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1、学习必备欢迎下载 初中九年数学教学设计 课题：抛物线与平行四边形 教师导学： 教师将 26 题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。 本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题近几年来中考26 题多是二 次函数与几何图形相结合的代几综合题。 （一）常见考点 : （1）确定二次函数解析式 （2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全 等三角形、相似三角形、特殊四边形等） （3）函数类最值问题 （4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想） 本节课主要解决与动点有关的平行四边形问题的研究方法和策略 教 学 目 标 1. 学生经历课上对简单
2、动点问题的讲习，理解平行四边形的性质和判定，对简 单动点问题的解题方法有初步的理解； 2. 经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升； 3. 在自主解题和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等 主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。 重点已知平行四边形两个定点确定第三个点和第四个点。 难点 运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想、分类讨论思想 解决平行四边形的动点问题。 学习必备欢迎下载 （二）解题策略： 动点（线、面）画出符合条件的静态图形设出关键点坐标由点坐标表示线段长 建立模型（方程）解方程求解符合条件的点坐标验证符合题意 教学
3、过程设计 问题与情境师生行为设计意图 问题 1、如图，抛物线与 x 轴交 A(-1,0) 、B（3,0 ）两点，与 y 轴交于点 C,顶点为 D （1） 求抛物线的解析式； （2） 抛物线上有一动点M ，在抛物线 的对称轴上是否存在一点N，使 以 A,B,M,N 为顶点的四边形是 平行四边形，若存在直接写出M 点的坐标 . 教师展示问题，学生研究方法， 有思路的同学讲解，缕顺思路 后，每组选一名同学到黑板板 演，教师巡视，点拨。 通过此题的研究， 让 学生体会已知确定 的两点，和第三点的 横坐标，求抛物线上 第四点坐标的方法。 学习必备欢迎下载 巩固、抛物线cbxaxy 2 交 x 轴于点 A
4、（-3,0 ）、B（1,0 ），交 y 轴 于点 E(0,-3).点 C是点 A 关于点 B 的 对称点，点 F 是线段 BC的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，在直线 l 上取 点M, 在 抛 物 线 上 取 点N, 使 以 点 A,C,M.N 为顶点的四边形是平行四边 形，求点 N的坐标。 问题 2、如图，抛物线 2 23yxx与 x 轴交 A、B 两点（ A点在 B点左侧） ， 直线l与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC的函数表达式； （2）点 G是抛物线上的动点， 在 x 轴上是否存在点F，使 A、C 、F、G这 样的
5、四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在， 求出所有 满足条件的 F点坐标；如果不存在， 请 说明理由 教师展示问题，学生通过对题意 的理解，解决问题。 教师展示问题 , 观察此题与上两 题的不同之处是此题知道两点 坐标，和第三点的纵坐标， 借助 点 G的横坐标来求点F 的横坐 标。学生在教师引导下， 探究解 决问题。 此题与问题1 属同 一题型，通过练习， 加深对这一发法的 理解运用。培养学生 的能力。 此题是抛物线与平 行四边形问题中的 典型题，具有代表 性。 学习必备欢迎下载 检测; 1、抛物线 2 23yxx 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A,B 两点，点 P （1，K）
6、 在直线 BC上，点 M在 x 轴上，点 N在 抛物线上，是否存在以 A,M,N,P 为顶点 的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，在平面直角坐标系中，已知 抛物线经过点 A （-4，0），B （0，-4 ）， C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式 （2）若点 P时抛物线上的动点，点Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位 置能使点 P，Q ，B，O为顶点的四边形 为平行四边形， 直接写出相应的点Q的 坐标 小结 研究已知确定的两点， 求第三个点或第 四个点坐标的平行四边形问题， 主要是 抓住已知线段为对角线或已知线段为 边，分情况讨论。 学生独
7、立完成 如果学生掌握较快，就进行 否则，作为课后探究。 师生互动、生生互动，总结本节 知识点以及形成的能力 教师归纳展示本节课知识 体会解题策略，个别学生梳理， 讲解分析，教师归纳动点问题的 研究策略：关键点坐标线段 长构建方程解方程 验证 巩固方法，熟练运 用。 通过检查了解学生 对本节知识掌握情 况 培养学生变式能力 通过学生自己、 同学 间、师生间互动较全 面的归纳本节课的 收获。 学生基本能在学生 层面解决，教师针对 学生问题进行归纳 提升，分类问题， 分 类的标准，借助手中 的尺子，动中取静。 学习必备欢迎下载 作业： 必做题 5 道 选做题 2 道 课下完成。 使不同程度的学生 都
8、能得到不同程度 的训练和提高。 课后作业 必做题 学习必备欢迎下载 1、已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O ，与 x 轴的另一个交点为B，若点 C在抛物线的对称 轴上，点 D在抛物线上，且以 O ，C，D ，B四点为顶点的四边形为平行四边形，则 D点的坐标为 2如图，抛物线 y=（x-1 ）（x-5 ）交 x 轴于 A、B 两点， P 为顶点，四边形 ABCP 是平行四边形，则经 过 P、B、C三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式为 第 2 题第 3 题 3如图，抛物线y=x 2-2x-3 与 x 轴分别交于 A，B两点 （1）求 A，B两点的坐标； （2）求抛物线顶点M关于 x
9、 轴对称的点 M 的坐标，并判断四边形AMBM是何特殊平行四边形（不 要求说明理由） 4经过点 A（-4，5）的抛物线 y=-x 2+bx+5 与 y 轴交于点 B点 M在抛物线的对称轴上，点 N在抛物线 上，且以 A，B，M ，N为顶点的四边形是平行四边形则点N的坐标为 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0）， B（3，0），C（0，-1）三点 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 Q在 y 轴上，点 P在抛物线上，要使Q 、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条 件点 P的坐标 选做题 6如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过 A（-2、0）B（2、4）两点，与 x
10、轴的另一交点为 D，点 P（x、y）是 线段 AB上的一个动点，过P点的直线 PQ x 轴，与抛物线相交于点Q （1）求 b、c 的值 （2）求线段 PQ长度的最大值 学习必备欢迎下载 （3）当 PQ的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M 、N两点（点 M的横坐标小于 N 的横坐标），使 得 P、D、M 、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M 、N的坐标；若不存在，请说明理由 7、如图，直线3xy与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 A，点 B的坐标为（2，3), 抛物线cbxxy 2 经过 A,C 两点。 （1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上。 （2）点 P在直线 AC
11、上，点 Q在抛物线cbxxy 2 上，是否存在 P,Q, 使以 A、B、P、Q为顶点的四 边形使平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。 抛物线中动点构成平行四边形的专题 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0， 1）三点 . （1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 在 y 轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的 点 P的坐标 . C B A O x y 学习必备欢迎下载 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（ 4，0） ， B（ 0， 4） ， C（2，0）三点
12、. （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y = x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的 四边形是平行四边形，写出相应的点Q 的坐标 . 3.如图， 在平面直角坐标系中，矩形 ABOC 的边 OB 在 x 轴的负半轴上， 边 OC 在 y 轴正半轴上， 且 AB = 1 ，OB = 3， 矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转60 后得到矩形EFOD. 点 A 的对应点为点E，点 B 的对应点为点F，点 C 的对 应点为点 D，抛物线y = a x 2 + b x + c 过点 A、 E、D. （1）判断点E 是否在 y 轴上，并说
13、明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在 x 轴的上方是否存在点P、点 Q，使以点O、B、P、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的 2 倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点P、点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 二次函数与平行四边形 【例 1】 （2011 湛江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为 D（ 1， 4） ，与 y 轴交于点C（0， 3） ，与 x 轴交于 A， B 两点（点A 在点 B 的左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC ，CD，AD，试证明 ACD 为直角三角形； C B AO x y D E F C B A O x y
14、学习必备欢迎下载 （3）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以 A， B，E，F 为顶点的的四边形为平行四边形？ 若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由 【例 2】 （2011 广东）如图，抛物线1 4 17 4 52 xxy与 y 轴交于 A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B， 过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线 AB 的函数关系式； （2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作 PNx 轴，交直线AB 于点 M， 交抛物线于点N. 设点 P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s
15、 个单位， 求 s 与 t 的函数关系式， 并写出 t 的取值范围； （3）设在（ 2）的条件下（不考虑点P 与点 O，点 C 重合的情况） ，连接 C M，BN，当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由 . 学习必备欢迎下载 【例 3】 （2010 茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA 的顶点 A、C 分别在y轴、x轴上，点 B 坐标为 （ 6，6） ，抛物线cbxaxy 2 经过点 A、B 两点，且13ba （1）求a，b，c的值； （2）如果动点E、F 同时分别从点A、点 B 出发，分别沿AB 、BC运动，速
16、度都是每秒1 个单位长度，当点 E 到达终点 B 时，点 E、F 随之停止运动设运动时间为t秒，EBF的面积为S 试求出 S 与t之间的函数关系式，并求出S 的最大值； 当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果 存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由 学习必备欢迎下载 【例 4】 (2011 河源 ) 如图 1，已知抛物线 2 43yxx与 x 轴交于两点A、B，其顶点为C (1)对于任意实数m，点 M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由； (2)求证 :ABC 是等腰直角三角形； (3)已知点 D 在 x 轴上，那么在抛
17、物线上是否存在点P，使得以 B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 学习必备欢迎下载 【例 5】 （2012 恩施） 如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与一直线相交于 A（-1，0） ，C（2，3）两点， 与 y 轴交于点 N其 顶点为 D （1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点E 作 EFBD 交抛物线于点F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值 学习必备欢迎下载