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1、学习必备欢迎下载 第一章随机事件和概率 （ 1）排列 组合公式 )!( ! nm m P n m 从 m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m 从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （ 2）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成， 第二种方法可由n 种 方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成， 第二个步骤可由n 种 方法来完成，则这件事可由m n 种方法来完成。 （

2、3）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （ 4）随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （ 5）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的

3、样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A， B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（ ?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（ ）的概率为1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。 （ 6）事件 的 关 系 与 运算 关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与 B的差，记为A-B，

4、也可表 示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A与 B不可能同时发生，称 事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 学习必备欢迎下载 事件。互斥未必对立。 运算： 结合率： A(BC)=(AB)C A (BC)=(A B)C 分配率： (AB) C=(AC) (BC) (A B)C=(AC)(BC) 德摩根率： 11i i i i AA BABA，BABA （ 7）概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P

5、(A) ，若满足 下列三个条件： 1 0 P(A) 1， 2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件 1 A， 2 A，有 11 )( i i i i APAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A) 为事件A的概率。 （ 8）古典 概型 1 n21, ， 2 n PPP n 1 )()()( 21 。 设任一事件A，它是由 m21, 组成的，则有 P(A)=)()()( 21m =)()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A （ 9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来

6、描述，则称此随机试验为几何概 型。对任一事件A， )( )( )( L AL AP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P(B)=1- P(B) （12）条件 概率 定义设 A、B是两个事件，且P(A)0 ，则称 )( )( AP ABP 为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为)/(ABP )( )( AP ABP 。 条件概率是概率

7、的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 学习必备欢迎下载 （13）乘法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件A1，A2， An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21 (AAP ) n A)|()|()( 213121 AAAPAAPAP 21 |(AAAP n ) 1n A 。 （14）独立 性 两个事件的独立性 设事件 A、B满足 )()()(BPAPABP ，则称事件 A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且 0)(AP ，则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP A

8、BP ABP 若事件A、B相互独立， 则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A 、B、C相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全概 公式 设事件 n BBB, 21 满足 1 n BBB, 21 两两互不相容， ),2, 1(0)(niBP i ， 2 n i i BA 1 ， 则有 )|()

9、()|()()|()()( 2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。 （16）贝叶 斯公式 设事件 1 B， 2 B， n B 及A满足 1 1 B， 2 B， n B两两互不相容， )(BiP 0，i1，2， n， 2 n i i BA 1 ， 0)(AP ， 则 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/(，i=1 ，2， n。 此公式即为贝叶斯公式。 )( i BP， （ 1i ，2， n） ，通常叫先验概率。 )/(ABP i ， （ 1i ，2， n） ，通常称为后验概率。 贝叶斯公式反映了“因果” 的概率规律， 并作出了 “

10、由 果朔因”的推断。 （17）伯努 利概型 我们作了 n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否 是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。 学习必备欢迎下载 用 p 表示每次试验A发生的概率， 则A发生的概率为 qp1 ， 用 )(kPn 表示 n 重伯努利试验中A出现 )0(nkk 次的概率， knk k n n qpkP C )( ， nk,2 , 1 , 0 。 第二章随机变量及其分布 （1）离散 型 随 机 变 量 的 分 布

11、律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,) 且取各个值的概率，即事 件(X=Xk) 的概率为 P(X=xk)=pk ，k=1,2, ， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出： , , | )( 21 21 k k k ppp xxx xXP X 。 显然分布律应满足下列条件： （1） 0 k p ， ,2, 1k ，（2） 1 1 k k p 。 （2）连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度 设 )(xF 是随机变量X的分布函数， 若存在非负函数 )(xf ，对任意实数 x，有 x dxxfxF)()( ， 则称X为连续型随机变量。 )(xf

12、 称为X的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面4 个性质： 1 0)(xf 。 2 1)(dxxf 。 （3）离散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元 dxxf)( 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP)( 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 学习必备欢迎下载 （4）分布 函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 )()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 )()()(aFbFbXaP可以得到X 落入区间,(ba的概率。分布 函数)(xF表示随机变量落入区间（， x 内的概

13、率。 分布函数具有如下性质： 1,1)(0xFx； 2)(xF是单调不减的函数，即 21 xx时，有)(1xF)(2xF； 30)(lim)( xFF x ，1)(lim)( xFF x ； 4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的； 5)0()()(xFxFxXP。 对于离散型随机变量， xx k k pxF)(； 对于连续型随机变量， x dxxfxF)()(。 （5）八大 分布 0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为p。事件A发生 的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2, 1 ,0。 knkk n n qpCkPk

14、XP)()(，其中 nkppq,2, 1 ,0, 10,1， 则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为n， p 的 二 项 分 布 。 记 为 ),(pnBX。 当1n时， kk qpkXP 1 )(，1 .0k，这就是（ 0-1 ）分 布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。 学习必备欢迎下载 泊松分布设随机变量 X的分布律为 e k kXP k ! )(，0，2, 1 ,0k， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或 者 P() 。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。 超几何分布 ),min( ,2, 1 , 0 ,)( nMl lk C CC kXP n

15、N kn MN k M 随机变量X服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M) 。 几何分布 , 3,2 ,1,)( 1 kpqkXP k ，其中 p0，q=1-p 。 随机变量X服从参数为p 的几何分布，记为G(p) 。 均匀分布 设随机变量X的值只落在 a ，b 内， 其密度函数 )(xf 在a ，b 上为常数 ab 1 ，即 ,0 , 1 )(abxf 其他， 则称随机变量X在 a ，b 上服从均匀分布，记为XU(a，b)。 分布函数为 x dxxfxF)()( 当 ax1b。 axb 学习必备欢迎下载 指数分布 其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为

16、记住积分公式： ! 0 ndxex xn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 2 2 2 )( 2 1 )( x exf， x， 其中、 0为常数，则称随机变量 X服从参数为、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 ),( 2 NX 。 )(xf 具有如下性质： 1 )(xf 的图形是关于 x 对称的； 2 当 x 时， 2 1 )(f为最大值； 若 ),( 2 NX ，则X的分布函数为 dtexF x t 2 2 2 )( 2 1 )( 。 。 参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 )1 ,0( NX ，其密度函数记为 2 2 2 1 )( x ex ，x， 分布函数为 x

17、t dtex 2 2 2 1 )( 。 )(x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 (-x)1-(x) 且 (0) 2 1 。 如果X),( 2 N，则 X )1 ,0(N。 12 21 )( xx xXxP。 )(xf , x e 0x , 0, 0x , )(xF ,1 x e 0x , ,0 xx1时，有 F（ x2,y ） F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y 2) F(x,y1); （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF （4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF （5）对于， 21

18、21 yyxx 0)()()()( 11211222 yxFyxFyxFyxF，. （ 4）离散 型 与 连 续 型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(， 学习必备欢迎下载 （ 5）边缘 分布 离散型X的边缘分布为 ), 2, 1,()(jipxXPP ij j ii ； Y的边缘分布为 ),2 ,1,()(jipyYPP ij i jj 。 连续型X的边缘分布密度为 ；dyyxfxfX),()( Y的边缘分布密度为 .),()(dxyxfyfY （ 6）条件 分布 离散型在已知X=xi的条件下， Y取值的条件分布为 ； i ij ij p p xXyYP)|(

19、在已知Y=yj的条件下， X取值的条件分布为 ,)|( j ij ji p p yYxXP 连续型在已知 Y=y 的条件下， X的条件分布密度为 )( ),( )|( yf yxf yxf Y ； 在已知 X=x 的条件下， Y的条件分布密度为 )( ),( )|( xf yxf xyf X （ 7）独立 性 一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 jiij ppp 有零不独立 连续型f(x,y)=f X(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分 布 , 12 1 ),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 )(2 )1(2 1 2

20、 yyxx eyxf 0 随机变量的 函数 若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相互独立， h,g 为连续函数，则： h（X1，X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立。 特例：若X与 Y独立，则： h（X）和 g（Y）独立。 例如：若X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。 学习必备欢迎下载 （ 8）二维 均匀分布 设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为 其他, 0 ),( 1 ),( Dyx S yxf D 其中 SD为区域 D的面积，则称（ X，Y）服从 D上的均匀分布，记为（X，Y） U（D） 。 例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 。 y 1 D 1 O

21、1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 学习必备欢迎下载 （ 9）二维 正态分布 设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为 , 12 1 ),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 )(2 )1(2 1 2 yyxx eyxf 其中1| ,0,0, 21,21 是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分 布， 记为（ X，Y） N（)., 2 2 2 1, 21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布， 即 XN（ ).(), 2 2,2 2 11 NY 但是若 X N（)(), 2

22、 2, 2 2 11 NY，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数 分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型， fZ(z) dxxzxf ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 2 2 2 121 ,） 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 i ii C， i ii C 222 Z=max,min( X1,X2,Xn) 若 nXXX21, 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 )()()( 21 xFxFxF nxxx ，则Z=max,min(X 1,X2, Xn)的分布 函数为： )()()()( 21 max

23、 xFxFxFxF n xxx )(1)(1)(11)( 21 min xFxFxFxF n xxx 学习必备欢迎下载 2 分布 设 n 个随机变量 n XXX, 21 相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和 n i i XW 1 2 的分布密度为 .0, 0 ,0 2 2 1 )( 2 1 2 2 u ueu n uf un n 我们称随机变量W 服从自由度为n的 2 分布， 记为 W )( 2 n， 其中 . 2 0 1 2 dxex nx n 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。 2 分布满足可加性：设 ),( 2 ii nY 则 ).

24、( 21 1 2 k k i i nnnYZ t 分布设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1 ,0( 2 nYNX 可以证明函数 nY X T / 的概率密度为 2 1 2 1 2 2 1 )( n n t n n n tf ).(t 我们称随机变量T 服从自由度为n 的 t 分布，记为Tt(n) 。 )()( 1 ntnt 学习必备欢迎下载 F 分布 设)(),( 2 2 1 2 nYnX，且X 与 Y 独 立，可以 证明 2 1 / / nY nX F的概率密度函数为 0,0 0,1 22 2 )( 2 2 1 1 2 2 2 1 21 21 21 1 1 y yy n n

25、y n n nn nn yf nn n n 我们称随机变量F 服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2 的 F 分布，记为Ff(n1, n 2). ),( 1 ),( 12 211 nnF nnF 第四章随机变量的数字特征 （1） 一 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 离散型连续型 期望 期望就是平均值 设 X是离散型随机变量， 其分布 律 为P( k xX) pk， k=1,2, ,n ， n k kkp xXE 1 )( （要求绝对收敛） 设 X是连续型随机变量， 其概率密 度为 f(x)， dxxxfXE)()( （要求绝对收敛） 函数的期望Y=g(X) n k kk pxgYE

26、 1 )()( Y=g(X) dxxfxgYE)()()( 方差 D(X)=EX-E(X) 2， 标准差 )()(XDX， k kk pXExXD 2 )()( dxxfXExXD)()()( 2 学习必备欢迎下载 矩对于正整数k，称随机变量X 的 k 次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩，记为vk, 即 k=E(X k)= i i k i px, k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X 与 E（X）差的k 次幂的数学期 望为 X的 k 阶中心矩，记为 k ， 即 . )( k k XEXE = i i k i pXEx)(， k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X的 k 次幂的数

27、学期望为X的 k 阶原点 矩，记为vk, 即 k=E(X k)= ,)(dxxfx k k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X与 E （X）差的 k 次幂的数学期望为X 的 k 阶中心矩，记为 k ，即 . )( k k XEXE = ,)()(dxxfXEx k k=1,2, . 切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E（X）=，方差 D（X）= 2，则对于 任意正数 ，有下列切比雪夫不等式 2 2 )( XP 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 )( XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2） 期 望 的 性 质 （1）E(C)=C （2）E(CX)=CE(X

28、) （3）E(X+Y)=E(X)+E(Y) ， n i n i iiii XECXCE 11 )()( （4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X和 Y独立； 充要条件： X和 Y不相关。 （3） 方 差 的 性 质 （1）D(C)=0；E(C)=C （2）D(aX)=a 2D(X)； E(aX)=aE(X) （3）D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b （4）D(X)=E(X 2)-E2(X) （5）D(XY)=D(X)+D(Y) ，充分条件：X和 Y独立； 充要条件： X和 Y不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)

29、，无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。 （4） 常 见 分 布 期望方差 0-1 分布), 1(pB p )1 (pp 学习必备欢迎下载 的 期 望 和 方差 二项分布),(pnB np )1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)( pG p 1 2 1 p p 超几何分布),(NMnH N nM 1 1 N nN N M N nM 均匀分布),(baU 2 ba 12 )( 2 ab 指数分布)(e 1 2 1 正态分布),( 2 N 2 分布 2 n 2n t 分布0 2n n (n2) （5） 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望 n i iip

30、xXE 1 )( n j jjp yYE 1 )( dxxxfXE X )()( dyyyfYE Y )()( 函数的期望 ),(YXGE ij ijji pyxG),( ),(YXGE dxdyyxfyxG),(),( 方差 i ii pXExXD 2 )()( j jj pYExYD 2 )()( dxxfXExXD X )()()( 2 dyyfYEyYD Y )()()( 2 学习必备欢迎下载 协方差 对于随机变量X与 Y， 称它们的二阶混合中心矩 11为 X与 Y的协方 差或相关矩，记为),cov(YX XY或 ，即 ).()( 11 YEYXEXE XY 与记号 XY相对应，X与

31、Y的方差 D （X） 与 D （ Y） 也可分别记为XX 与 YY 。 相关系数对于随机变量X与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0 ，则称 )()(YDXD XY 为 X与 Y的相关系数，记作 XY （有时可简记为） 。 | 1， 当|=1 时， 称 X与 Y完全相关：1)(baYXP 完全相关 ，时负相关，当 ，时正相关，当 )0(1 )0(1 a a 而当0时，称 X与 Y不相关。 以下五个命题是等价的： 0 XY ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YYYX XYXX 混合矩 对

32、于随机变量X 与 Y，如果有)( lkY XE存在，则称之为X 与 Y 的 k+l阶混合原点矩，记为 kl ；k+l阶混合中心矩记为： .)()( lk kl YEYXEXEu （6） 协 方 差 的 性质 (i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 学习必备欢迎下载 （7） 独 立 和 不 相关 （i ）若随机变量X与 Y相互独立，则0 XY ；反之不真。 （ii ）若（ X，Y） N（,

33、2 2 2 121 ） ， 则 X与 Y相互独立的充要条件是X和 Y不相关。 第五章大数定律和中心极限定理 （1）大数定律 X 切比雪 夫大数 定律 设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数 C所界： D（Xi）C(i=1,2,), 则对于任意的正数，有 .1)( 11 lim 11 n i i n i i n XE n X n P 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E （XI）=， 则上式成为 . 1 1 lim 1 n i i n X n P 伯努利 大数定 律 设是 n 次独立试验中事件A 发生的次数， p 是事件 A在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正

34、数，有 . 1limp n P n 伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 .0limp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1，X2， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E （Xn）=，则对于任意的正数有 . 1 1 lim 1 n i i n X n P 学习必备欢迎下载 （2）中心极限定 理 ),( 2 n NX 列维 林德伯 格定理 设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有 相同的数学期望和方差： ),2, 1(0)(,)( 2 kXDXE kk ，则随机变量 n nX Y

35、n k k n 1 的分布函数Fn(x) 对任意的实数x，有 x t n k k n n n dtex n nX PxF. 2 1 lim)(lim 2 1 2 此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。 棣莫弗 拉普 拉斯定 理 设随机变量 n X为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于 任意实数x, 有 x t n n dtex pnp npX P. 2 1 )1 ( lim 2 2 （3）二项定理 若当),(,不变时knp N M N，则 knkk n n N kn MN k M ppC C CC )1 ().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理 若当0,npn时

36、，则 e k ppC k knkk n ! )1().(n 其中 k=0， 1，2， n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章样本及抽样分布 （ 1）数 理 统 计 的 基 本概念 总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体 （或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量） 。 个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 学习必备欢迎下载 样本 我们把从总体中抽取的部分样品 n xxx, 21 称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下， 总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量，这样的

37、样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时， n xxx, 21 表示 n 个随机变量 （样本）；在具体的一次 抽取之后， n xxx, 21 表示 n 个具体的数值 （样本值）。我们 称之为样本的两重性。 样本函数和 统计量 设 n xxx, 21 为总体的一个样本，称 （ n xxx, 21 ） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未 知参数，则称（ n xxx, 21 ）为一个统计量。 常见统计量 及其性质 样本均值. 1 1 n i i x n x 样本方差 n i i xx n S 1 22 .)( 1 1 样本标准差.)( 1 1 1 2 n i i xx n S

38、 样本 k 阶原点矩 n i k ik kx n M 1 .,2 ,1, 1 样本 k 阶中心矩 n i k ik kxx n M 1 ., 3, 2,)( 1 )(XE， n XD 2 )(， 22 )(SE， 22 1 )*( n n SE, 其中 n i i XX n S 1 22 )( 1 *，为二阶中心矩。 学习必备欢迎下载 （ 2）正 态 总 体 下 的 四大分布 正态分布 设 n xxx, 21 为来自正态总体),( 2 N的一个样本，则样 本函数 ).1 , 0( / N n x u def t 分布 设 nxxx,21 为来自正态总体),( 2 N的一个样本，则样 本函数 )

39、,1( / nt ns x t def 其中 t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。 分布 2 设 n xxx, 21 为来自正态总体),( 2 N的一个样本，则样 本函数 ),1( )1(2 2 2 n Sn w def 其中)1( 2 n表示自由度为n-1 的 2 分布。 F 分布 设 n xxx, 21 为来自正态总体),( 2 1 N的一个样本，而 n yyy, 21 为来自正态总体),( 2 2 N的一个样本，则样本 函数 ),1, 1( / / 21 2 2 2 2 2 1 2 1 nnF S S F def 其中 ,)( 1 12 11 2 1 1 n i i xx n

40、S;)( 1 12 12 2 2 2 n i i yy n S )1, 1( 21 nnF表示第一自由度为1 1 n，第二自由度为 1 2 n的 F 分布。 （ 3）正 态 总 体 下 分 布的性质 X与 2 S独立。 第七章参数估计 学习必备欢迎下载 （1） 点 估计 矩估计 设总体 X的分布中包含有未知数 m , 21 ， 则其分布函数可以表成 ).,;( 21m xF它的 k 阶原点矩), 2, 1)(mkXEv k k 中也 包 含 了 未 知 参 数 m , 21 ， 即),( 21mkk vv。 又 设 n xxx, 21 为总体 X的 n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为 n i

41、 k i x n1 1 ).,2, 1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有 n i m imm n i im n i im x n v x n v x n v 1 21 1 2 212 1 211 . 1 ),( , 1 ),( , 1 ),( 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数),( 21m 即为参数 （ m , 21 ）的矩估计量。 若 为的矩估计，)(xg为连续函数，则) ? (g为)(g的矩估计。 学习必备欢迎下载 极 大 似 然估计 当 总 体X为 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 密 度 为 ),;( 2

42、 1m xf， 其 中 m , 2 1 为 未 知 参 数 。 又 设 n xxx,2 1 为总体的一个样本，称 ),;(),( 1 11 22 n i mim xfL 为样本的似然函数，简记为Ln. 当 总 体X为 离 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 律 为 ),;(2 1m xpxXP，则称 ),;(),;,( 1 111 222 n i mimn xpxxxL 为样本的似然函数。 若似然函数),;,( 22 11mn xxxL在m, 2 1处取 到最大值，则称 m, 2 1分别为 m ,2 1 的最大似然估计值， 相应的统计量称为最大似然估计量。 mi L i i i n ,

43、2, 1,0 ln 若 为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则) ? (g为)(g的极大 似然估计。 （2） 估 计量的 评选标 准 无偏性 设),( 21n xxx为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（X）=E（X） ， E（S 2）=D （X） 有效性 设),( 21 11 n xxx和),( 21 22 n xxx是未知参数 的两个无偏估计量。若)()( 21DD，则称21比有效。 学习必备欢迎下载 一致性 设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 ,0)|(|limn n P 则称n为 的一致估计量（或相合估计量）。 若 为的无偏估计，且),(0) ?

44、(nD则为的一致估计。 只要总体的E(X) 和 D(X) 存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。 （3） 区 间估计 置 信 区 间 和 置 信度 设总体 X含有一个待估的未知参数。 如果我们从样本 n xxx, 21 出 发，找出两个统计量),( 2111nxxx与 ),( 2122n xxx)( 21 ，使得区间, 21 以 )10(1的概率包含这个待估参数，即 ,1 21 P 那么称区间, 21 为的置信区间，1为该区间的置信度（或置 信水平）。 单 正 态 总 体 的 期 望 和 方 差 的 区 间 估 计 设 n xxx, 21 为总体),( 2 NX的一个样

45、本，在置信度为1 下，我们来确定 2 和的置信区间, 21 。具体步骤如下： （i ）选择样本函数； （ii ）由置信度 1 ，查表找分位数； （iii）导出置信区间, 21 。 已知方差，估计均值（i ）选择样本函数 ).1 , 0( / 0 N n x u (ii) 查表找分位数 .1 / 0 n x P （iii）导出置信区间 n x n x 00 , 学习必备欢迎下载 未知方差，估计均值（i ）选择样本函数 ).1( / nt nS x t (ii)查表找分位数 .1 /nS x P （iii）导出置信区间 n S x n S x, 方差的区间估计（i ）选择样本函数 ).1( ) 1

46、(2 2 2 n Sn w （ii ）查表找分位数 .1 )1( 2 2 2 1 Sn P （iii）导出的置信区间 S n S n 12 1 , 1 第八章假设检验 基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。 我们先假定H0是成立的。 如果根据这个假 定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒 绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是 相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件 RK，其概率就是检验水平，

47、通 常我们取 =0.05 ，有时也取0.01 或 0.10 。 基本步骤假设检验的基本步骤如下： (i)提出零假设H0； (ii)选择统计量K； (iii)对于检验水平查表找分位数； (iv)由样本值 n xxx, 21 计算统计量之值K； 将与 K进行比较，作出判断：当)(|KK或时否定H 0，否则认为 H0 相容。 学习必备欢迎下载 两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的 检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为 H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真 当假” 的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真

48、=； 此处的 恰好为检验水平。 第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的 检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判 为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假 当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率， 即 P接受H0|H1为真 =。 两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是， 当 容量 n 一定时，变小， 则变大；相反地，变小，则 变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概 率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则 应把 取得很小，如0.01 ，甚至 0.001 。反之， 则应把 取 得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 条件零假设统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知 2 00: H n x U / 0 0 N（0，1） 2 1 |uu 00 :H 1 uu 00: H 1 uu 未知 2 00: H nS x T / 0 ) 1(nt ) 1(| 2 1 ntt 0