【优质文档】常微分方程期中考试题.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 0)( 22 xy dx dy dx dy n 的阶数是 _ 2 若 ),(yxM 和 ),(yxN 在矩形区域R内是 ),(yx 的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数, 则 方 程 0),(),(dyyxNdxyxM 有 只 与 y 有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _ 3 _ 称为齐次方程 . 4 如果 ),(yxf _ , 则 ),(yxf dx dy 存在唯 一的解 )(xy , 定义于区间 hxx 0 上, 连续且满足初始条件 )( 00 xy , 其中 h _ . 5 对 于 任 意 的

2、),( 1 yx , ),( 2 yx R (R为 某 一 矩 形 区 域 ), 若 存 在 常 数 )0(NN 使 _ , 则称 ),(yxf 在R上关于 y 满足利普希兹条件. 6 方程 22 yx dx dy 定义在矩形区域R: 22,22yx 上 , 则经过点 )0 ,0( 的解 的存在区间是 _ 7 若 ),.2, 1)(nitxi 是齐次线性方程的n个解 , )(tw 为其伏朗斯基行列式, 则 )(tw 满足 一阶线性方程 _ 8若 ),.2, 1)(nitxi 为齐次线性方程的一个基本解组, )(tx 为非齐次线性方程的 一个特解 ,则非齐次线性方程的所有解可表为 _ 9若 )(

3、x 为毕卡逼近序列 )(x n 的极限，则有 )()(xx n _ 10 _ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 )(xy ，则经过变换_ ，可化为伯努利方程 二求下列方程的解 3 yx y dx dy 求方程 2 yx dx dy 经过 )0, 0( 的第三次近似解 讨论方程 2 y dx dy ， 1)1(y 的解的存在区间 4 求方程 01)( 22 y dx dy 的奇解 优秀学习资料欢迎下载 5 0) 1 () 1 (cos 2 dy y x y dx y x 6 xxxyyy 22 sincossin2 7 0)37()32( 232 dyxydxyxy 三 证明题 1 试证 : 若已

4、知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 )()(xQyxP dx dy , 当 )(xP , )(xQ 在 , 上连续时 , 其解存在唯一 参考答案 一 填空题 11 2 )() 1 )(y Mx N y M 3 形如 )( x y g dx dy 的方程 4 在R上连续且关于 y 满足利普希兹条件 ),min( m b ah 5 2121 ),(),(yyNyxfyxf 6 4 1 4 1 x 7 0)( 1 wtaw 8 xxcx n i ii 1 9 1 )!1( n n h n ML 10 形如 )()()( 2

5、 xryxqyxp dx dy 的方程 yzy 二 求下列方程的解 1 解： 2 3 y y x y yx dy dx ， 则 )( 1 2 1 cdyeyex dy y dy y 所以 cy y x 2 3 另外 0y 也是方程的解 2 解： 0)( 0 x 2 0 2 01 2 1 )()(xdxxxx x 优秀学习资料欢迎下载 52 0 2 12 20 1 2 1 )()(xxdxxxx x 81152 0 2 23 160 1 4400 1 20 1 2 1 )()(xxxxdxxxx x 3 解： dx y dy 2 两边积分 cx y 1 所以方程的通解为 cx y 1 故过 1)

6、1 (y 的解为 2 1 x y 通过点 )1 , 1( 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到， 所以解的存在区间为 )2,( 4 解: 利用 p 判别曲线得 02 01 22 p yp 消去 p 得 1 2 y 即 1y 所以方程的通解为 )sin(cxy , 所以 1y 是方程的奇解 5 解: y M = 2 y , x N = 2 y , y M = x N , 所以方程是恰当方程. 2 1 1 cos y x yy v y x x u 得 )(siny y x xu )( 2 yxy y u 所以 yyln)( 故原方程的解为 cy y x xlnsin 6 解: xxxyyy 22

7、sincossin2 故方程为黎卡提方程. 它的一个特解为 xysin , 令 xzysin , 则方程可化为 2 z dx dz , cx z 1 即 cx xy 1 sin , 故 cx xy 1 sin 7 解: 两边同除以 2 y 得 03 7 32 2 xdydy y ydxxdx 0 7 3 2 y dxyddx 优秀学习资料欢迎下载 所以 c y xyx 7 3 2 , 另外 0y 也是方程的解 三证明题 1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为 yy 令 yzy , dx yd dx dz dx dy 又 )()()( 2 xryxqyxp dx dy dx yd xryzxqy

8、zxp dx dz )()()( 2 由假设 )()()( 2 xryxqyxp dx yd 得 zxqyxpzxp dx dz )()(2)( 2 此方程是一个 2n 的伯努利方程, 可用初等积分法求解 2 证明 : 令R: x , , Ry )(xP , )(xQ 在 , 上连续 , 则 )()(),(xQyxPyxf 显然在R上连续 , 因为 )(xP 为 , 上的连续函数 , 故 )(xP 在 , 上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 )(xP L , x , 1 y , Ry22121 )()(),(),(yxPyxPyxfyxf = )(xP 21 yy 21 yyL 因此一阶线

9、性方程当 )(xP , )(xQ 在 , 上连续时 , 其解存在唯一 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试卷(2) 1辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1） 22 d d xy x y （2） yxx x y sin d d （3） 0 d d d d 2 d d 2 2 3 3 4 4 x y x y x y （4） txxxx （5） 2 2 3 d d 1) d d ( s r s r （6） 0dd 22 xyyx 2、填空题 (8%) （1） 方程 yx x y tan d d 的所有常数解是_. （2） 若y=y1(x) ，y=y2(x) 是一阶线性非齐

10、次方程的两个不同解，则用这两个解可把 其通解表示为 _. （ 3） . 若 方 程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 是 全 微 分 方 程 ， 同 它 的 通 积 分 是 _. （4）. 设M(x0, y 0) 是可微曲线y= y(x) 上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上 的截距分别是 _. 3、单选题 (14%) （1） 方程 0d)ln(dlnyyxxyy 是（）. (A) 可分离变量方程（B）线性方程 (C) 全微分方程（D）贝努利方程 （2） 方程 )0( d d yy x y ，过点（ 0， 0）有（）. (A) 一个解（ B）两个解 (C) 无数个解（ D）三

11、个解 （3） 方程x(y 21)d x+y(x 21)d y=0 的所有常数解是（）. (A)y= 1, x=1, (B) y=1 (C) x=1 (D) y=1, x=1 （4） 若函数y(x)满足方程 0ln 2 xyyyx ，且在x=1 时，y=1, 则在x = e 时 y=( ). (A) e 1 (B) 2 1 (C)2 (D) e （5） n阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间 （A）n维（B） 1n 维（C） 1n 维（D） 2n 维 （6）. 方程 2 d d yx x y （）奇解 （A）有三个（ B）无（C）有一个（D） 有两个 （7） 方程 3 2 3 d d y

12、x y 过点 )0,0( （） （A）有无数个解（B）只有三个解 （C）只有解 0y （ D）只有两个解 4. 计算题 (40%) 优秀学习资料欢迎下载 求下列方程的通解或通积分： （1）. 2 1d d x xy x y （2）. x y x y 2 e3 d d （3） . 0)d(d)( 3223 yyyxxxyx （4）. 2 )( d d x y x y x y （5） . 1)ln(yxy 5. 计算题 (10%) 求方程 xyy5sin5 的通解 6证明题（ 16% ） 设 ),(yxf 在整个 xoy 平面上连续可微，且 0),( 0 yxf 求证：方程 ),( d d yxf

13、 x y 的非常数解 )(xyy ，当 0 xx 时，有 0 )(yxy ，那么 0 x 必为或 参考答案： 1辨别题 （ 1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性 2填空题 （1） ,2, 1,0,kky （2） )()()( 1211 xyxyxyC （3） y y x x yyxNxyxM 00 0d),(d),( 0 （4） yxy y y x 00 0 0 , 3单选题 （1） B （2） C （3） A （4） B （5）. A （6） . B 7. A 4. 计算题 （1） 解当 0y 时，分离变量得 x x x

14、 y y d 1 d 2 等式两端积分得 Cxyln)1ln( 2 1 ln 2 即通解为 2 1xCy （2） 解齐次方程的通解为 x Cy 3 e 令非齐次方程的特解为 x xCy 3 e)( 代入原方程，确定出 CxC x5 e 5 1 )( 优秀学习资料欢迎下载 原方程的通解为 x Cy 3 e + x2 e 5 1 （3） 解由于 x N xy y M 2 ，所以原方程是全微分方程 取 )0, 0(),( 00 yx ，原方程的通积分为 1 0 3 0 23 dd)(Cyyxxyx yx 即 Cyyxx 4224 2 （4）. 令 xuy ，则 x u xuy d d ，代入原方程，

15、得 2 d d uu x u xu ， 2 d d u x u x 当 0u 时，分离变量，再积分，得 C x x u udd 2 Cx u ln 1 ， Cx u ln 1 即： Cx x y ln 5. 计算题 令 py ，则原方程的参数形式为 py p p xln 1 由基本关系式 y x y d d ，有 p pp pxyy)d 11 (dd 2 p p )d 1 1 ( 积分得 Cppyln 得原方程参数形式通解为 Cppy p p x ln ln 1 5计算题 解方程的特征根为 0 1 ， 5 2 齐次方程的通解为 x CCy 5 21 e 因为 ii5 不是特征根。所以，设非齐次

16、方程的特解为 优秀学习资料欢迎下载 xBxAxy5cos5sin)( 1 代入原方程，比较系数得 02525 12525 BA BA 确定出 50 1 A ， 50 1 B 原方程的通解为 )5sin5(cos 50 1 e 5 21 xxCCy x 6 . 证明题 证明由已知条件，方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因 此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。（2 分） 又由已知条件，知 0 yy 是方程的一个解。（4 分） 假如方程的非常数解 )(xyy 对有限值 0 x 有 0 )(lim 0 yxy xx ，那么由已知条件，该解 在点 ),( 00 yx 处可向

17、 0 x 的右侧（或左侧） 延展这样，过点 ),( 00 yx 就有两个不同解 0 yy 和 )(xyy 这与解的唯一性矛盾，因此 0 x 不能是有限值 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试卷 (3) 一、填空 1. 形如 _称为变量可分离方程，它有积分因子。 2. 当 _时，方程 0,dyyxNdxyxM 称为恰当方程，或全微分方 程。且它只含x的积分因子的充要条件是_。有只含 y 的积分因子的充要条件是 _。 3. _称为伯努利方程，它有积分因子 _ 。 4. 方程 , 222 111 xcxbxa xcxbxa dx dy 当 0 11 11 dc ba 时，通过 _，可化为奇次方程

18、； 当 0 11 11 dc ba 时，令u_ ，化为变量分离方程。 5. _ 称 为 黎 卡 提 方 程 ， 若 它 有 一 个 特 解 xy ， 则 经 过 变 换 _，可化为伯努利方程。 6. 函数 yxf, 称为在矩形域R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果存在常数L0, 使 Ryxyx 21 , ，使不等式 _。 7. 如果 yxf, _，则 yxf dx dy , 存在唯一解 ,xy 定义 于区间 hxx 0 上，连续且满足初始条件 , 00 xy 其中 h _。 8. 设 xy 是 方 程 yxf dx dy , 的 定 义 于 区 间 hxxx 00 上 ， 满 足 初 始 条

19、 件 , 00 xy 的解，则 xy 是积分方程 _ 的定义于 hxxx 00 上的连续解 9. 微分方程的某一个解称为奇解，如果 _, 也就是说奇解是这 样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。 10. 方程 x dx dy ln1 满足条件 01y 的解的存在区间是_。 二、求解下列方程的通解 1、 3 1 1 2 x x y dx dy 2、 dxxyxydy 2 22 3、 01xdydxxyy 4、 22 21yyy 5、 042 2 x dx dy y dx dy x 优秀学习资料欢迎下载 6、 2 6xy x y dx dy 三、计算 求初值问题 1, 11: 01 22 y

20、xR y yx dx dy 四、证明 1、 假设方程 0,dyyxNdxyxM 中函数 yxM, ， yxN,y M - x N = yMgxNf ,其中 f(x) ，g(y) 分别为 yx, 的连续函数，试证： 此方程有积分因子e dyygdxxf)()( 答案 一、 填空 1、 yxf dx dy 的方程 y 1 2、 x yxN y yxM, x N x yxN y yxM, y M x yxN y yxM, 3、 n yxqyxp dx dy dxxpn n e y u 1 1 4、坐标平移 ybxa 11 5、 xryxqyxp dx dy 2 zxyy 6、 2121 ,yyLyx

21、fyxf 7、在 R上连续且关于 y 利普希兹条件 m b a,min 8、 dxyxfyy x x0 , 0 9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在 10、 x0 二、 通求解 1、 解： 3 1 2 2 xy xdx dy 为一阶线性方程 2 2 x xp3 1xxq 代入公式，得 优秀学习资料欢迎下载 方程的通解为 cxxxy 22 2 1 1 2、解： 1 222 22 y xx xy dx dy 为一阶线性方程 x xp 2 1xq 代入公式，得 cdxedx x dx x ey 2 2 2 = cxxcdxxx 1222 所以方程的通解为 22 xcxy 3、解： 01

22、xdydxxyy 两边同时乘以 x e ，方程为恰当方程 0 0 0 01 xx xxx xxxx xx dedxye dexydedxye dyxedxxyedxeydxe dyxedxxyye 所以方程的通解为 0cexye xx 4、 解：令 yty2 则原方程消去 y 后，有 222 1tyyty 由此，得 t t y 1 dt t dy1 1 2 2 1ty dt ty dy dx 2 1 所以 c t cdt t x 11 2 故原方程的通解为 t t y c t x 1 1 5、 解：令 py ，得到 p x p x y 2 2 两边对 x求导，得 xdppdxxdppdxp x

23、dppdxdpxpdxp 4 44 2 23 当 0xdppdx 时 4 2 p2p 则 xy2 当 0xdppdx 时 即 0 2 p xdppdx 0 p x d 积分，得 c p x 把 c x p 代入，得 c c x y2 2 2 22 42cxcy 6、解：这是 2n 时的伯努利方程。令 1 yz 优秀学习资料欢迎下载 得 dx dy y dx dz 2 代入原方程得到 xz xdx dz6 这是线性方程，求得它的通解为8 2 6 x x c z 代回原来的变量 y ，得到 c x y x 8 86 这就是原方程的通解 此外，方程还有解 0y 三、计算 解： 4,maxyxfM 则

24、 M b ahmin 1ba 所以 4 1 h 所以解的存在区间为 4 1 1x 42 11 9 1 18 1 61 1 3 1 19 1 18 1 63 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 13 1 0 473 473 1 2 32 2 3 1 32 1 0 xxxx x xxxxdxxxx x x xdxxx x x x Ly y f 22 24 1 4 1 * !12 2*4 3 2 02 xx 误差估计为 24 1 四、 2. 证明：由于 y M y M y M y M e dyygdxxf)()( y M e dyygdxxf)()( =e dyygdxxf)()( （ y

25、M Mg(y) ） 同理 x N x N x N X N e dyygdxxf)()( +N x e dyygdxxf)()( =e dyygdxxf)()( （ x N +Nf(x)） 故 y M - x N =e dyygdxxf)()( y M +Mg(y)- x N -Nf(x) 优秀学习资料欢迎下载 又已知 y M - x N = Nf(x)- Mg(y) 所以 y M - x N =e dyygdxxf)()( 0=0 即 y M = x N ，故此题中e dyygdxxf)()( 是方程 0,dyyxNdxyxM 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(4) 一、填空题 1

26、方程 yx x y tan d d 2 的所有常数解是 2方程 0d) 1(1)d( 22 yxyxyx 的常数解是 3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线 4方程 0yy 的基本解组是 二、选择题 1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个 （A）n（B）n-1 （ C）n+1 （D ）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件 （A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分 3. 方程 2 1 d d y x y 过点 )1, 2 ( 共有（）个解 （ A）一（B）无数（ C）两（D）三 4方程 xxy x y d d （）奇解 （A）有一个

27、（B）有两个（C）无（D）有无数个 5方程 y x y d d 的奇解是（） （A） xy （B） 1y （ C） 1y （D ） 0y 三、计算题 1.x y = 22 yx +y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx 4. 1 d d x y x y 5. 0d)ln(d 3 yxyx x y 四、求下列方程的通解或通积分 1. )1( d d2 yx x y y 2. 2 )( d d x y x y x y 3. x y x y 2 e3 d d 试卷答案 一、填空题 1. ky ， ,2, 1,0k 优秀学习资料欢迎下载 2. 1y ， 1x 3.2 4. x

28、cos， xsin 二、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 三、计算题 1解：将方程改写为 y = 2 1 x y +x y （ *）令 u=x y , 得到 y =x u +u, 则(*) 变为 x dx du = u1 , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx 。 2解： 变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln xcos +C或 sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0 或 ctgx=0得 y=k(k=0 、1 ) ，x=t+ 2 (t=0 、1) 也 是方程的解。

29、 tgy=0或 ctgx=0的解是 (*) 当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解 为 sinycosx=C 。 3. 方程化为 x y x y 21 d d 令 xuy ，则 x u xu x y d d d d ，代入上式，得 u x u x1 d d 分量变量，积分，通解为 1Cxu 原方程通解为 xCxy 2 4解齐次方程的通解为 Cxy 令非齐次方程的特解为 xxCy)( 代入原方程，确定出 CxxCln)( 原方程的通解为 Cxy + xxln 5解因为 x N xy M1 ，所以原方程是全微分方程 取 )0, 1(),( 00 yx ，原方程的通积分为 优秀学习资料欢迎下载 Cy

30、yx x y yx 0 3 1 dd 即 Cyxy 4 4 1 ln 四、求下列方程的通解或通积分 1解当 1y 时，分离变量得 xxy y y dd 1 2 等式两端积分得 1 2 dd 1 Cxxy y y 1 22 2 1 1ln 2 1 Cxy 1 2 22 e,e1 Cx CCy 方程的通积分为 2 e1 2x Cy 2解令 xuy ，则 x u xuy d d ，代入原方程，得 2 d d uu x u xu ， 2 d d u x u x 当 0u 时，分离变量，再积分，得 C x x u udd 2 Cx u ln 1 ， Cx u ln 1 即通积分为： Cx x y ln

31、3解齐次方程的通解为 x Cy 3 e 令非齐次方程的特解为 x xCy 3 e)( 代入原方程，确定出 CxC x5 e 5 1 )( 原方程的通解为 x Cy 3 e + x2 e 5 1 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(5) 一 . 解下列方程 1.1. x y = 22 yx +y 2.2. tgydx-ctydy=0 3. 3. y-x( 2 x + 2 y )dx-xdy=0 4.4. 2xylnydx+ 2 x + 2 y 2 1y dy=0 5. dx dy =6x y -x 2 y 6. y =2 2 ) 1 2 ( yx y 7. 已知 f(x) x dttf

32、 0 )( =1,x0, 试求函数f(x) 的一般表达式。 8 一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为 1 k ） 的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为 2 k ） 。试求此质点的速度与时间的关系。 二 证明题 1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。 2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、 N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则 )( 1 yNxM 是该方程的一个积分因子。 试题答案： 一 . 解下列方程 1解：将方程改写为 y = 2 1 x y + x y （

33、*）令 u=x y , 得到 x y =x u + u, 则(*) 变 为 x dx du = u1 , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx 。 2解 ： 变 量 分 离ctgxdy=tgydx, 两 边 积 分 得ln(siny)= ln xcos +C 或 优秀学习资料欢迎下载 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0 、 1) ， x=t+ 2 (t=0 、 1 ) 也是方程的解。 tgy=0或 ctgx=0 的解是 (*) 当 C=0时的特殊情况，故原方程 的解为 s

34、inycosx=C 。 3 解：ydx-xdy-x( 2 x+ 2 y )dx=0, 两边同除以 2 x+ 2 y 得 2 2 ydxxdy y x xdx=0, 即 d(arctg x y ) 1 2 d 2 x=0, 故原方程的解为arctg x y 1 2 2 x=C。 4解： M y =2xlny+2x , N y =2x, 则 MN yx M = 2 ln 2ln xy xyy = 1 y , 故方 程有积分因子 y = 1 dy y e = 1 y ，原方程两边同乘以 1 y 得 2lnxyy y dx+ 2 2 2 1y y y x dy=0 是恰当方程 . d( 2 xlny)

35、+y 2 1y dy=0, 两边积分得方 程的解为 2 xlny+ 3 2 12 3 1 y =C。 5解： 1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z= 1 y 得 dz dx= 6 x z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z= 2 6 8 c x x 代回原来的变量y 得方程解为 1 y = 2 6 8 c x x ；y=0. 6 解：令 x=u+3, y=v2, 可将原方程变为 dv du = 2 2 v u v ， 再令 z= v u ，得到 z+ dz u u = 2 2 1 z z ，即 dz u u = 2 2 1 1 z z z ， 分离变量并两端积分得 2 12 1

36、 dz z z= du u +lnC 即 ln z +2arctgz= ln u +lnC， ln zu =2arctgz+lnC 优秀学习资料欢迎下载 代回原变量得v=C 2 v arctg u e 所以，原方程的解为y+2=C 2 2 3 y arctg x e . 7解：令 f(x)=y， 1 ( )f x = 0 ( ) x f t dt ，两边求导得 1 y =y， 即 1 y y =y，即 3 1 dy y =dx，两边求积得 2 1 y =2x+C， 从而 y= 1 2xC ，故 f(x)= 1 2xC . 8解：因为 F=ma=m dv dt ，又 F= 1 F 2 F= 12

37、 tv kk， 即 m dv dt = 12 tv kk(v(0)=0)，即 dv dt = 12 tv kk(v(0)=0)， 解得 v= 1 2 2 m k k 2 t m k e+ 1 2 k k (t 2 m k ). 二、证明题 1. 解：1）先找到一个特解y= y 。 2）令 y= y +z，化为 n=2 的伯努利方程。 证明：因为y= y 为方程的解， 所以 d y dx=P(x) 2 y +Q(x) y +R(x) (1) 令 y= y +z，则有 d y dx+ dz dx = P(x) 2 ()yz +Q(x) ()y z +R(x) (2) (2)(1) 得 dz dx

38、= P(x) 2 (2)yz z +Q(x)z 即 dz dx=2P(x) y +Q(x)z+P(x) 2 z 此为 n=2 的伯努利方程。 2. 证明 ：如 M 、N都是 n 次齐次函数，则因为 x x M+y y M=nM ，x x N+y yN =nN，故有 优秀学习资料欢迎下载 MN y xMyNx xMyN = 2 ()() () yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 ()() () xxx xMyNN xMy xMyN NNM = 2 ()() () xxy M xyNN xy xMyN NNM = 2 ()() () M nNN nM xMyN =0. 故命题成立。

39、优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(6) 一、计算题 . 求下列方程的通解或通积分 1. 0dd)2(yxxyx 2. 0d)ln(d 3 yxyx x y 3. )1( d d2 yx x y y 4. x y x y2 e3 d d 5 0dd)e( 2 yxxyx y 6 0)d1(d)cos2( 2 yxxxxy 7 2 )(yyxy 二、证明题 8. 在方程 )()( d d yyf x y 中，已知 )(yf ， )(x 在 ),( 上连续， 且 0)1( 求 证：对任意 0 x 和 1 0 y ，满足初值条件 00) (yxy 的解 )(xy 的存在区间必为 ),( 9

40、. 设 )(x 在区间 ),( 上连续试证明方程 yx x y sin)( d d 的所有解的存在区间必为 ),( 10. 假设方程 ),( d d yxf x y 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 )(1xy ， )(2xy 是 定义在区间I上的两个解求证：若 )( 01 xy )( 2 xy （ )( 1 xy = )( 2 xy 不可能出现，否则与解惟一矛盾 令 )(xy = )( 1 xy - )( 2 xy ，那么 )( 0 xy = )( 01 xy - )( 02 xy 0 由连续函数介值定理，存在 ),( 0 * xxx ，使得 )( * xy = )( * 1 xy - )( * 2 xy = 0 即 )( * 1 xy = )( * 2 xy 这与解惟一矛盾