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1、学习必备欢迎下载 函数的基本性质 1奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质， 则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条 性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性 质； 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域 内的任意一个 x， 则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于
2、原点对称） 。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f(x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论： 若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； 设( )f x，( )g x的定义域分别是 12 ,DD，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶
3、，偶偶=偶 2单调性 （1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个 学习必备欢迎下载 区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1f(x2)） ，那么 就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ； 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （3）设复合函数 y= fg
4、(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间， B 是映射 g : xu=g(x) 的象集： 若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数， y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则 函数 y= fg(x)在 A 上是增函数； 若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则 函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 1 任取 x1，x2D，且 x1x2； 2 作差 f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方
5、） ； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负） ； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （5）简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 学习必备欢迎下载 增函数 )(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf 减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。 3最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数M 满足：对于 任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数
6、y=f(x) 的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数M 满足：对于 任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值。 注意： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得 f(x0) = M； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI， 都有 f(x)M（f(x)M） 。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 2 利用图象求函数的最大（小）值； 3 利用函数单调性的判断函数的最
7、大（小）值： 如果函数 y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间 b，c上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间 b，c上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b)； 4周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有 学习必备欢迎下载 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数； （2）性质： f(x+T)= f(x)常常写作), 2 () 2 ( T xf T xf若 f(x)的周期中，存在一个最 小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期； 若周期函数
8、 f(x)的周期为 T，则 f(x) （ 0）是周期函数，且周期为 | T 。 函数的基本性质 一、典型选择题 1在区间上为增函数的是（） 学习必备欢迎下载 A B C D （考点：基本初等函数单调性） 2函数是单调函数时，的取值范围（） A B C D （考点：二次函数单调性） 3如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（） A最大值B最小值 C 没有最大值D 没有最小值（考点：函数最值） 4函数，是（） A偶函数 B 奇函数 C不具有奇偶函数 D 与有关（考点：函数奇偶性） 5函数在和都是增函数， 若，且那么（） A B C D无法确定 （考点：抽象函数单调性） 6函数在区间是增函数，则的递
9、增区间是（） A B C D （考点：复合函数单调性） 7函数在实数集上是增函数，则（） ABC D （考点：函数单调性） 8 定义在 R上的偶函数， 满足， 且在区间上为递增，则 （） A B CD （考点：函数奇偶、单调性综合） 9已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（） 学习必备欢迎下载 A B C D. （考点：抽象函数单调性） 二、典型填空题 1函数在 R上为奇函数， 且，则当， . （考点： 利用函数奇偶性求解析式） 2函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况 为 . （考点：函数单调性，最值） 三、典型解答题 1（12 分）已知，求函数得单调递减区间 . （考点：复合函数单调区间求法） 2（12 分）已知，求. （考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想） 一、 BAABDBAAD 二、 1；2和，； 三、 3 解： 函数， 故函数的单调递减区间为. 学习必备欢迎下载 4解：已知中为奇函数，即=中， 也即，得，.