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1、学习必备欢迎下载 第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算（一） 学习目标： 知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律； 能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 用联系的观点看待事物 学习重点： 空间向量的加减与数乘运算及运算律 学习难点： 应用向量解决立体几何问题 学习方式： 讨论式 学习过程： . 复习 师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知
2、识，什么叫 做向量？向量是怎样表示的呢？ 生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有： 用有向线段表示；用字母 a、 b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB 师数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以 将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下 生长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如下： (1)| a| | | a| (2) 当 0 时， a 与 a 同向；
3、当 0 时， a 与 a 反向； 当 0 时， a0. 师关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ 生向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律： abba 加法结合律： ( ab)ca（bc） 数乘分配律： ( ab) a b 师今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表 示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行 一些简单的应用请同学们认真阅读课本P26P27内容。 . 学习新课 师 如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空 间的一个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等
4、的向量又是怎样表示的 呢？ 生 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表 示同一向量或相等的向量 师由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一 平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的 师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ 生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： 学习必备欢迎下载 ABOAOB=a+b， OAOBAB（指向被减向量） ， OP a)(R 师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律 生空间向量加法与数乘向量有如下运算律： 加法交换律： a + b = b
5、 + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)； 数乘分配律： (a + b) =a +b 师空间向量加法的运算律要注意以下几点： 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： nnn AAAAAAAAAA 11433221 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即： 0 11433221 AAAAAAAAAA nnn 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则 例已知平行六面体DCBAABCD（
6、如图） ，化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量： ；BCAB ；AAADAB 2 1 CCADAB ) ( 3 1 AAADAB 说明：平行四边形 ABCD 平移向量a 到 ABC D 的轨迹所形成 的几何体，叫做 平行六面体记作 ABCDABC D 平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 解： （见课本 P27） 说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之 和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所 表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 . 巩固练习 课本 P92练习 .小结： 平面向量仅限于研究平
7、面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平 移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间 的平移包含平面的平移 关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法 . 课后作业 预习课本P92P96，预习提纲： 怎样的向量叫做共线向量？ 两个向量共线的充要条件是什么？ 空间中点在直线上的充要条件是什么？ 什么叫做空间直线的向量参数表示式？ 怎样的向量叫做共面向量？ 向量 p 与不共线向量a、b 共面的充要条件是什么？ 空间一点P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？ 学习必备欢迎下载 空间向量及其运算（ 2） 一、学习目标：1理解共线向量定理和共面向量定理
8、及它们的推论； 2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式 二、学习重、难点：共线、共面定理及其应用 三、学习过程： （一）复习回顾：空间向量的概念及表示； （二）新课学习： 1共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作：a平行于b，记作：/ab 2共线向量定理： 对空间任意两个向量, (0),/a b bab的充要条件是存在实数，使ab（唯一） 推论 ：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线 l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB，其中向量a叫做直线l的方向向
9、 量。在l上取ABa，则式可化为OPOAt AB或(1)OPt OAtOB 当 1 2 t时，点P是线段AB的中点，此时 1 () 2 OPOAOB 和都叫空间直线的向量参数方程，是线段 AB的中点公式 3向量与平面平行： 已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量 a平行于平面，记作：/a 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 4共面向量定理： 如 果 两 个 向 量,a b不 共 线 ，p与 向 量,a b共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数, x y使 pxayb 推论 ：空间一点 P位于平面MAB内的充分必要
10、条件是存在有序实数对, x y，使 MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB 上面式叫做平面MAB的向量表达式 （三）例题分析： 例 1已知,A B C三点不共线，对平面外任一点，满足条件 122 555 OPOAOBOC， 试判断：点 P与,A B C是否一定共面？ 解：由题意：522OPOAOBOC， ()2()2()OPOAOBOPOCOP， 22APPBPC，即22PAPBPC， 所以，点P与,A B C共面 说明： 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的 充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算 【练习】： 对空间任一点O和
11、不共线的三点,A B C， 问满足向量式OPxOAyOBzOC （其中1xyz）的四点,P A B C是否共面？ 解：(1)OPzy OAyOBzOC， ()()OPOAy OBOAz OCOA， APyABzAC，点P与点,A B C共面 例 2已知ABCD，从平面AC外一点O引向量 ,OEkOAOFKOB OGkOC OHkOD， （1）求证：四点,E F G H共面； （2）平面AC /平面EG 解： （ 1）四边形 ABCD是平行四边形， ACABAD， EGOGOE， a l P B A O O A B C D H F G E a a 学习必备欢迎下载 ()() () k OCk O
12、Ak OCOAk ACk ABAD k OBOAODOAOFOEOHOE EFEH ,E F G H共面； （ 2）()EFOFOEk OBOAk AB，又EGk AC， /,/EFAB EGAC 所以，平面 /AC 平面EG 四、练习：课本第96 页练习第1、2、3 题 五、小结： 1共线向量定理和共面向量定理及其推论； 2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式 七、补充练习： 1已知两个非零向量 21, e e不共线，如果 21 ABee， 21 28ACee， 21 33ADee， 求证：,A B C D共面 2已知324 ,(1)82amnp bxmnyp，0a，若/ab，求实
13、数, x y的值。 3如图，,E F G H分别为正方体 1 AC的棱 11111111 ,A BA DB CD C的中点， 求证： （1）,E F D B四点共面；（2）平面AEF /平面BDHG 4已知,E F G H分别是空间四边形ABCD边,AB BC CD DA的中点， （1）用向量法证明：,E F G H四点共面； （2）用向量法证明：/BD平面EFGH D1 C1 B1 A1 H G F E D C BA A B C D F E G H 学习必备欢迎下载 3.1.3 空间向量的数量积（1） 学习学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2掌握两个向量的数量积的计算方法，并
14、能利用两个向量的数量积解决立体几 何中的一些简单问题。 学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 学习过程 （一）复习回顾：空间向量基本定理及其推论； （二）新课学习： 1空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b， 在空间任取一点 O， 作 ,O AaO Bb， 则 A O B 叫做向量 a与 b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a； 若, 2 a b，则称a与b互相垂直，记作：ab； 2向量的模（长度） ： 设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作：|a ； 3向量的数量积： 已知向量,a b，则| | cos,ab
15、a b叫做,a b的数量积，记 作a b，即a b| | | | cos,aba b 已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量， 作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A B叫做 向量AB在轴 l上或在e上的正射影；可以证明A B 的长度 | | cos,|A BABa ea e 4空间向量数量积的性质： （1）|cos,a eaa e （2）0aba b （3） 2 |aa a 5空间向量数量积运算律： （1）()()()aba bab （2）a bb a（交换律） （3）()abca ba c（分配律） （三）例题分析： 例 1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
16、已知：,m n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且,lm ln 求证： l 证明：在内作不与,m n重合的任一直线g， 在, ,l m n g上取非零向量, ,l m n g， ,m n相交， 向量,m n不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对( ,)x y，使gxmyn， lgxlmyln，又0,0lmln， 0lg，lg，lg， 所以，直线 l垂直于平面内的任意一条直线，即得l 例 2已知空间四边形 ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC 证明： （法一）() ()AD BCABBDACAB 2 AB ACBDACABAB BD ()0ABACABBDAB DC
17、 （法二）选取一组基底，设,ABa ACb ADc， ABCD，()0acb，即a cb a， 同理：a bb c， ， a cb c， ()0cba，0AD BC，即ADBC 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知 向量，然后通过向量运算取计算或证明。 例 3如图， 在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC， 60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值。 解： 注意 ：由图形知向量的夹角时易出错， 如,135OA AC易错写成,45OA AC 补充练习： 1 已知向量ab，向量c与,a b的夹角都是60， 且| 1,| 2,|
18、3abc， 试求： （1） 2 ()ab； （2） 2 (2)abc； （3）(32 ) (3 )abbc AC B AB e l m n m n g g l O A B C 学习必备欢迎下载 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课题向量的坐标 教学目的要求 1理解空间向量与有序数组之间的1-1 对应关系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示 主要内容与时间分配 1投影与投影定理25 分钟 2分向量与向量的坐标30 分钟 3模与方向余弦的坐标表示35 分钟 重点难点 1投影定理 2分向量 3方向余弦的坐标表示 教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案 一、向量在轴上的投影 1几个概念 (
19、1) 轴上有向线段的值： 设有一轴u，AB是轴u上的有向线段， 如果数满足AB， 且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向 线段AB的值 ，记做 AB，即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量，则eAB (2) 设 A、B、 C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC (3) 两向量夹角的概念： 设有两个非零向量a和 b， 任取空间一点O， 作aOA，bOB， 规定不超过的 AOB称为向量a和 b的夹角，记为 ),( ba (4) 空间一点A 在轴u上的投影：通过点A 作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点 A 叫做点 A 在轴u上的投影
20、。 (5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A 和终点B 在轴u上的投影分别 为点 A和 B，那么轴u上的有向线段的值 BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做 ABj u Pr。 2投影定理 性 质1： 向 量 在 轴u上 的 投 影 等 于 向 量 的 模 乘 以 轴 与 向 量 的 夹 角的 余 弦 ： co sPrABABju 性 质2： 两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 的 和 ， 即 2121 aaaajjj u PrPr)(Pr 性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 aaj
21、juPr)(Pr 二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立 了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的 研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设a = 21M M是 以),( 1111 zyxM为 起 点 、 ),( 2222 zyxM为 终 点 的 向 量 ， i、 j、 k分 别 表 示 图 75 沿 x， y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应用 向量的加法规则知： )( 1221 xxMMi + )( 12 yyj+)( 12 zzk 或a = axi +
22、ayj + azk 学习必备欢迎下载 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫 做向量 a 的坐标，并记为 a ax，ay，az 。 上式叫做向量a 的坐标表示式。 于是，起点为),( 1111 zyxM终点为),( 2222 zyxM的向量可以表示为 , 12121221 zzyyxxMM 特别地，点),(zyxM对于原点O 的向径 ,zyxOM 注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量 a 在坐标轴上的分向量是
23、三个向量axi 、 ayj 、 azk. 2向量运算的坐标表示 设, zyx aaaa，, zyx bbbb即kjia zyx aaa，kjib zyx bbb 则 (1) 加法：kjiba)()()( zzyyxx bababa 减法：kjiba)()()( zzyyxx bababa 乘数：kjia)()()( zyx aaa 或, zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa 平行： 若 a0 时，向量ab/相当于ab， 即 , zyxzyx aaabbb 也相当于向量的对应坐标成比例即 z z y y x x a b a b a b 三、向量
24、的模与方向余弦的坐标表示式 设, zyx aaaa，可以用它与三个坐标轴的夹 角、（均大于等于0，小于等于）来表示它 的方向，称、为非零向量a 的方向角，见图7 6，其余弦表示形式coscoscos、称为方向余 弦。图7 6 1 模 222 zyx aaaa 2 方向余弦 由性质 1 知 coscos coscos coscos 21 21 21 a a a MMa MMa MMa z y x ，当0 222 zyx aaaa时，有 222 222 222 cos cos cos zyx zz zyx yy zyx xx aaa aa aaa aa aaa aa a a a 任意向量的方向余弦
25、有性质：1coscoscos 222 学习必备欢迎下载 与非零向量a 同方向的单位向量为： cos,cos,cos, 1 zyx aaa aa a a 0 3 例子： 已知两点 M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量 21M M的模、方向余弦、方向角以及 与 21M M同向的单位向量。 解： 21M M 1-2 ，3-2，0-2=-1 ，1，-2 2)2(1)1( 222 21M M 2 1 cos， 2 1 cos， 2 2 cos 3 2 ， 3 ， 4 3 设 0 a为与 21M M同向的单位向量，由于cos,cos,cos 0 a 即得 2 2 , 2 1 , 2 1 0 a