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1、学习必备欢迎下载 相交线与平行线知识点整理 5.1 相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形边的关系大小关系 对顶角 1 与 2 1 的两边与 2的两边互为反向 延长线对顶角相等 即 1=2 邻补角 3 与 4 3 与 4 有一条边公共，另一边 互为反向延长线。 邻补角互补 3+4=180 注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； 如果与是对顶角， 那么一定有；反之如果，那么与不一定是对顶角； 如果与互为邻补角，则一定有180 ；反之如果180 ，则与不一定 是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补
2、角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条 直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作：如图所示： ABCD ，垂足为O 垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， 三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一
3、点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图， POAB，同 P 到直线 AB 的距离是PO 的长。 PO 是垂线段。 PO 是点 P 到 直线 AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线” 、 “垂线段”、 “两点间距离” 、 “点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质 ) 两点间距离与点到直线的距离区别： 两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之
4、 间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间 距离。 线段与距离距离是线段的长度，是一个量； 线段是一种图形，它们之间不能等同。 5.2 平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作ab，读作： a 平行于 b。 2、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重 P A B O 1 2 3 4 A B C D O 学习必备欢迎下载 合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，
5、可以根据它们的公共点的个数来确定： 有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这 两条直线都平行。 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 如图，直线ba,被直线 l所截 1 与 5 在截线l的同侧，同在被截直线ba,的
6、上方，叫做同位角（位置相同） 5 与 3 在截线l的两旁（交错） ，在被截直线ba,之间（内） ，叫做内错角（位置在内且交错） 5 与 4 在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做同旁内角。 三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。 6、两直线平行的判定方法 判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁
7、内角互补，两直线平行几何符号语言： 解：3 2 ABCD（同位角相等，两直线平行） 1 2 ABCD（内错角相等，两直线平行） 4 2180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 注意：注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。 平行线的判定是写角相等或互补，然后写平行。 典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： 不相交的两条直线必定平行线。 在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。 过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答：错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。 “在同一平面内”是一项重要条件，不能 遗
8、漏。 正确 不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上， 是作不出这条直线的平行线的。 典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ 解答：2 B ，AB DE（同位角相等，两直线平行。） a b c a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F 1 2 3 4 A B E D F C 1 2 3 学习必备欢迎下载 1 D ，AC DF（内错角相等，两直线平行。） 3 F180， AC DF（同旁内角互补，两直线平行。） 5.3 平行线的性质 1、平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等；
9、性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 2、命题： 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。 命题的组成： 每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成 “如果，那么”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么” 开始的部分是结论。 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论 部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述。 3、平行线的性质与判定平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补。 其中，
10、由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由 平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。 典型例题：已知1 B，求证： 2 C 证明： 1 B（已知） DE BC（同位角相等，两直线平行） 2 C（两直线平行，同位角相等） 注意：在了DE BC，不需要再写一次了，得到了DE BC，这可以把它当作条件来用了。 典型例题：如图，ABDF ，DE BC， 165，求 2、 3 的度数 A B C D E F 1 2 3 4 A D E B C 1 2 几何符号语言： 解 ： ABCD 1 2（两直线平行，内错角相等） AB CD
11、3 2（两直线平行，同位角相等） AB CD 4 2180（两直线平行，同旁内角互补） 学习必备欢迎下载 解答： DE BC（已知） 2 1 65（两直线平行，内错角相等） AB DF（已知） AB DF（已知） 3 2 180（两直线平行，同旁内角互补） 3180 2 180 65 115 5.4 平移 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征： 经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形 的形状与大小都没有发生变化。 经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 典型例题：如图，ABC 经过平移之后成为DEF ，那么： 点 A 的对应点是点；点B 的对应点是点。 点的对应点是点F；线段AB 的对应线段是线段； 线段 BC 的对应线段是线段；A 的对应角是。 的对应角是F。 解答： D； E； C； DE； EF； D； ACB。 思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。 A D F B E C 1 2 3 A D B E C F