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1、学习必备欢迎下载 高一数学必修5 第一章解三角形教学设计 教学过程 理解定理 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsin ab ABsin c C （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 sinakA，sinbkB，sinckC； （2） sinsin ab ABsin c C 等价于 sinsin ab AB ， sinsin cb CB ， sin a Asin c C 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin bA a B ； 已知三角形的任意两边与
2、其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsin a AB b 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 。 例题分析 例题 . 在ABC中 , 已知3a, 2b, B=45 0. 求 A、 C和 c. 解: 00 4590B且,baA有两解 . 由正弦定理 , 得 2 3 2 45sin3sin sin 0 b Ba A 00 12060AA或 1)当 A=60 0 时,C=180 0-A-B=750, 0 0 sin2sin7562 sin2sin 45 bC c B 2)当 A=120 0 时,C=180 0-A-B=150, 0 0 sin2sin1562
3、 sin2sin45 bC c B 练习： 1),32,45,6, 0 aAcABC中求 B、C、b. 2) ,2,45,6, 0 aAcABC中求 B、C、b. 3）已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c 小结 （由学生归纳总结） （1）定理的表示形式： sinsin ab ABsin c C 0 sinsinsin abc k k ABC ； 或 sinakA，sinbkB，sinckC(0)k （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 学习必备欢迎下载 课题 : 1.1.2余弦定理授课类型：新
4、授课 理解定理 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍。即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出 一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 bca A bc ， 222 cos 2 acb B ac ， 222 cos 2 bac C ba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思
5、考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC中， C= 0 90，则cos0C，这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例 1在ABC中，已知2 3a，62c， 0 60B，求 b 及 A 解： 222 2cosbacacB= 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：cos 222222 (2 2)(
6、62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A 解法二： sin 02 3 sinsin45 , 2 2 a AB b 又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6, ac，即 0 0A 0 90 , 0 60 .A 评述：解法二应注意确定A的取值范围。 练习： 在ABC中，若 222 abcbc，求角 A（答案： A=120 0 ） 小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 课题 : 113 解三角形的进一步讨论授课类型：新授
7、课 教学过程 探索研究 例 1在ABC中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况 分析：先由 sin sin bA B a 可进一步求出B；则 0 180()CAB，从而 sinaC c A 1当 A 为钝角或直角时，必须 ab才能有且只有一解；否则无解。 学习必备欢迎下载 2当 A 为锐角时， 如果ab，那么只有一解； 如果a b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sinabA，则有两解； （2）若sinabA，则只有一解； （ 3）若sinabA，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A为锐角且 sinbA
8、 ab时， 有两解；其它情况时则只有一解或无解。 练习 : （1）在ABC中，已知 80a ， 100b ， 0 45A，试判断此三角形的解的情况。 （2）在ABC中，若 1a ， 1 2 c， 0 40C，则符合题意的b 的值有 _个。 （3）在ABC中，axcm， 2bcm， 0 45B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值 范围。 （答案：（1）有两解；（2） 0； （3）22 2x） 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例 2根据所给条件, 判断ABC的形状 . 1）在ABC中，已知 7a ， 5b ， 3c 。2）;coscosBbAa 3 ） C c B b A a c
9、oscoscos 分析：由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcAABC 是锐角三角形 （注意：是锐角AABC 是锐角三角形） 1）解： 222 753，即 222 abc，ABC 是钝角三角形。 2）解 : 解法一 (化边 ) 由余弦定理得) 2 () 2 (coscos 222222 ac bca b bc acb aBbAa 0 422422 bcbaca, 0)()( 22222 bacba 0 22 ba或0 222 bac 222 cba或ba 故 ABC是直角三角形或等腰三角形 解法二 (
10、化角 )由;coscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2 即 BA2sin2sinBA22 或,18022 0 BA即BA或 A+B=90 0 故 ABC是直角三角形或等腰三角形 3）解： ( 化角 )解法一 : 由正弦定理得 C Ac a sin sin , C Bc b sin sin 代入已知等式得 C c CB Bc CA Ac cossincos sin sincos sin , C C B B A A cos sin cos sin cos sin 即CBAtantantan),0(,CBA CBA故ABC是等边三角形 学习必备欢迎下载 ( 化边 ) 解法二 :
11、 由已知等式得 C CR B BR A AR cos sin2 cos sin2 cos sin2 即CBAtantantan),0(,CBA CBA故ABC是等边三角形 练习： 1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。 2）在ABC中， 0 60A，1 a ，2 bc ，判断ABC的形状。 3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC = BA BA coscos sinsin 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” 三角形面积公式，S= 2 1 absinC ， S= 2 1 bcsinA, S= 2 1 acsinB 例 3、在AB
12、C中，求证：（1）; sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba （2） 2 a+ 2 b+ 2 c=2（bccosA+cacosB+abcosC ） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦 定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin = C c sin = k 显然 k0，所以 左边 = Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin = C BA 2 22 sin sinsin =右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边 =2(bc bc acb 2 222 +ca
13、 ca bac 2 222 +ab ab cba 2 222 ) =(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )=a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习1：已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面积 例 4在ABC中， 0 60A，1b，面积为 3 2 ，求 sinsinsin abc ABC 的值 分析：可利用三角形面积定理 111 sinsinsin 222 SabCacBbcA以及正弦定理 sinsin ab ABsin c Csinsinsin abc ABC 解：由 13 sin 22 Sbc
14、A得2c，则 222 2cosabcbcA=3，即3a， 从而 sinsinsin abc ABC 2 sin a A 练习： （1）在ABC中，若55 a ，16 b ，且此三角形的面积220 3S，求角 C （2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 222 4 abc S，求角 C （答案：（1） 0 60或 0 120； （2） 0 45） 小结： 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 学习必备欢迎下载 并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可 以两者混用。 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。