，则 22 2 ab a ba ，(11) 当且仅当ABC为正三角形时,(11)式取等号 . 例 14 “奥数之家”2010.03.31， “476934847”提出： 设, ,a b cR ，则 2 222 2() 3 abcac bcaabc . （12） 例 15 假设P、Q、R分别是 ABC的三边BC、CA、AB上三点，且满足 1 3 AQARBRBPCPCQ， 则 1 2 PQQRRP（13） 学习必备欢迎下载 注： 1. 关于本题，有其深刻的背景，可参阅杨之所著初等数学研究的问题和课题 P297298；

36、或参阅数学通讯1991 年第 2期“问题征解”栏目杨学枝解答及编者评语； 或参阅中学数学教学参考（陕西），1992 年第 6 期，杨学枝文一个几何不等式的再加 强 ；或参阅数学通讯1996 年第 10 期，杨学枝文从一道命题谈起：也可以参阅杨学 枝主编不等式研究(西藏人民出版社，2000 年 6 月出版 )一书中杨路教授写的“序”；还 可以参阅杨学枝著 数学奥林匹克不等式研究(哈尔滨工业大学出版社，20XX 年 8 月出版 ) 一书中杨路教授写的 “序” ； 还可以参见 UNIV, BEOGRAD. PUBL. ELEKTKOTEHN.FAKser. Mat.4(1993).2527. 陈计与

37、杨学枝文:ON A ZIRAKZADEH INEQUALITY RELATED TO TWO TRIANGLES INSCRIBED ONE IN THE OTHER. 2. 由以上所得重要不等式 1 ()()(coscoscos) 3 QRRPPQabcabcABC（14） 可得较（ 13）式更强的不等式 3333 9 ()() 8 Q RR PP QB CC AA B（15） 3. 福建中学数学 ，1996 年第 4 期.杨学枝文：对一道猜想题的证明中，用与（13） 式的类似证法，给出了 2221 () 4 RP PQPQ QRQR RPBCCAAB（16） 其中,P Q R分别为,BC CA AB边上的周界中点.