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1、学习必备欢迎下载 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质， 其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。 例 1. 已知：如图1 所示，ABC中，CACBCADDBAECF90 ，。 求证： DEDF CFB A E D 图1 分析： 由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由 D 是 AB 中点，可考虑 连结 CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE 证明： 连结 CD ACBC AB A
2、CBADDB CDBDADDCBBA AECFADCBADCD 90 ， ， ， A D ECDF DEDF 说明： 在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的 平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD， 因为 CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到 G，使 DGDE，连 结 BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例 2. 已知：如图2 所示， ABCD，AD BC， AECF。 求证： E F 学习必备欢迎下载 D BC F E A 图2 证明： 连结 AC 在ABC和CDA中， A
3、BCDBCADACCA ABCCDASSS BD ABCDAECF BEDF ， ， () 在BCE和DAF中， BEDF BD BCDA BCEDAFSAS EF () 说明： 利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线， 制造全等三角形，这时应注 意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行， 可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直 线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰
4、三角形“三线合一” 来证。 例 3. 如图 3 所示，设BP、CQ 是ABC的内角平分线，AH 、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。 求证： KH BC 学习必备欢迎下载 A BCMN QP K H 图3 分析： 由已知， BH 平分 ABC ，又 BHAH ，延长 AH 交 BC 于 N，则 BABN ，AH HN 。同理，延长AK 交 BC 于 M，则 CA CM ，AKKM 。从而由三角形的中位线定理， 知 KH BC。 证明： 延长 AH 交 BC 于 N，延长 AK 交 BC 于 M BH 平分 ABC ABHNBH 又 BH AH AH BN H B 90 BHBH ABH
5、NBHASA BABNAHHN () ， 同理， CA CM，AK KM KH是AMN的中位线 KHMN/ / 即 KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例 4. 已知：如图4 所示， ABAC ，AAEBFBDDC90。 求证： FDED 学习必备欢迎下载 BC A F E D 3 2 1 图4 证明一： 连结 AD ABACBDDC DAEDAB BACBDDC BDAD BDABDAE ， ， ， 1290 90 在ADE和BDF中， AEBFBDAEAD
6、BD ADEBDF FDED ， 31 3290 说明： 有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用 辅助线。 证明二： 如图 5 所示，延长ED 到 M，使 DM ED，连结 FE，FM，BM BC A EF D M 图5 学习必备欢迎下载 BDDC BDMCDEDMDE BDMCDE CEBMCCBM BMAC A ABMA ABACBFAE AFCEBM ， ， ， / / 90 90 AEFBFM FEFM DMDE FDED 说明： 证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证 二。 （2）找到待
7、证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90。 3、证明一线段和的问题 （一） 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截 长法） 例 5. 已知：如图6 所示在ABC中，B60， BAC 、 BCA 的角平分线AD 、CE 相交于 O。 求证： AC AECD 图6 B C A E D F O 14 2 3 5 6 分析： 在 AC 上截取 AFAE。易知AEOAFO，12。由B60， 学习必备欢迎下载 知566016023120，。123460，得： FOCDOCFCDC， 证明： 在 AC 上截取 AFAE BADCADAOA
8、O AEOAFO SAS ， 42 又B60 5660 160 23120 123460 FOCDOCAAS FCDC () 即AC AECD （二） 延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明 该线段等于较长线段。（补短法） 例 6. 已知：如图7 所示，正方形ABCD 中， F 在 DC 上， E 在 BC 上，EAF45。 求证： EFBEDF G B E C A F D 1 2 3 图7 分析： 此题若仿照例1，将会遇到困难， 不易利用正方形这一条件。不妨延长CB 至 G， 使 BGDF。 证明： 延长 CB 至 G，使 BGDF 在正方形 ABCD 中
9、，ABGDABAD90 ， ABGADFSAS AGAF () ，13 学习必备欢迎下载 又EAF45 2345 2145 即 GAE FAE GEEF EFBEDF 4、中考题： 如图 8 所示，已知ABC为等边三角形，延长BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使AE BD，连结 CE、DE。 求证： ECED E BD F A C 图8 证明： 作 DF/AC 交 BE 于 F ABC是正三角形 BFD是正三角形 又 AEBD AEFDBF BAAFEF 即 EF AC ACFD EACEFD EACDFESAS ECED / / () 题型展示： 证明几何不等式： 例题：已知：如图9 所
10、示，12，ABAC。 求证：BDDC 学习必备欢迎下载 DB A 1 C 2 E 图9 证明一： 延长 AC 到 E，使 AEAB ，连结 DE 在ADE和ADB中， AEABADAD ADEADB BDDEEB DCEB DCEE DEDCBDDC ， ， ， 21 证明二： 如图 10 所示，在 AB 上截取 AFAC ，连结 DF DB A 2 C 1 F 图10 4 3 则易证ADFADC 34 34 ， ， DFDC BFDB BFDB BDDF BDDC 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 【实战模拟】 1. 已知： 如图 11 所示，A
11、BC中，C90，D 是 AB 上一点， DE CD 于 D，交 BC 于 E，且有ACADCE。求证：DECD 1 2 学习必备欢迎下载 C 图11 AB D E 2. 已知：如图12 所示，在ABC中，AB2，CD 是 C 的平分线。 求证： BCACAD A CB D 图12 3. 已知：如图13 所示，过ABC的顶点 A，在 A 内任引一射线，过B、C 作此射线的 垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。 求证： MPMQ B P M Q C A 图13 学习必备欢迎下载 4. ABC中，BACAD BC90 ，于 D，求证：ADABACBC 1 4 学习必备欢迎下载 【试题答案
12、】 1. 证明： 取 CD 的中点 F，连结 AF 3E A D 4 1 C B F ACAD AFCD AFCCDE90 又14901390， 43 1 2 ACCE ACFCEDASA CFED DECD () 2. 分析： 本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一 条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截 成两部分， 证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。 B D C A E 证明： 延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED 在CBD和CED中， 学习必备欢迎下载 CBCE BCDECD CDCD CBDCED BE BACB BACE 2 2 又BACADEE A D EEADAE BCCEACAEACAD ， 3. 证明： 延长 PM 交 CQ 于 R Q P B M C A R CQAPBPAP BPCQ PBMRCM ， / / 又BMCMBMPCMR， BPMCRM PMRM QM是Rt QPR斜边上的中线 MPMQ