【优质文档】初中数学常用公式及定理.pdf

《【优质文档】初中数学常用公式及定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】初中数学常用公式及定理.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、学习必备欢迎下载 初中数学常用公式及性质 1 乘法与因式分解：(ab)(ab )a2b 2；(a b)2a2 2abb2；(ab)(a2abb2)a3b3； (ab)(a2abb2)a 3b3；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab。 2 幂的运算性质： am a nam+n；am anam-n；(am)namn；(ab )nanbn；( a b)n n n a b； a-n 1 n a ，特别： ()-n()n； a01(a0) 。 3 二次根式： ()2a(a0) ； 丨 a 丨； ；(a0，b0)。 4 三角不等式： |a| -|b| |a b| |a|+|b|； 5 某些

2、数列前n 项之和： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n 2 ； 6 一元二次方程： 对于方程： ax 2bx c0：求根公式 是 x 2 4 2 bbac a ，其中 b24ac 叫做根的判别式。 当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根 若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式 ax2bxc可分解为 a(xx1)(xx2)。 以a和b为根的一元二次方程是x 2(ab)xab0。 7 一次函数： 一次函数 ykx b (k0) 的图象是一条直线(b 是直线与 y 轴的

3、交点的纵坐标，称为截距)。 当k0时， y随x的增大而增大 (直线从左向右上升)； 当k0时， y随x的增大而减小 (直线从左向右下降)； 特别地：当 b0时， ykx(k0) 又叫做正比例函数(y与x成正比例 )，图象必过原点。 8 反比例函数： 反比例函数y(k0) 的图象叫做双曲线。 当 k0 时，双曲线在一、三象限(从左向右降 )；当 k0 时，双曲线在二、四象限(从左向右上升 )。 9 二次函数cbacbxaxy,( 2 是常数，)0a，几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 当 0a 时 开口向上 当 0a 时 0x（y轴）（0,0） ka

4、xy 2 0x （y轴） (0, k) 2 hxayhx(h,0) 学习必备欢迎下载 khxay 2开口向下 hx(h,k) cbxaxy 2 a b x 2 ( a bac a b 4 4 2 2 ，) （ 4） .求 抛物 线的 顶点 、对称 轴 的方 法 ：公 式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ， 顶 点 是 ），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直线 a b x 2 。 配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式，得到顶点为 (h,k)， 对称轴是直线 hx 。 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的

5、轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点 12 (, ) (,)、xyxy（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 12 2 xx x （5）.抛物线 cbxaxy 2 中， cba, 的作用 a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的a完全一样。 b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线。 a b x 2 ，故： 0b时，对称轴为y轴； 0 a b （即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0 a b （即 a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。 c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置。 当 0x 时， cy ，抛物线c

6、bxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，c）： 0c ，抛物线经过原点; 0c ,与y轴交于正半轴； 0c ,与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则0 a b 。 （6）.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式： khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 交点式：已知图像与x轴的交点坐标 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay。 学习必备欢迎下载 （7）.直线与抛物线的交点 y轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为 (0, c

7、)。 抛物线与x轴的交点。 二次函数cbxaxy 2 的图像与 x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方程 0 2 cbxax的两个实数根 .抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： a 有两个交点( 0) 抛物线与 x轴相交； b 有一个交点（顶点在x轴上）( 0) 抛物线与x轴相切； c没有交点( 0) 抛物线与x轴相离。 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根。 一 次 函 数0knkxy的 图 像

8、l与 二 次 函 数0 2 acbxaxy的 图 像G的 交 点 ， 由 方 程 组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定： a 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； b 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； c 方程组无解时 l与G没有交点。 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线cbxaxy 2 与x轴 两 交 点 为00 21 ，xBxA， 则 12 ABxx 10 统计初步 （1）概念 ： 所要考察的对象的全体叫做总体 ，其中每一个考察对象叫做个体 从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个 样本 ，样本中个体的数目叫做样本容量 在一组数据中，

9、出现次数最多的数(有时不止一个 )，叫做这组数据的众数 将 一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数 (或两个数的平均数)叫做这组数据的 中位数 （2）公式： 设有 n 个数 x1，x2， ，xn，那么： 平均数为： 12 n xxx x n + =； 学习必备欢迎下载 极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差 = 最大值 -最小值； 方差：数据 1 x 、 2 x , nx 的方差为 2 s ， 则 2 s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+-犏 臌 标准差：方差的算术平方根。 数据

10、1 x、 2 x , n x的标准差s， 则s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+-犏 臌 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 11 频率与概率 （1）频率 频率 = 总数 频数 ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频 率。 （2）概率 如果用 P表示一个事件A 发生的概率，则0P （A）1 ； P（必然事件） =1；P（不可能事件） =0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 12锐角

11、三角形 设A是ABC的任一锐角，则 A的正弦： sinA，A的余弦： cosA，A的正切： tanA- 并且 sin2Acos2A1。 0sinA1，0cosA1，tanA0A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 余角公式 ：sin(90oA)cosA，cos(90oA)sinA。 特殊角的三角函数值：sin30ocos60o，sin45ocos45o，sin60ocos30o， 学习必备欢迎下载 tan30o，tan45o1，tan60o。 斜坡的坡度： i 铅垂高度 水平宽度 设坡角为 ，则 itan 。 13正（余）弦定理 （1）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC

12、=2R；注：其中R 表示三角形的外接圆半径。 正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC； (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c （2）余弦定理b2=a2+c2-2accosB ；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC ； 注： C 所对的边为c， B所对的边为b， A所对的边为a 14平面直角坐标系中的有关知识 （1）对称性： 若直角坐标系内一点P （a，b），则 P关于 x 轴对称的点为P1（a，b），P关于 y 轴对称的点为P2（a，b）， 关于原点对称的点为P3（a，b）。 （2）坐标

13、平移： 若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h 个单位，坐标变为P（ah，b），向右平移h 个单位，坐标变为 P（ah，b）；向上平移h 个单位，坐标变为P（a，bh），向下平移h 个单位，坐标变为P（a，bh）.如：点 A（2，1） 向上平移 2 个单位，再向右平移5 个单位，则坐标变为A（7，1）。 15多边形内角和公式 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180o（n3 ，n是正整数），外角和等于360o 16平行线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图： a b c，直线 l1与 l2分别与直线a、b、c 相交与点 A、

14、B、C 和 D、E、F， 则有, ABDEABDEBCEF BCEFACDFACDF 。 （2）推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图： ABC中， DE BC，DE 与 AB、AC相交与点 D、E ，则有：, ADAEADAEDEDBEC DBECABACBCABAC h l a c A B C D E F l1 b l 2 A B C DE C E A B D 学习必备欢迎下载 17直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理：如图： Rt ABC中， ACB 90o，CD AB 于 D， 则有：（ 1） 2 CDAD BD（2） 2 AC

15、AD AB（3） 2 BCBD AB 18圆的有关性质 （1）垂径定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质： 经过圆心； 垂直弦； 平分弦； 平分弦所对的 劣弧； 平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备 ， 时，弦不能是直径。 （2）两条 平行弦 所夹的弧相等。 （3）圆心角 的度数等于它所对的弧的度数。 （4）一条弧所对的 圆周角 等于它所对的 圆心角 的一半。 （5）圆周角等于它所对的弧的度数 的一半。 （6）同弧或等弧 所对的圆周角相等。 （7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （8）90o的圆周角所对的弦是直径 ，反之，直径所对的圆周角是90o，

16、直径是最长的弦。、 （9）圆内接四边形 的对角互补。 19三角形的内心与外心 （1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心就是三内角角平分线的交点。 （2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形的外心就是三边中垂线的交点 常见结论： RtABC的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径 2 abc r； ABC的周长为 l，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则 1 2 Slr 20弦切角定理及其推论 （1）弦切角： 顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图： PAC为弦切角。 C ABD 学习必备欢迎下载 （2）弦切角定理：弦切角度数

17、等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC是 O 的弦， PA是 O 的切线， A为切点，则 ? 11 22 PACACAOC 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果 AC是 O 的弦， PA是 O 的切线， A为切点，则 PACABC 21相交弦定理、割线定理和切割线定理 （1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图 ，即： PA PB = PCPD （2）割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图 ，即： PA PB = PCPD （3）切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图 ，即：PC2 = PAPB 22面积公式 S正 (边长 )2 S平行四边形 底 高 S菱形底 高 (对角线的积 )， 1 () 2 S梯形 上底下底高中位线高 S圆 R2 l圆周长2 R 弧长 L 2 1 3602 n r Slr 扇形 S圆柱侧底面周长 高 2 rh， S全面积 S 侧 S 底2 rh2 r 2 S 圆锥侧 底面周长 母线 rb， S全面积 S 侧 S 底 rb r2 PO C A B D P O C B A D P O C A B O P B C A 学习必备欢迎下载