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1、学习必备欢迎下载 第二章平面向量 2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示 教学目标： 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的 模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分 平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本 质的能力 . 教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念， 会表示向量 . 教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教
2、学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由 A向西北逃窜， 猫在 B处向东追去， 设问： 猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线 BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： A B C D 学习必备欢迎下载 （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答： 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？ 5、
3、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向 量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2. 向量的表示方法： 用有向线段表示； 用字母 、: （黑体，印刷用）等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB； 向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 3. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、
4、A(起点 ) B （终点） a 学习必备欢迎下载 长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同， 则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向 相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： 长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的 . 注意0与 0 的含义与书写区别 . 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行 . 说明： （1）综合、才
5、是平行向量的完整定义；（2）向量、平 行，记作。 6、巩固练习： P77 练习 1、2、3 习题 A 1 学习必备欢迎下载 2.1.3 相等向量和共线向量 1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明： （1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量 相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线 段的起点无关 . 2、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量， 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与 有向线段的起点无关） . 说明： （1）平行向量可以在同一直线上， 要区别于两平行线的位置关系；（2） 共线向量可以相互平行，要区别于
6、在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固：例1 书本 76 页例 2 例 2 判断： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例 3 如图，设 O是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA、OB、 学习必备欢迎下载 OC相等的向量 . 变式一
7、：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,） 课堂练习 ： 1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形当且仅当 ABDC 一个向量方向不确定当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2书本 77 页练习 三、课后作业 ： 书本 77 页习题 2.1 第 2、3、5 题 学习必备欢迎下载 第 2 课时 2.2.1 向量的加法运算及其
8、几何意义 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培 养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算 的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点： 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点： 理解向量加法的定义 . 教学思路： 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量. 长度相等、方向相同的向量相等. 因 此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改
9、变它 的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从 A到 B，再从 B按原方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB （2） 若上题改为从 A到 B，再从 B按反方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB （3）某车从 A到 B，再从 B改变方向到 C， 则两次的位移和： ACBCAB A B C C A B A B C 学习必备欢迎下载 O A B a a a b b b （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB 二、探索研究： 、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 、三角形法则（“首尾相接，首尾连” ） 如图，已知向量 a、. 在平面内任取一点A
10、，作ABa，BC，则向量AC 叫做 a 与的和，记作 a，即 a ACBCAB，规定：a + 0 = 0 + a 探究： （1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量 a与b不共线时，a+b的方向不同向，且 |a+b|b| ， 则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b| ；若 | a|0时a与a方向相同； 0， (a)b=|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos，a(b) = |a|b|cos， 若 0 ，(a)b =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos， (a b) =|a|b|cos， a(b) =|a|b|cos() = |a|b|(
11、cos ) =|a|b|cos. 学习必备欢迎下载 3分配律： (a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c，a + b（即OB）在c 方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c(a + b) = c a + c b即：(a + b)c = a c + b c 说明： （1）一般地， () （） （2），0 （3）有如下常用性质： ， （） （） () 三、讲解范例： 例 1
12、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a 2b 垂直，求a与b的夹角 . 解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a 2 + 16 a b15b 2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 两式相减： 2a b = b 2 代入或得：a 2 = b 2 设a、b的夹角为，则 cos = 2 1 2 2 2 |b b ba ba = 60 学习必备欢迎下载 例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD 中， DCAB，BCAD，AC=ADAB |AC| 2= A
13、DABADABADAB2| 22 2 而BD=ADAB， |BD| 2= ADABADABADAB2| 22 2 | AC| 2 + | BD| 2 = 2 22 2ADAB= 2222 |ADDCBCAB 例 3 四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA，且 ，试问四边形ABCD是什么图形 ? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四 边形的边角量 . 综上所述，四边形ABCD是矩形. 评述： (1) 在四边形中， AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和 向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用； (2) 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积
14、的定义式中含 有边、角两种关系 . 四、课堂练习： 1. 下列叙述不正确的是（） A.向量的数量积满足交换律B. 向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.ab是一个实数 2. 已知|a|=6，|b|=4 ，a与b的夹角为，则 (a+2b)(a-3b) 等于（） A.72 B.-72 C.36 D.-36 学习必备欢迎下载 3.|a|=3，|b|=4 ，向量a+ 4 3 b与a- 4 3 b的位置关系为（） A.平行B. 垂直 C.夹角为 3 D. 不平行也不垂直 4. 已知|a|=3，|b|=4 ，且a与b的夹角为 150，则(a+b) . 5. 已知|a|=2，|b|=5 ，
15、ab=-3，则|a+b|=_，|a-b|= . 6. 设|a|=3 ，|b|=5，且a+b与ab垂直，则 . 五、课后作业 学习必备欢迎下载 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. 能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作OA，OB，则（ ） 叫与的夹角. 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是 ，则数量 |a|b
16、|cos叫与的数量积，记作a b，即有a b = |a|b|cos， （ ）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 3向量的数量积的几何意义： 数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos的乘积. 4两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 . 1e a = ae =|a|cos； 2a ba b = 0 C 学习必备欢迎下载 3当a与b同向时，a b = |a|b| ；当a与b反向时，a b = |a|b|. 特别 的a a = |a| 2 或aaa | 4 cos = |ba ba ；5 |ab| |a|b| 5平面向量数量积的运算律 交换律：ab
17、 = ba 数乘结合律： (a)b =(a b) = a(b) 分配律： (a + b)c = ac + b c 二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),( 11 yxa，),( 22 yxb，试用a和b的坐标表示ba. 设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量， 那么jyixa 11， jyixb 22 所以 )( 2211 jyixjyixba 2 211221 2 21 jyyjiyxjiyxixx 又1ii， 1jj，0ijji，所以ba 2121 yyxx 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即ba 2121 yyxx 2. 平面内两点
18、间的距离公式 四、 设),(yxa，则 222 |yxa或 22 |yxa. （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22 yx，那 么 2 21 2 21 )()(|yyxxa( 平面内两点间的距离公式) 五、 向量垂直的判定 设),( 11 yxa，),( 22 yxb，则ba0 2121 yyxx 学习必备欢迎下载 六、 两向量夹角的余弦（0） cos = |ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 七、 讲解范例： 八、 设a = (5 ，7)，b = (6，4) ，求ab及a、b间的夹角 ( 精确到 1 o)
19、例 2 已知A(1 ， 2) ，B(2， 3) ，C( 2， 5) ，试判断ABC的形状，并给出证明 . 例 3 已知a = (3 ，1) ，b = (1 ， 2) ，求满足x a = 9 与x b = 4 的向量x. 例 4 已知a（，3） ，b（3，3） ，则a与b的夹角是多少 ? 分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角 的范围 确定其值 . 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例 5 如图，以原点和A(5 ， 2) 为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B 和向量 AB的坐标 . 例 6 在ABC中，AB=(2， 3) ，AC=(1，k)，且ABC的一
20、个内角为直角， 求k值. 九、课后作业 学习必备欢迎下载 复习课 一、教学目标 1. 理解向量 . 零向量 . 向量的模 . 单位向量 .平行向量 . 反向量 . 相等向量 . 两向 量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理 . 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式：| a|-|b| |ab| |a|+|b|( 试问：取 等号的条件是什么 ?)和向量形式的平行四边形定理：2(| a| 2 +|b| 2 )=| a b| 2 +|a+b| 2 . 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6. 向量的坐标概念和坐标表示法
21、7. 向量的坐标运算（加 . 减.实数和向量的乘法 . 数量积） 8. 数量积（点乘或内积）的概念，ab=|a|b|cos=x1x 2+y1y2注意区别 “实数与向量的乘法；向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识，向量观点在数学. 物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它 具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学 内容的许多主干知识综合， 形成知识交汇点， 所以高考中应引起足够的重视. 数 量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直 三、典型例题 例 1. 对于任意非零向量 a与b， 求证：a-baba+ b 证明：(1) 两个非零向量 a与b不共线时，a+b的方
22、向与a，b的方向都不同， 学习必备欢迎下载 并且a- b aba+b (3) 两个非零向量 a与b共线时，a与b同向， 则a+b的方向与a.b相同且 a+b=ab. a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相 同，设|a| |b| ，则|a+b|=|a|-|b|. 同理可证另一种情况也成立。 例 2 已知 O为ABC内部一点， AOB=150 ， BOC=90 ，设OA=a，OB=b， OC=c， 且|a|=2 ，|b|=1 ，| c|=3 ，用a与b表示cij 解：如图建立平面直角坐标系xoy， 其中i, j是单位正交基底向量 , 则 B （0， 1） ， C （-3，0） ，设 A
23、（x，y） ，则条件知 x=2cos(150-90),y= -2sin(150 - 90)， 即 A （1，-3） ，也就是a=i3j, b=j，c=-3i所以-3a=33 b+c| 即c=3a 3 3 b 例 3. 下面 5 个命题： | ab|=|a| |b| (ab) 2 =a 2 b 2 a(bc)， 则ac=bcab=0，则| a+b|=|ab| ab=0，则a=0或b=0，其中 真命题是（） A B C D 三、巩固训练 1. 下面 5 个命题中正确的有（） a=b ac=bc；ac=bca=b； a（b+c） =ac+bc； a （bc）=（ab） c； b a a ba 2 .
24、 A B. C. D. 2. 下列命题中，正确命题的个数为（ A ） 若a与b是非零向量，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同； 若e为单位向量，且 ae则a=|a|eaaa=|a| 3 若a与b共线，a 学习必备欢迎下载 与c共线，则 c与b共线；若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD A 1 B 2 C 3 D 4 3. 下列 5 个命题中正确的是 对于实数 p,q 和向量a, 若 pa=qa则 p=q对于向量a与b，若|a|a=|b|b则 a=b对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2 则a=b对于两个单位向量a与b， 若 ka=b，则a=b 4. 已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1) ，B(5,4) ，C(2,7) ，D(-1,4),求证：四 边形 ABCD 为正方形。