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1、学习必备欢迎下载 因式分解能力提高 因式分解的十二种方法: 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种 多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式。 例 1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题 ) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分 解因式。 例 2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题 ) 解： a +4ab+4b
2、= （a+2b ） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分 成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ，从而得到 (a+b)(m+n) 例 3、分解因式m +5n-mn-5m 解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于 mx +px+q形式的多项式， 如果 a b=m,cd=q 且 ac+bd=p ， 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
3、例 4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 解： 7x -19x-6= （7x+2 ）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式， 就能将其因式分解。 例 5、分解因式x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(
4、a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 学习必备欢迎下载 =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再 转换回来。 例 7、分解因式2x -x -6x -x+2 解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x
5、 (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0, 求出其根为x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x-x ) 例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0 根为，-3，-2，1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令 y=
6、f(x) ，做出函数y=f(x) 的图象，找到函数图象与X 轴的交点x ,x ,x ,x ，则多项式可因式分解 为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x-x ) 例 9、因式分解x +2x -5x-6 解：令 y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x 轴交点为 -3，-1，2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列 解： a
7、 (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数 写成 2 或 10 的和与差的形式，将2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例 11、分解因式x +9x +23x+15 解：令 x=2 ，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积，即105=35 7 注意到多项式中最高项的系数为1，
8、而 3、5、 7 分别为 x+1，x+3 ，x+5，在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=（x+1 ）（ x+3）（ x+5） 学习必备欢迎下载 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数， 从而把多项式因式分解。 例 12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x
9、-2x-4) 提公因式法 形如mambmcm abc() 运用公式法 平方差公式：ababab 22 ()()， 完全平方公式：aabbab 222 2() 2 222 222abcabbccaabc 一、填空题： 2(a3)(3 2a)=_(3a)(3 2a)； 12若 m23m 2=(ma)(mb) ，则 a=_，b=_； 学习必备欢迎下载 15当 m=_ 时，x22(m3)x 25 是完全平方式 二、选择题： 1下列各式的因式分解结果中，正确的是 Aa2b7abbb(a27a) B3x2y3xy6y=3y(x 2)(x 1) C8xyz6x2y22xyz(4 3xy) D2a24ab6a
10、c2a(a2b3c) 2多项式 m(n2)m2(2n) 分解因式等于 A(n2)(mm2) B(n2)(mm2) Cm(n2)(m1) Dm(n2)(m1) 3在下列等式中，属于因式分解的是 Aa(x y) b(mn) axbm aybn Ba22abb21=(ab)21 C4a29b2(2a3b)(2a 3b) Dx27x8=x(x 7)8 4下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 Aa2b2 Ba2b2 Ca2b2 D ( a2) b2 5若 9x2mxy 16y2是一个完全平方式，那么m的值是 A12 B 24 C12 D 12 学习必备欢迎下载 6把多项式 an+4an+1分解得 Aa
11、n(a4a) Ban-1(a31) Can+1(a 1)(a2a1) Dan+1(a 1)(a2a1) 7若 a2a1，则 a42a33a24a3 的值为 A8 B7 C10 D12 8已知 x2y22x6y10=0，那么 x，y 的值分别为 Ax=1，y=3 Bx=1，y=3 Cx=1，y=3 Dx=1，y=3 9把(m23m)48(m23m)216 分解因式得 A(m1)4(m2)2 B(m1)2(m2)2(m23m 2) C(m4)2(m1)2 D(m1)2(m2)2(m23m 2)2 10把 x27x60分解因式，得 A(x 10)(x 6) B(x 5)(x 12) C(x 3)(x
12、 20) D(x 5)(x 12) 11把 3x22xy8y2分解因式，得 A(3x 4)(x 2) B(3x 4)(x 2) C(3x 4y)(x 2y) D(3x 4y)(x 2y) 12把 a28ab33b2分解因式，得 A(a11)(a 3) B(a11b)(a 3b) C(a11b)(a 3b) D(a11b)(a 3b) 13把 x43x22 分解因式，得 A(x22)(x21) B(x22)(x 1)(x 1) 学习必备欢迎下载 C(x22)(x21) D(x22)(x 1)(x 1) 14多项式 x2axbxab 可分解因式为 A(x a)(x b) B(x a)(x b) C
13、(x a)(x b) D(x a)(x b) 15一个关于 x 的二次三项式，其 x2项的系数是 1，常数项是 12，且能分解 因式，这样的二次三项式是 Ax211x12 或 x211x12 Bx2x12 或 x2x12 Cx24x12 或 x24x12 D以上都可以 16下列各式 x3x2x1，x2yxyx，x22xy21，(x23x)2(2x 1)2中，不含有 (x 1)因式的有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 17把 9x212xy36y2分解因式为 A(x 6y3)(x 6x3) B(x 6y3)(x 6y3) C(x 6y3)(x 6y3) D(x 6y3)(x 6y3) 1
14、8下列因式分解错误的是 Aa2bcacab=(ab)(a c) Bab5a3b15=(b5)(a 3) Cx23xy2x6y=(x3y)(x 2) Dx26xy19y2=(x3y1)(x 3y1) 学习必备欢迎下载 19已知 a2x22xb2是完全平方式，且a，b 都不为零，则 a 与 b 的关系为 A互为倒数或互为负倒数 B互为相反数 C相等的数 D任意有理数 20对 x44 进行因式分解，所得的正确结论是 A不能分解因式 B有因式 x22x2 C(xy 2)(xy 8) D(xy 2)(xy 8) 21把 a42a2b2b4a2b2分解因式为 A(a2b2ab)2 B(a2b2ab)(a2
15、b2ab) C(a2b2ab)(a2b2ab) D(a2b2ab)2 22(3x 1)(x 2y) 是下列哪个多项式的分解结果 A3x26xyx2y B3x26xyx2y Cx2y3x26xy Dx2y3x26xy 2364a8b2因式分解为 A(64a4b)(a4b) B(16a2b)(4a2b) C(8a4b)(8a4b) D(8a2b)(8a4b) 249(x y)212(x2y2) 4(x y)2因式分解为 A(5x y)2 B(5x y)2 C(3x 2y)(3x 2y) D(5x 2y)2 25(2y 3x)22(3x 2y) 1 因式分解为 A(3x 2y1)2 B(3x 2y1
16、)2 C(3x 2y1)2 D(2y 3x1)2 26把(a b)24(a2b2) 4(ab)2分解因式为 A(3ab)2 B(3ba)2 C(3ba)2 D(3ab)2 学习必备欢迎下载 27把 a2(bc)22ab(ac)(b c) b2(ac)2分解因式为 Ac(a b)2 Bc(a b)2 Cc2(a b)2 Dc2(ab) 28若 4xy4x2y2k 有一个因式为 (1 2xy) ，则 k 的值为 A0 B1 C1 D4 29分解因式 3a2x4b2y3b2x4a2y，正确的是 A (a2b2)(3x 4y) B (ab)(a b)(3x 4y) C(a2b2)(3x 4y) D(a
17、b)(a b)(3x 4y) 30分解因式 2a24ab2b28c2，正确的是 A2(ab2c) B2(abc)(a b c) C(2ab4c)(2a b4c) D2(ab2c)(a b2c) 三、因式分解： 1m2(pq)pq； 2a(abbcac) abc； 3x42y42x3yxy3； 4abc(a2b2c2)a3bc2ab2c2； 5a2(bc) b2(c a)c2(ab)； 6(x22x)22x(x 2)1； 7(x y)212(yx)z 36z2； 8x24ax8ab4b2； 9(ax by)2(ay bx)22(ax by)(ay bx) ； 学习必备欢迎下载 10(1a2)(1
18、 b2) (a21)2(b21)2； 11(x 1)29(x 1)2； 124a2b2(a2b2c2)2； 13ab2ac24ac4a； 14x3ny3n； 15(x y)3125； 16(3m2n)3(3m2n)3； 17x6(x2y2) y6(y2x2)； 188(x y)31； 19(abc)3a3b3c3； 20x24xy3y2； 21x218x144； 22x42x28； 23m418m217； 24x52x38x； 25x819x5216x2； 26(x27x)210(x27x) 24； 2757(a1)6(a1)2； 28(x2x)(x2x1)2； 29x2y2x2y24xy1；
19、 30(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)48； 31x2y2xy； 32ax2bx2bxax3a3b； 33m4m21； 学习必备欢迎下载 34a2b22acc2； 35a3ab2ab； 36625b4(ab)4； 37x6y63x2y43x4y2； 38x24xy4y22x4y35； 39m2a24ab4b2； 405m 5nm22mn n2 四、证明 (求值) ： 1已知 ab=0，求 a32b3a2b2ab2的值 2求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数 3证明： (ac bd)2(bc ad)2=(a2b2)(c2d2) 4已知 a=k3，b=2k2，c=3k1，
20、求 a2b2c22ab2bc2ac 的值 5若 x2mx n=(x3)(x 4)，求(mn)2的值 6当 a 为何值时，多项式x27xyay25x43y24 可以分解为两个一次因 式的乘积 7若 x，y 为任意有理数，比较6xy 与 x29y2的大小 8两个连续偶数的平方差是已知 3 1 2yx，2xy，求 4334 2yxyx的值。 9、已知2ba，求)(8)( 22222 baba的值 10、 （1）已知2,2 xyyx，求xyyx6 22 的值； （2）已知 2 1 , 1 22 yxyx，求yx的值； （3）已知 2 1 ba， 8 3 ab，求（ 1） 2 )(ba； （2） 3223 2abbaba （4）已知05164164 22 yxyx，求 x+y 的值； 11、先分解因式，然后计算求值：（本题 6 分） （a 2+b2 2ab） 6（a6）+9，其中 a=10000，b=9999。 学习必备欢迎下载 12、已知，8nm，15mn求 22 nmnm的值。 13. 已知：，01 2 aa (1) 求 2 22aa的值； (2) 求19992 23 aa的值。 14、已知 x(x 1) (x 2y) 2求 xy yx 2 22 的值