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1、精品资料欢迎下载 第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 定义 设函数fx 在点 0x 的某邻域0 Ux内有定义， 如果对于去心邻域 0U x内有定义， 如果对于去心邻域 0 U x内的任一x，有 0 fxfx（或 0 fxfx） ， 那么就称 0fx是函数fx 的一个极大值（或极小值） 函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点 定理 1 （必要条件）设函数fx 在点 0 x 处可导，且在0x 处取得极值，则 0fx0. 定理 2（第一充分条件）设函数fx 在 0 x 处连续，且在 0 x 的某去心邻域 0, U x内可 导 （1）若当 00 ,xxx时，0f
2、x，而当 00 ,xxx时，0fx，则 fx 在 0x 处取得极大值； （2）若当 00 ,xxx时，0fx，而当 00 ,xxx时，0fx，则 fx 在 0 x 处取得极小值； （3）若当 0, xUx时， fx 的符号保持不变，则fx 在 0 x 处不取得极值 例 1 求函数 2 3 41f xxx的极值 解fx 在,内可导，除1x外处处可导，且 3 51 31 x fx x 解方程0fx得函数的驻点1x易知1x为函数的不可导点 在, 1 内，0fx；在1,1 ，0fx，故1x是函数的一个极大值点又 因在 1,内，0fx，故1x是函数的一个极小值点 极大值为10f，极小值为 3 13 4.
3、f 精品资料欢迎下载 定理 2（第二充分条件）设函数fx 在 0 x 处具有二阶导数且 00 0,0fxfx，则 （1）当 00fx时，函数fx 在 0 x 处取得极大值； （2）当 0 0fx时，函数fx 在 0 x 处取得极小值 例 2 求函数 3 2 11fxx的极值 解 2 2 61 .fxx x 解方程0fx，得驻点 123 1,0,1.xxx 22 6151 .fxxx 因060f，故 fx 在0x处取得极小值00.f 因110ff，故用定理3 无法判别 当x取1左侧邻近的值时，0fx； 当x取1右侧邻近的值时，0fx， 函数 fx 在1x处不取极值同理，fx 在1x处不取极值 二
4、、最大值最小值问题 求闭区间,a b 上连续函数fx 的最大值最小值的方法如下： （1）求出fx 在,a b 内的驻点及不可导点； （2）计算fx 在上述驻点、不可导点处的函数值及fa ， f b ； （3）比较（ 2）中诸函数值的大小，其中最大的就是fx 在区间,a b 上的最大值，最 小的就是fx 在区间,a b 上的最小值 例 3 求函数 2 32fxxx在3,4 上的最大值与最小值 解 2 2 32,312,4 , 32,1,2 . xxx fx xxx 23,3,12,4 , 23,1,2 . xx fx xx 在3,4 内， fx 的驻点为 3 2 x；不可导点为1,2.x 精品资
5、料欢迎下载 因为 31 320,10,20,46 24 fffff，所以fx 在3,4 上的最大值 为320f，最小值为20.f 例 4 铁路上AB段的距离为100km 工厂 C 距A处 20km，AC 垂直于AB（如图所示） 为 了运输需要， 要在 AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路 已知铁路每千米货运的运费与 公路上每千米货运的运费之比为3:5 为了使货物从供应站B运到工厂 C 的运费最省， 问D 点应选在何处？ 解 设 ADx km，则100DBx km， 222 20400.CDxx 设铁路上每千米的运费为3k ，公路上每千米为5k （ k 为某个正数） ，从B点到 C 点需 要的需
6、要的总运费为y，则 2 54003100,0100.ykxkxx 该函数的导数为 2 5 3 . 400 x yk x 方程0y的解为15.x 因为 015100 2 1 |400 ,|380 ,|5001 5 xxx yk yk yk，所以该函数在区间0,100 上的最小 值为 15 |380 x yk 因此当15ADkm 时，总运费最省 习题 3-5 1.求下列函数的极值： （1） 32 26187yxxx； 解 2 61218,1212.yxxyx 精品资料欢迎下载 令0y得驻点 12 1,3.xx 由 1|240xy知1|17xy为极大值，由3|240xy知3|47xy为极小值 （3）
7、 42 2yxx ； 解 322 4441 ,124.yxxx xyx 令0y得驻点 123 1,1,0.xxx 由 1 |80 x y知 1 |1 x y为 极 大 值 由 1 |8 x y0 知 1 |1 x y为 极 大 值 由 0|40xy知0|0xy为极小值 （5） 2 13 45 x y x ； 解 2 2 32 2 2 10 12 3 4513 5 5 2 45 . 45 45 x xx x x y x x 令0y得驻点 12 . 5 x 当 12 5 x 时，0y， 因此函数在 12 , 5 上单调增加； 当 12 5 x 时，0y， 因此函数在 12 , 5 上单调减少，从而
8、 12205 510 y为极大值 6.求下列函数的最大值、最小值： （1） 32 23, 14yxxx； 解 函数的导数为 2 6661 .yxxx x 令0y得驻点 12 0,1.xx比较 1014 |5,|0,|1,|80 xxxx yyyy，得函数的最大 值为 4 |80 x y，最小值为 1 |5. x y （2） 2 82, 13xxx； 解 函数的导数为 3 416422 .yxxx xx 令0y得驻点 1 2x（舍去）， 23 0,2.xx 比较 1023 |5,|2,|14,|11 xxxx yyyy，得函数的最大值为 3 |11 x y，最小值为 精品资料欢迎下载 2 |14
9、. x y （3）1, 51.yxxx 解 函数的导数为 12 11 1. 2 12 1 x y xx 令0y，得驻点 3 . 4 x比较 531 4 5 |56,|,|1 4 xx x yyy，得函数的最大值为 3 4 5 |, 4 x y最小值为 5 |65. x y 10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁问应围成怎样的 长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解 如图，设这间小屋的的宽为x，长为y，则小屋的面积为.Sxy 已知 220xy，即202yx，故 2 202202,0,10 .Sxxxxx 204 ,4.Sx S令0S， 得驻点5.x由0S知5x为极大值点
10、， 又驻点唯一， 故极大值点就是最大值点，即当宽为5 m，长为 10m 时，这间小屋的面积最大 12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示） 截面的面积为5 2 m问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 精品资料欢迎下载 解 设截面的周长为l ，已知2 2 x lxy及 2 5 22 x xy，即 5 . 8 x y x 故 1040 ,0,. 4 x lxx x 23 1020 1,. 4 ll xx 令0l，得驻点 40 . 4 x由 3 40 24 20 0 40 4 x l知 40 4 x为极小值点，又驻 点唯一，故极小值点就是最小值点所以当截面的底宽为 40 4 x 时，才能使截面的周长 最小，从而使建造时所用的材料最省