【优质文档】第六章弯曲内力(讲稿)材料力学教案(顾志荣).pdf

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1、学习必备欢迎下载 第六章弯曲内力 一、教学目标和教学内容 1、教学目标 掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念； 熟练掌握用截面法求弯曲内力； 熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图； 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图； 掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。 2、教学内容 平面弯曲等基本概念； 截面法及简便方法求弯曲内力； 剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图； 用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图； 叠加法绘制剪力图和弯矩图。 二、重点难点 1、平面弯曲的概念； 2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则； 3、剪力图和弯矩图； 4、剪力、弯矩和载荷集度的微

2、分、积分关系； 学习必备欢迎下载 5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7 学时 五、实施学时 六、讲课提纲 1、平面弯曲的概念及梁的种类 平面弯曲的概念 简单回顾 轴向拉、压： 图 6-1 受力：pF作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。 变形；沿轴线方向的伸长或缩短。 剪切： 学习必备欢迎下载 图 6-2 受力：pF作用在杆的两侧面上，作用线轴线。 变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。 扭转： 图 6-3 受力： T 作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内）。 变形：相邻截面发生相对转动。 弯曲：讨

3、论杆的弯曲暂时限制在如下的范围； 杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） 图 6-4 载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内： 学习必备欢迎下载 图 6-5 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。 何谓梁？ 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。 梁的种类： 简支梁 图 6-6 悬臂梁 学习必备欢迎下载 图 6-7 外伸梁 图 6-8 多跨静定梁 图 6-9 超静定梁 学习必备欢迎下载 图 6-10 2、梁的内力及其求法 梁的内力 剪力与弯矩 确定约束反力 图 6-11

4、 内力分析 用截面法沿 m-m 截面截开（任取一段） 学习必备欢迎下载 图 6-12 按平衡的概念标上 Q F,M。 Q F-与横截面相切 剪力 M内力偶矩 弯矩 内力值的确定 用静力平衡条件： 0 y F0 QA FF得 AQ FF 0 o M0MaFA得aFM A （O- 截面形心） 剪力、弯矩的正、负号规定： 剪力：当截面上的FQ使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之 为负。 图 6-13 学习必备欢迎下载 弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹 向上时为正），反之为负。 图 6-14 求指定截面上的剪力和弯矩 图 6-15 求图示梁截面A、C 的内力

5、： 解：求反力： kN5 A F，kN4 B F 校核：0 y F06 BAp FFqF 学习必备欢迎下载 045613(无误) 求指定截面上的内力： 截面 A 左（不截到 A F）： 0 y F0 左QAp FF kN 左 3 PQA FF （使该段有逆时针转动的趋势） 0 O M 02 左Ap MF 图 6-16 mkN 左 623 A M （上拉下压） 截面 A右（截到 A F）： 0y 0 AQAp FFF 左 N 左 kFQA235 0 O M 02 右Ap MF 图 6-17 mkN 右 623 A M 截面 C左（不截到 M1）： 0 y F 02 左QCPA FqFF 0235

6、 左QC F 学习必备欢迎下载 0 O M 01224 左CAp MqFF 图 6-18 1212543 左C M mNk4 截面 C右（截到 M1）： 0 y F 02 右QC PAFqFF 0235 右QC F 0 O M 01224 1右CAp MMqFF 21212543 右C M 图 6-19 mkN6 小结 基本规律 求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱 离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段 进行分析。 在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ、M）假设为正号。 最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的

7、FQ、 M即为正的剪力和弯矩。 若计算结果为负， 则表示该截面上的剪力和弯矩均 是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的 内力方向改过来）。 梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有 学习必备欢迎下载 与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向 上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产 生负号的剪力。 梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力 （包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时， 在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使 该

8、截面上产生负号的弯矩。 另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶 会使该截面上产生正号的弯矩， 而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产 生负号的弯矩。 3、剪力图和弯矩图 为了知道FQ、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的FQ、M是 不够的，并能找到 maxQ F、 max M的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度 计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。 剪力方程和弯矩方程 梁内各截面上的FQ、M一般随横截面的位置不同而变化，横截面位置 若用沿梁轴线的坐标x 来表示，则梁内各横截面上的FQ、M都可以表示为 坐标 x 的函数，即 )(xFF QQ 剪力方程 )(xMM弯

9、矩方程 在建立)(xFQ、)(xM时，坐标原点一般设在梁的左端。 学习必备欢迎下载 剪力图和弯矩图 根据 )(xFQ、)(xM，我们可方便地将 Q F、M沿梁轴线的变化情况形象地 表现出来，其方法是 横坐标 x-横截面位置 纵坐标 Q F或M-按比例表示梁的内力 Q F、M画在横坐标的上边 Q F、 M画在横坐标的下边 剪力图、弯矩图的特点：（举例说明） 例题 6-1： 学习必备欢迎下载 图 6-20 解：求约束反力 整体平衡，求出约束反力： l F F P A； l F F P B注意；约束反力的校核 分段列)(xFQ、)(xM 注意：三定 定坐标原点及正向 原点：一般设在梁的左端； 正向：

10、自左向右为正向。 定方程区间 即找出分段点； 分段的原则：载荷有突变之处即为分段点。 定内力正负号 截面上总设正号的剪力、弯矩。 三定后即可建立)(xFQ、)(xM 学习必备欢迎下载 列)( 1 xFQ、)( 1 xM： AC 段：（根据图 b 列方程） l bF FxF P AQ )( 1 （0b 时， l aF F P Q max 据M图可见， c 截面处有， l abF M P max 若 a=b=l/2, 则 4 max lF M P 特点之一： 在集中力作用处，FQ图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力 的大小； P PPP Fba l F l aF l bF )(；图有一转折

11、点，形成尖角。 （M 图的切 线斜率有突然变化） 学习必备欢迎下载 例题 6-2 图 6-21 AC 段： l M FxF O AQ )( 1 （0b,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩 l aM M O max 特点之二： 在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该 集中力偶矩的大小； O OO M l bM l aM ；但剪力图没有突变。（FQ图连续， 并不改变斜率）。 例题 6-3 学习必备欢迎下载 图 6-22 qx ql qxFxF AQ 2 )(（0xl ） 222 )( 22 qxqlxqx xFxM A（0 x l） 由FQ、M 图可见： 支座处： 2 max

12、ql FQ FQ=0 处： 8 2 max ql M 特点之三： 从例题 8-1（集中力）、例题8-2（集中力偶）、例题8-3（均布荷载） 可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰 支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零。 例题 6-4 学习必备欢迎下载 图 6-23 qxxFQ)(（0 xl） 2 )( 2 qx xM（0 xl） 在固定端处：qlFQ max 2 2 max ql M 特点之四： 在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等 于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。 特点之五： 学习必备欢迎下载 在固定端处，剪力和弯矩

13、分别等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。 特点之六： 最大剪力、最大弯矩及其位置。 最大剪力发生位置：梁的支座处及集中力作用处有 max Q F，例题6-3 及 6-4 最大弯矩一般发生在下列部位； 集中力作用的截面处例题 6-1 集中力偶作用的截面处例题 6-2 FQ=0 处，M 有极值 例题 6-3 悬臂梁的固定端处例题 6-4（外伸梁的支座处往往也有 m ax M） 例题 6-5 学习必备欢迎下载 图 6-24 特点之七： 在梁的中间铰上如果没有集中力偶作用，则中间铰处弯矩必等于零，而 剪力图在此截面处不发生突变。 例题 6-6 再分析例题 6-1；集中作用在l/2 处 图 6-26 学

14、习必备欢迎下载 再分析例题 6-3：简支梁承受均布载荷 图 6-27 特点之八： 对称结构、对称载荷，FQ图反对称， M 图对称，据此特点，下面这道 题即可方便作出FQ、M 图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图） 学习必备欢迎下载 图 6-25 2 10)( x xq xxq5)( AC 段： 2 5.2105 2 1 )(xxxFxF AQ（0xl ） 3 6 5 10 3 )5( 2 1 )(xx x xxxFxM A（0 x 2） 根据特点之八，可画出整个梁的FQ、M 图 学习必备欢迎下载 例题 6-7 图 6-26 特点之九： 对称结构，反对称载荷，FQ图对称， M 图反对称。 特

15、点之十： 梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处M=0，构件设计中确 定反弯点的位置具有实际意义。 学习必备欢迎下载 4、)(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分和积分关系。 留心例题6-1 到例题6-4；特别是例题6-3、例题6-4，可以发现： dx xdM)( )(xFQ，)( )( xq dx xdFQ 。是否普遍存在着这样的关系？ )(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分关系。 图 6-27 取 dx 一段讨论，任设 )(xFQ、)(xM均为正值。 0 y F0)()()()(xdFxFdxxqxF QQQ )( )( xq dx xdFQ 式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力)(

16、xFQ对 x 的一阶导数 dx xdFQ)( ，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度)(xq。 式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度)(xq，就是剪力图上相 学习必备欢迎下载 关点处的斜率。 0 O M 0)()( 2 )()()(xdMxM dx dxxqdxxFxMQ 略去高阶微量 )( )( xF dx xdM Q 式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩)(xM对 x 的一阶导数 dx xdM)( ， 等于该截面上的剪力)(xFQ。 式的几何意义： 任一横截面处的剪力)(xFQ，就是弯矩图上相关点处的 斜率。 对式的两边求导，则 )( )( )( 2 2 xq dx xdF dx xM

17、dQ 式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩)(xM对 x 的二阶导数 2 2 )( dx xMd ，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度)(xq 数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此： 式的几何意义：可以根据)(xM对 x 的二阶导数的正、负来定出)(xM 图的凹向。 根据)(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分关系所得出的一些规律： 若)(xq=0 dx xdFQ)( =)(xq=0 ，即 )(xFQ=常数 学习必备欢迎下载 Q F图为一水平直线； 又)( )( xF dx xdM Q =常数，即 M 图的斜率为一常数 M 图为一斜直线。 并且当0 Q F时，M 图为上升的斜直线（

18、/）； 当0 Q F时，M 图为下降的斜直线（）. 若0)(xq（即分布荷载向下） dx xdFQ)( =q0 Q F图为一下降的斜直线（） 又0 )( Q F dx xdM M 图下降。 再0 )( 2 2 q dx xMd M 图为一凹向下的曲线（） 若0)(xq（即分布荷载向上） dx xdFQ)( =q0 Q F图为一上升的斜直线（ /） 又0 )( Q F dx xdM M 图上增。 再0 )( 2 2 q dx xMd M 图为一凹向上的曲线（） 若0)( )( xF dx xdM Q （即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而 学习必备欢迎下载 梁上又无q、FP作用） 则 M

19、图的斜率为零， M 图为一水平直线。 若0 )( Q F dx xdM ，M 图在该处的斜率为零时， 则在此截面上 M 为一极值。 若 QQ FF dx xdM)( 或 QQ FF dx xdM)( （即分段列内力方程的分段点， Q F变号） 则 M 在该处必有极值。 当 QQ FF时， M 有极大值； 当 QQ FF时， M 有极小值。 )(xq、)(xFQ、)(xM之间的积分关系 )( )( xq dx xdM dxxqxFQ)()( 若梁上任有两点： a 和 b，则 dxxqFFF b aQb a QQ )( 几何意义；任何两截面（ b，a）上的剪力之差，等于此两截面间梁段上 的荷载图的

20、面积； 又)( )( xq dx xdM dxxFxM Q )()( dxxFMMM Q b aab )( 几何意义；任何两截面上的弯矩之差， 等于此两截面间的剪力图的面积。 )(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分关系和积分关系的应用 学习必备欢迎下载 作内力图既快又正确的三句话： 抓住“关系”； 注意突变； 定点控制。 利用)(xq、)(xFQ、)(xM间的微分关系和积分关系作FQ、M 图 例题 6-8 学习必备欢迎下载 图 6-28 例题 6-9 图 6-29 例题 6-10 学习必备欢迎下载 图 6-30 例题 6-11 图 6-31 5、用叠加法绘制梁的剪力图和弯矩图 叠加法的基本思想 当梁在外力作用下的变形微小时，梁上若干外力对某一截面引起的内力 等于各个力单独作用下对该截面引起的内力的代数和。 叠加法 学习必备欢迎下载 同号图形的叠加 图 6-32 异号图形的叠加 图 6-33 叠加法的三句话： 截面相对应，同号只管加。 异号重叠处，不用去管它；抓住控制面，一一相减加。 图形必须归整，反弯点要对准；控制截面须对应，正负一定要分清。