《【优质文档】空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载 空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12，底面 ABCD 是直角梯形，A 为直角， ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与 DC 所成角的余弦值 解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z 轴建立空间直 角坐标系，则C1（， 1， 2） 、B（2，4，）， 1 ( 23 2)BC， ， (010)CD， ， 设 1 BC与CD所成的角为， 则 1 1 3 17 cos 17 BC CD BCCD 二、利用线面垂直关系构建直
2、角坐标系 例 2如图 2，在三棱柱ABCA1B1C1中， AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1上异于 C、C1的 一点， EAEB1已知2AB，BB12，BC 1，BCC1 3 求二面角AEB1A1的平面 角的正切值 解析：如图2，以 B 为原点，分别以BB1、BA 所在直线为y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面 AB1的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 由于 BC1，BB12，AB2， BCC1 3 ， 在三棱柱ABCA1B1C1中， 有 B （， ， ） 、 A （， ，2） 、 B1（， 2， ） 、 31 0 22 c ，、 1 33 0 22 C ， ， 设 3 0 2 Ea
3、， ，且 13 22 a， 学习必备欢迎下载 由 EAEB1，得 1 0EA EB， 即 33 220 22 aa ， 2 33 (2)20 44 a aaa， 13 0 22 aa ， 即 1 2 a或 3 2 a（舍去）故 3 1 0 22 E ， 由已知有 1 EAEB， 111 B AEB，故二面角 AEB1A1的平面角 的大小为向量 11 B A与 EA的夹角 因 11 (0 02)B ABA， 31 2 22 EA ， 故 11 11 2 cos 3 EA B A EA B A ，即 2 tan 2 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3如图 3，在四棱锥VABCD 中，底面A
4、BCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD （ 1）证明 AB平面 VAD； （ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值 解析： （1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系 设 AD2，则 A（ 1，）、D（ 1，）、B（1，2，） 、 V（，3） ，AB（， 2，） ，VA（ 1，3） 由(0 2 0) (103)0AB VA，得 ABVA 又 ABAD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线VA、AD 都垂直，AB平面 VAD； 学习必备欢迎下载 （ 2）设 E 为 DV 的中点，则 13 0 22 E ， 33 0 2
5、2 EA ， 33 2 22 EB ，(103)DV， 33 2(103)0 22 EB DV ， EBDV 又 EADV，因此 AEB 是所求二面角的平面角 21 cos 7 EA EB EA EB EA EB ， 故所求二面角的余弦值为 21 7 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4已知正四棱锥V ABCD 中， E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为2a，高为 h （ 1）求 DEB 的余弦值； （ 2）若 BEVC，求 DEB 的余弦值 解析： （1） 如图 4， 以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 OxBC， Oy AB，则由 AB
6、2a，OVh，有 B（a，a，） 、C（-a，a，） 、D（-a，-a，） 、V（0，0， h） 、 2 2 2 a a h E ， ， 3 22 2 a h BEa， ， 3 2 22 ah DEa ， 22 22 6 cos 10 BE DEah BE DE ah BE DE ， 即 22 22 6 cos 10 ah DEB ah ； 学习必备欢迎下载 （2）因为 E 是 VC 的中点，又BEVC， 所以0BE VC，即 3 ()0 22 2 a h aaah ， ， 22 2 3 0 222 ah a，2ha 这时 22 22 61 cos 103 ah BE DE ah ，即 1 c
7、os 3 DEB 五、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用 自身对称性可建立空间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥PABCD 与 QABCD 的高都为2，AB 4 （1）证明： PQ平面 ABCD； （2）求异面直线AQ 与 PB 所成的角； （3）求点 P 到平面 QAD 的距离 （2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC BD由（ 1） ，PQ平面ABCD，故可分别以直线 CADBQP，为x ， y ， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图1 ），易 得 ( 2 2 02)(0 2 22)AQPB， ， 1 cos 3 AQ PB AQ PB AQ PB ， 学习必备欢迎下载 所求异面直线所成的角是 1 arccos 3 （3）由（ 2）知，点(022 0)( 2 22 2 0)(0 04)DADPQ， 设n=（x，y，z）是平面QAD 的一个法向量，则 0 0 AQ AD ， ， n n 得 20 0 xz xy ， ， 取 x1，得 (112)， ，n =点 P 到平面 QAD 的距离2 2 PQ d n n 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得 出第（ 3）问也可用“等体积法”求距离