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1、学习必备欢迎下载 函数、导数与不等式综合题 1 已知( )lnf xaxbx，其中0,0ab.（ 1）若)(xf在0,上是减函数，求 a 与 b 的关系； （2） 求)(xf在0,上的最大值； （3） 解不等式ln x x x x 22 1 ln2 1. 解： .（1）( )1 aabax fx axbaxb . 1 分 0,0,0xab, ( )0fx 时，0ab，即 ab. 当 a b时，0,0,0.0,0abxaxbabax, 即( )0fx . ( )f x在 0,) 上是减函数时，ba. 4 分 （2）由（ 1）知，（i）当 ba时( )f x 为减函数，( )f x 的最大值为(0
2、)lnfb ； 5 分 当 b a 时，( ) abax fx axb ， 当 0 ab x a 时，( )0fx，当 ab x a 时( )0fx， 即在 0,) ab a 上( )f x 是增函数，在,) ab a 上( )f x 是减函数，7 分 ab x a 时( )f x 取最大值， 最大值为 max( )()ln abab fxfa aa ， 即 max ln(), ( ) ln(). bba fx ab aba a 8 分 （3）在（ 1）中取1ab，即( )ln(1)f xx x , 由（ 1）知( )f x 在0,)上是减函数 . 10 分 ln x x x x 22 1ln
3、2 1，即 f( x 2 1)f(1) 12 分 x 2 11 解得 1x 0）. （）令 F（x）xf （x） ，讨论 F（x）在（ 0.）内的单调性并求极值； （）求证：当 x1 时，恒有 xln 2x2a ln x1. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、 极值和证 明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力本小题满分14 分 （）解：根据求导法则有 2ln2 ( )10 xa fxx xx ， 故( )( )2ln20F xxfxxxax， 于是 22 ( )10 x Fxx xx ， 列表如下： 学习必备欢迎下载 x (0 2)，2 (2)， ( )
4、Fx 0 ( )F x极小值(2)F 故知( )F x在(0 2)，内是减函数，在(2)， 内是增函数，所以，在2x处取得极 小值(2)22ln 22Fa （）证明：由0a知，( )F x的极小值(2)22ln 220Fa 于是由上表知，对一切(0)x， ，恒有( )( )0F xxfx 从而当0x时，恒有( )0fx，故( )f x在(0)， 内单调增加 所以当1x时，( )(1)0f xf，即 2 1ln2 ln0xxax 故当1x时，恒有 2 ln2 ln1xxax 4 （ 2007 山东理22）设函数 2 ( )ln(1)f xxbx，其中0b （）当 1 2 b时，判断 函数( )f
5、 x在定义域上的单调性； （）求函数( )f x的极值点； （）证明对任意的正整数n， 不等式 23 111 ln1 nnn 都成立 解： （）由题意知，( )f x的定义域为( 1)， 3 22 ( )2 11 bxxb fxx xx 设 2 ( )22g xxxb，其图象的对称轴为 1 ( 1) 2 x， max 11 ( ) 22 g xgb 当 1 2 b时， max 1 ( )0 2 g xb， 即 2 ( )230g xxxb在( 1)，上恒成立， 当( 1)x，时，( )0fx， 当 1 2 b时，函数( )f x在定义域( 1)，上单调递增 学习必备欢迎下载 （）由（）得，当
6、1 2 b时，函数( )f x无极值点 1 2 b时， 3 1 2 2 ( )0 1 x fx x 有两个相同的解 1 2 x， 1 1 2 x ，时，( )0fx， 1 2 x ，时，( )0fx， 1 2 b时，函数( )f x在( 1)，上无极值点 当 1 2 b时，( )0fx有两个不同解， 1 112 2 b x， 2 112 2 b x， 0b时， 1 112 1 2 b x， 2 112 0 2 b x， 即 1 ( 1)x， 2 1x， 0b时，( )fx，( )f x随x的变化情况如下表： x 1 ( 1)x， 1 x 2 ()x ， ( )fx0 ( )f x极小值 由此表
7、可知：0b时，( )f x有惟一极小值点 1 112 2 b x， 当 1 0 2 b时， 1 112 1 2 b x， 12 ( 1)xx， 此时，( )fx，( )f x随x的变化情况如下表： x 1 ( 1)x， 1 x 12 ()xx， 1 x 1 ()x， ( )fx 00 学习必备欢迎下载 ( )fx极大值极小值 由 此 表 可 知 ： 1 0 2 b时 ，( )f x有 一 个 极 大 值 1 112 2 b x和 一 个 极 小 值 点 2 112 2 b x； 综上所述：0b时，( )f x有惟一最小值点 112 2 b x； 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值点 1
8、12 2 b x和一个极小值点 112b x x ； 1 2 b时，( )f x无极值点 （）当1b时，函数 2 ( )ln(1)f xxx， 令函数 222 ( )( )ln(1)h xxf xxxx， 则 22 213(1) ( )32 11 xx h xxx xx 当0x，时，( )0fx，所以函数( )h x在0，上单调递增， 又(0)0h (0)x，时，恒有( )(0)0h xh，即 23 ln(1)xxx恒成立 故当(0)x，时，有 23 ln(1)xxx 对任意正整数n取 1 (0)x n ，则有 23 111 ln1 nnn 所以结论成立 5.（2008 四川卷 22） 已知3
9、x是函数 2 ln 110fxaxxx的一个极值点。 （）求a； （）求函数fx的单调区间； （）若直线yb与函数yfx的图象 有 3 个交点，求b的取值范围。 【解】 ： （）因为 210 1 a fxx x 所以 36100 4 a f 学习必备欢迎下载 因此16a （）由（）知， 2 1 6 l n 11 0 ,1,fxxxx x 2 243 1 xx fx x 当1,13,x时， 0fx 当1,3x时， 0fx 所以fx的单调增区间是1,1 , 3, fx的单调减区间是1,3 （）由（）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调 增加，且当1x或3x时， 0fx 所以
10、fx的极大值为116ln 29f，极小值为332ln 221f 因此 2 161610 1616ln 291ff 2 13 21 12 13fef 所以在fx的三个单调区间1,1 , 1,3 , 3,直线yb有 yfx 的图象各有一 个交点，当且仅当31fbf 因此，b的取值范围为32ln 221,16ln 29。 6.（2008 安徽卷 20） 设函数 1 ( )(01) ln f xxx xx 且。 （）求函数( )f x的单调区间； （）已知 1 2 a x x对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围。 解 (1) 22 ln1 ( ), ln x fx xx 若 ( )0,fx则 1
11、 x e 列表如下 x 1 (0,) e 1 e 1 (,1) e (1,) ( )fx+ 0 - - ( )f x单调增极大值 1 ( )f e 单调减单调减 学习必备欢迎下载 (2) 在 1 2 a x x两边取对数 , 得 1 ln 2lnax x ,由于01,x所以 1 ln 2ln a xx (1) 由(1)的结果可知 ,当(0,1)x时, 1 ( )( )f xfe e , 为使 (1)式对所有(0,1)x成立 ,当且仅当 ln 2 a e,即ln 2ae 7.（2008 山东卷 21）已知函数 1 ( )ln(1), (1) n f xax x 其中 nN*, a 为常数 . （
12、）当n=2 时，求函数f(x)的极值； （）当a=1 时，证明：对任意的正整数n,当 x2 时，有 f(x)x-1. （）解：由已知得函数f(x)的定义域为 x|x1 ， 当 n=2 时， 2 1 ( )ln(1), (1) fxax x 所以 2 3 2(1) ( ). (1) ax f x x （1）当 a0 时，由 f(x)=0 得 1 2 1x a 1， 2 2 1x a 1， 此时f（ x）= 12 3 ()() (1) a xxxx x . 当 x（ 1，x1）时， f（ x） 0,f(x)单调递减； 当 x（ x1+）时， f（ x） 0, f(x)单调递增 . （2）当 a0
13、时， f（ x） 0 恒成立，所以f(x)无极值 . 综上所述， n=2 时， 当 a0 时， f(x)在 2 1x a 处取得极小值，极小值为 22 (1)(1ln). 2 a f aa 当 a0 时， f(x)无极值 . （）证法一：因为a=1,所以 1 ( )ln(1). (1) n f xx x 当 n 为偶数时， 令 1 ( )1ln(1), (1) n g xxx x 学习必备欢迎下载 则 g（ x）=1+ 11 12 (1)11(1) nn nxn xxxx 0（ x2）. 所以当 x2,+时， g(x)单调递增， 又g(2)=0 因此 1 ( )1ln(1) (1) n g x
14、xx x g(2)=0 恒成立， 所以 f(x)x-1 成立 . 当 n 为奇数时， 要证( )f xx-1,由于 1 (1) n x 0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令h(x)=x-1-ln( x-1), 则h（ x）=1- 12 11 x xx 0（x2）, 所以当 x2，+时，( )1ln(1)h xxx单调递增，又h(2)=10， 所以当 x2 时，恒有h(x) 0,即 ln（x-1） x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1 时， 1 ( )ln(1). (1) n f xx x 当 x2，时，对任意的正整数n，恒有 1 (1) n x 1， 故只需证明1
15、+ln( x-1) x-1. 令( )1(1 ln(1)2ln(1),2,h xxxxxx 则 12 ( )1, 11 x h x xx 当 x2 时，( )h x0，故 h(x)在2,上单调递增， 因此当 x 2 时， h(x)h(2)=0，即 1+ln( x-1) x-1 成立 . 故当 x2 时，有 1 ln(1) (1) n x x x-1. 即 f（x） x-1. 8 （ 2010 全国卷 1 理数） 已知函数( )(1)ln1f xxxx. （）若 2 ( )1xfxxax，求a的取值范围； （）证明： (1)( )0xf x . 学习必备欢迎下载 9 ( 本 小 题 满 分12
16、分 ) 已 知 数 列 n a的 各 项 均 是 正 数 ， 其 前 n 项 和 为 n S ， 满 足 2 (1) nn pSpa ，其中p为正常数，且1.p （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 () 2log n pn bn a N，数列 2nn b b的前 n 项和为 n T ，求证： 3 . 4 nT 解： （）由题设知 2 11 (1)papa ，解得 1 ap . 2分 由 2 2 11 (1), (1), nn nn pSpa pSpa 两式作差得 11. (1)() nnnn pSSaa 所以 11 (1) nnn paaa，即 1 1 nnaa p ，4分 可见，数列
17、 n a是首项为p，公比为 1 p 的等比数列。 1211 ()(). nn n ap pp 6分 （） 2 111 2log2(2) n n p b pnn 8分 2 11 11 () (2)22 n b b b n nnn 10分 1 324352nnn Tbbb bb bb b 11111111111 ()()()()() 2132435462nn 11113 ( 1) 22124nn . 12分 10、已知函数 x a xxfln)(,xaxxfxgln6)()(，其中aR . （）讨论)(xf的 学习必备欢迎下载 单调性；（）若)(xg在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（）
18、设函数 4)( 2 mxxxh, 当2a时，若)1 ,0( 1 x，2, 1 2 x，总有)()( 21 xhxg成 立，求实数m的取值范围 解： （）)(xf的定义域为),0(，且 2 )( x ax xf，-1 分 当0a时，0)( xf，)(xf在),0(上单调递增；-2 分 当 0a 时，由0)( xf，得ax；由0)( xf，得ax； 故)(xf在),0(a上单调递减，在),( a上单调递增 . -4 分 （）x x a axxgln5)(，)(xg的定义域为),0( 2 2 2 55 )( x axax xx a axg-5分 因为)(xg在其定义域内为增函数，所以),0(x，0)
19、( xg max 22 22 1 5 1 5 5)1(05 x x a x x axxaaxax 而 2 5 1 5 1 5 2 x x x x ，当且仅当 1x 时取等号， 所以 2 5 a-8 分 （）当2a时，x x xxgln5 2 2)(， 2 2 252 )( x xx xg 由0)( xg得 2 1 x或2x 当) 2 1 ,0(x时，0)( xg；当) 1 , 2 1 (x时，0)( xg. 所以在)1 ,0(上，2ln53) 2 1 ()( max gxg-10分 而“)1 ,0( 1 x，2, 1 2 x，总有)()( 21 xhxg成立 ” 等价于 “)(xg在)1 ,0
20、(上的最大值不小于)(xh在2, 1上的最大值 ” 学习必备欢迎下载 而)(xh在2, 1上的最大值为)2(),1(maxhh 所以有 )2() 2 1 ( )1() 2 1 ( hg hg -12分 m m 282ln53 52ln53 )2ln511( 2 1 2ln58 m m 2ln58m 所以实数m的取值范围是),2ln58-13 分 11 （2007 辽宁文 20）已知数列 n a， n b满足 1 2a， 1 1b，且 11 11 31 1 44 13 1 44 nnn nnn aab bab （ 2n ） （ I）令 nnn cab，求数列 n c的通项公式； （II ）求数列
21、 n a的通项公式及前n项和公式 n S （）解：由题设得 11 ()2(2) nnnn ababn，即 1 2 nn cc（2n） 易知 n c是首项为 11 3ab，公差为的等差数列，通项公式为 21 n cn （II ）解：由题设得 11 1 ()(2) 2 nnnn ababn，令 nnn dab，则 1 1 (2) 2 nn ddn 易知 n d是首项为 11 1ab，公比为 1 2 的等比数列，通项公式为 1 1 2 nn d 由 1 21 1 2 nn nnn abn ab ， 解得 学习必备欢迎下载 11 22 nn an， 求和得 2 1 1 22 n n n Sn 12.
22、已知函数 32 fxxbxcxd在,0上是增函数，在0,2上是减函数，且方 程0fx有三个根，它们分别是,2,. （ 1）求c的值； （2）求证：12f（3）求 的取值范围 . 24. 解： f ( )()Rxxbxc x=+? 2 321 分 （1）依题意知0x=为函数( )fx 的极大值点f （0）=0 0c= 4 分 （ 2）证明：由（1）得 f ( )()32xxxb=+2x=为( )0f x =的根 820bd+=式 又( )f x 在0 ，2 上为减函数f ( )()222bb=+0 式 由知b-3 由知48db= - ( ) 1114837fbdbbb=+=+-= -，由b-3 知( )1f2 9 分 （ 3）解：( )0f x =的三个根为, ,2 ( )()()()()() 32 22222f xx xxxx x=-=-+- 10 分 () 2 20 2 b d + += -? ? ? += ? ?- =? ? ? ()2 24 b b + = -+ ? ? ? =+ ? ? 12 分 ()() 2222 4412216 bbb-=+-=-=- 13 分 b-3 () 2 216b-9, 即 - 2 9,- 3 14 分