【优质文档】高三数学寒假复习方法计划.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 高三数学寒假复习方法、计划 在寒假期间，一是要把第一轮复习的知识点巩固，第二是要准备开学后的专题复习。 要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系 统化。 一、考试说明、教材、笔记缺一不可 有些同学考得不好，不要烦躁、泄气，要学会利用寒假这个休整期来调节，只要切 实从态度和方法上解决问题，是可以有很大提升的。切忌盲目地大量看参考书，做课外 题，以期获得战无不胜的解题技巧，欲速则不达。解决问题应冷静、理性，可以和老师、 家长、同学通过手机、 qq 交流一下，听听多方意见，深入分析自己复习中问题的所在， 制定切实的解决方法，才是一个好的做法。

2、 对任何一个学生，即使是优秀学生，复习质量高低的关键都在于是否切实抓好基础。 基础知识有明显漏洞的，必须首先弥补。当然抓基础不仅仅是把所有知识点过一遍，而 是应由点到面，将零散的知识点前后联系，形成知识体系，才能有质的飞跃，高三复习 更应强调理解知识的来源及其所蕴含的数学思想与方法，把握知识的横纵联系，在理解 的基础上实现网络化并熟练地掌握。 1、要对教材合理利用 高考考查点“万变不离教材”，许多的试题就来源于教材的例题和习题，学生们要 提高对教材的重视，课本中的例题、习题是复习的一份宝贵资源。重做课本中的典型习 题，可以站在全局的角度上，重新审视和总结其中所蕴含的疑难点以及解题方法和数学 思

3、想，这样可以对数学的学习有一种全新的感悟。学生在高一高二的数学学习过程，总 是存在着很多未被消化的疑难问题，这些内容一直困挠着他们的数学思维能力的发展， 也影响着对数学的学习信心。先整体把握全教材的章节，再细化具体的内容，用联想的 方式，使在自己的头脑中构建知识体系，理解解题思想和知识方法的本质联系，提高实 际运用能力非常重要。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是把重点放在掌握例 题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，首先把教材上 优秀学习资料欢迎下载 的概念、公式、定理的形成过程要清楚，然后熟记其内容，对教材例题要先做再看答案， 检测自己是否掌握，再反思此例题考

4、查哪个知识点、用到哪些方法技巧，做课后练习题 时，要回扣本节知识点，明确此练习题考查哪些知识点、以何种形式设计的。 这样复习才有实效。 2、理解知识网络，构建认识体系 数学的各知识模块之间不是孤立的，学生要在教师引导下发现知识之间的衔接 点，有的在概念外延上相连，有的在应用上相通等。选用练习时，不宜太难，以基础题 训练为主，充分对已有的知识和经验进行体验、反思，并在此基础上实现知识的建构。 这要求课后必须认真回忆、琢磨和反思。回顾一些典型例题，通过反思进一步加深认知 印象，日积月累，很快就能举一反三，提高自己的思维能力和解决问题的能力。对于典 型题我们应该采用滚动复习的方法，隔几天就把前几天的

5、内容拿出来回顾一遍。在自己 作题时有意识的找出最佳方法，尽量不要有较大的思维跳跃，也可以把精彩之处或做错 的题目做上标记 。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂外 ，还要会“举 一反三”，及时归纳。 3、用好错题本 知识的复习有两种，一种是重现，比对考试说明、看笔记，看教材，在脑子里将所有 知识重新过一遍。还有一种就是进行整理，按照学过的东西把自己想法加进去，构建一 个知识体系。这就要我们经常阅读错题本。错题本不是把做错的习题记下来就完了。要 经常浏览错题本，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道错题都发挥出最大效果，能通 过错题这一表面现象查找错题背后的出错原因，还会去分析这道错题

6、的解题方法和思路， 属于哪类题型，涉及到哪些知识点，可以有效地培养和提高自己的分析问题、解决问题 的能力，今后遇到同类习题时，就能够立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯 二、做好模拟试题 这些试卷都是精心编制的，有统一的评分标准，可以帮助同学们准确认识自己的复 习状况。通过试卷的测试与分析，可以知道哪些知识遗忘了，哪些解题方法还没有熟练 掌握，还可以针对评分标准，检查一下失分原因，是解答过程有什么不合理的地方，还 优秀学习资料欢迎下载 是解题方法不好。就可以看出半年来自己的进步在哪里，问题是什么，使自己下一阶段 的复习目标更明确，重点更突出。 章节内容时间复习安排 函数与导数2.16 对照复

7、习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 1.17 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 平面向量与三角函 数 1.18 对照复习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 1.19 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 数列1.20 对照复习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 1.21 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 不等式1.24 对照复习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 1.25 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 立体几何1.26 对照复习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 优秀学习资料欢迎下载 集合的概念

8、 集合元素的性质 集合的表示方法 常用数集的符号 列举法 描述法 子集与真子集 集 合 空集与全集两集合相等 交集、并集、补集集合的运算与运算率 简 易 逻 辑 命题 简单命题 复合命题 互逆命题与互否命题 互为逆否命题与等价命题 逻辑联结词 真值表四种命题的形式及关系 充分条件必要条件 1.27 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 解析几何1.28 对照复习提纲，针对性的看教材，并做课 后习题 1.29 整理知识网络和错题本，把这部分错题本 上的题重新做一遍 模拟试题一1.30 定时完成，及时矫正 1.31 回扣教材、针对整理复习 模拟试题二2.1 定时完成，及时矫正 回

9、扣教材、针对整理复习 整理专题复习卷和模拟试题 高考数学知识点回顾复习 第一部分：集合与简易逻辑 一、知识网络 二、易错知识提醒 1理解集合中元 素 的 意 义 是 解 决 集 合问题的关键：弄清 元素 是 函 数 关 系 中 自变 量 的 取 值 ？ 还 是因 变 量 的 取 值 ？ 还是曲线上的 优秀学习资料欢迎下载 点？； 2数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工 具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A、B，当BA时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时 是否忘记？ 【易错点1】

10、忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例 1.设 2 |8150Ax xx ， |10Bx ax ，若 ABB ，求实数 a 组成的集合的子集有多少 个？【答案】 8 个 4.对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、 真子集、非空子集、 非空真子集的个数依次为， n 2，12 n ，12 n .22 n 5、 “ p 且 q”的否定是“非 p 或非 q”； “ p 或 q”的否定是“非 p 且非 q”。 6、命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。 关于充要条件的几个结论： “定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件. 在ABC 中， ABab. “|ba”是

11、“ba”的必要不充分条件 “ na 既是等差，又是等比数列”是“ n a是常数数列”的充分不必要条件. “方程0 22 FEyDxyx”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件. 0)( / xf是 x 为极值点的必要不充分条件. 第二部分函数与导数 一、知识结构 集合 映射 概念元素、集合之间的关系 运算：交、并、补数轴、 Venn图、函数图象 性质 确定性、互异性、无序性 定义表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 单调性 1、函数在某个区间递增 (或减)与单调区间是某个区间的含义不 同；2、证明单调性：作差（商） 、导数法； 3、复合函数的单调 使解析式有意义 表示方

12、法 换元法求解析式 注意应用函数的单调性求值域 优秀学习资料欢迎下载 二、易错知识盘点 1.函数是一种特殊的映射：f：A B (A 、B 为非空数集 )， 定义域： 加条件的制约应用条件的限制或有附限定定义域 复合函数对数或三角函数指数幂开方常涉及分母给解析式自然定义域 : , ,: 解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点. 【易错点】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例.已知 2 2 21 4 y x ,求 22 xy的取值范围。【答案】1, 3 28 2、函数奇偶性 解析式 0)(, 1 )( )( 0)()( )()()()( xf xf xf xfxf xfxfxfxf

13、或 定义域关于原点对称 性质： 图象（关于y 轴或坐标原点对称） 如果 f(x)是奇函数且在x=0 有定义，则f(0)=0 ； 常数函数f(x)=0 定义域 (A,A) 既是奇函数也是偶函数； 【易错点】 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称 例 3.判断函数 2 lg 1 ( ) 22 x f x x 的奇偶性。【答案】奇函数 3、函数单调性 等价形式如：)( / xf 21 21 )()( xx xfxf 0(x1x2)f(x1)f(x2)0 优秀学习资料欢迎下载 判断：定义法；导数法； 【易错点】 导数单调性的充要条件 已知函数 32 31fxaxxx 上是减

14、函数，求a 的取值范围。【答案】 , 3 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反 复合函数的单调性（同增异减）； 常见函数的单调性（如 x a xy，0a或 x a xy，0a）. 4、函数周期性 f(x)=f(x+a) 对定义域中任意 x总成立,则 T=a.如果一个函数是周期函数 ,则其周期有无 数个. f(x+a)=f(x a)，则 T=2a. f(x+a)= )( 1 xf ，则 T=2a. f(x) 图象关于 x=a 及 x=b 对称， a b，则)(2abT. f(x) 图象关于点（ a,0）及点（ b，0）(b a)对称，则 )(2abT f(x) 图象关于

15、 x=a 及点 (b,0) (b a)对称，则T=4(b a). 5、函数图象的对称性 若 f(a+x)=f(a x)或f(x)=f(2a x) ，则 f(x) 图象关于x=a 对称，特别地f(x)=f( x) 则关于 x=0 对称； 若 f(a+x) f(ax)，则 f(x) 图象关于 (a,0) 中心对称，特别地f(x)+f( x)=0，则关 于(0,0) 对称； 若 f(a+x)=f(b x)，则 y=f(x) 关于 x= 2 ba 对称； y=f(x) 与 y=f(2a x)关于 x=a 对称； 6、要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图象进行 分类讨论；结合

16、图象探索综合题的解题切入点。 优秀学习资料欢迎下载 例：已知 (x+2) 2+ 4 2 y =1,求 x2+y2的取值范围。 （由于 (x+2) 2+ 4 2 y =1 得(x+2) 2=1- 4 2 y 1， -3 x -1 从而当 x=-1 时 x2+y2有最小值 1。x2+y2的取值范围是 1, 3 28 ） 7、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零， 底数大于零且不等于1） 字母底数还需讨论呀. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（bb a b b a n a c c a nloglog, log log log） 你还记得对数恒等式吗？（ ba b a

17、 log ） 【易错点】 在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数 函数的真数的限制条件。 例是否存在实数a 使函数 2 log axx a fx在2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说 明理由。 【答案】存在实数a1 使得函数 2 log axx a fx在2,4上是增函数 8、 “实系数一元二次方程0 2 cbxax有实数解”转化为“04 2 acb”，你是否注意到必须 0a；当a=0 时， “方程有解”不能转化为04 2 acb若原题中没有指出是“二次”方程、函数 或不等式， 你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：0222 2 xa

18、xa对一切Rx 恒成立，求a 的取值范围，你讨论了a2 的情况了吗？ 9、 【易错点】 求曲线的切线方程，注意到在某点与过某点切线的区别了吗 例、求过曲线xxy2 3 上点)1, 1(的切线方程 10、函数有极值或在某点为极值点的充要条件是什么？ 极值点概念不清致误 例、已知 223 )(abxaxxxf在1x处有极值为 10，则ba 第三部分三角函数、平面向量与解三角形 一、知识结构 角的概念 任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制 弧长公式、扇形面积公式 三角函数线 同角三角函数的关系 诱导公式 和角、差角公式 公式的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形） 优秀学习资料

19、欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 二、知识盘点 1、象限界角，象限角的表示： 2、角的对称情况： 1,终边关于x轴对称：k2（Zk） 2,终边关于 y 轴对称：k2（Zk） 3,终边关于原点对称：k2（Zk） 3、任意角的三角函数的定义： r y sin r x c o s x y t an 4、特殊角的三角函数值：?75sin?30sin 5、象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 6、三角函数线的定义及常用结论： 1.定义：MPsinOMcosATtan 2.常用结论：xxxtansin（) 2 , 0(x） 3.应用：利用三角函数线解三角不等式。 7、三角函数的图象与性质

20、： 、熟记xysin，xycos在2,0x上的图象；xytan在) 2 , 2 (x的图象； 在),0(x上的图象。 、掌握kxAy)sin(（或kxAy)cos(）的图象的作法： 1 “五点法”：哪五点？列表、描点、连线 2图象变换法：实质：与一般函数图象的变换规律完全一样！ 3、图象和性质： 函 数 xysinxycosxytan 优秀学习资料欢迎下载 图 象 定 义 域 ),(),( 2 |Rxkxx且 值 域 1 , 1 1 , 1 R 极 值 性 1 2 2 max ykx时， 1 2 2 min ykx时， 12 max ykx时， 12 minykx时， 无极值 奇 偶 性 奇偶

21、奇 单 调 性 2 2, 2 2kk 时，为增函 数 2 3 2, 2 2kk 时，为减 函数 2,2kk时， 为增 函数 2,2kk时，为减 函数 ) 2 , 2 (kkx 时，为增函数 周 期 2T 一般性周期：k2 （Zk0k） 2T一般性周期： k2 （ Zk0k ） T一般性周期： k （ Zk0k ） 优秀学习资料欢迎下载 性 kxAy)sin( 的周期T *| )sin(|xAy的周期 T kxAy)cos( 的 周期 T *|)cos(|xAy的周 期 T kxAy)tan( 的 周期 T 说明：除有 *的两种 带绝对值符号的情 况周期减半外， 图 象 的 对 称 性 对称中心

22、：)0 ,(k 对称轴方程： 2 kx 对称中心：)0 , 2 (k 对称轴方程：kx 对称中心：)0 , 2 ( k 8、重要结论 辅助角公式：)sin(cossin 22 baba；其中的值由 a b tan确定，角 的象限由ba,的符号确定。要弄清 :1:1,:1:3a ba b时对应的角，在求最值、化简时起着重 要作用 . 由 A+B+C= ，易推出 sinA=sin(B+C),cosA= cos(B+C) ，tanA= tan(B+C) sin 2 A =cos 2 CB , cos 2 A = 2 CB ，tan 2 A =cot 2 CB . abABsinAsinB. 锐角AB

23、C 中，A+B 2 ，A 2 B，sinAcosB ，cosAc2，同样可类比 钝角ABC 中结论 . 、 角的概念推广后 ,注意“ 0到 90的角”、 “第一象限角”、 “钝角”和“小于90的角”这四个概念 优秀学习资料欢迎下载 的区别 、应用两角和与差的三角函数公式应注意： 当，中有一个角为 2 的整数倍时，利用诱导公式较为简便。 善于利用角的变形 ,如 =( + ) ,2 =( + )+( )， 2 +2 =2( + 4 )等 倍角公式的变形降幂公式：sin 2 = 2 2cos1 ，cos 2 = 2 2cos1 ，sin cos = 2 1 sin2 应用十分广泛. 、奇偶性：当=k

24、 + 2 时是偶函数，当=k时是奇函数，当 2 k 时是非奇非偶函数 (k Z) 当为第一象限角时， sin +cos 1 9、直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围 及意义？异面直线所成的角 2 ,0 ；直线的倾斜角),0； 向量的夹角的取值范围是0， 10、若 11 (,)ax y， 22 (,)bxy，则ba/，ab的充要条件是什么？ 11 、如何求向量的模？a在b方向上的投影为什么？ 三、易错点提醒 【易错点】 易遗忘关于 sin 和cos齐次式的处理方法。 已知2tan，求 ： （1） sincos sincos ；（2） 22 cos2

25、cos.sinsin的值 . 【答案】解： （1） 223 ；(2) 3 24 【易错点】 单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易 将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错 误。 例下列命题正确的是（） A、都是第二象限角，若 sinsin ，则 tantan B、都是第三象限角，若coscos，则 sinsin 优秀学习资料欢迎下载 C、都是第四象限角，若 sinsin ，则tantan D、都是第一象限角，若 coscos ，则 sinsin 【答案】 D 【易错点】图像变换方向或变换量把握不准致误。 例要得到函数

26、sin 2 3 yx 的图象，只需将函数xsiny的图象（） 【答案】先把每个 x 值缩小到原来的 2 1 倍，y 值不变，再向右平移 6 个单位。 【易错点】 没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例、已知 0, ， 7 sincos 13 求tan的值。 【答案】 12 tan 5 【易错点】 根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角 函数名称不适当造成错解。忽视角的范围致误 例若 510 sin,sin 510 ，且、均为锐角，求的值。 【答案】 【易错点】 对正弦型函数sinyAx及余弦型函数cosyAx的性质：如图象、

27、对称轴、 对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例如果函数 sin2cos2yxax的图象关于直线 8 x 对称，那么a 等于（） A.2B.2C.1 D.1 【答案】D 【易错点】 利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角 形解的个数。 例在ABC中，30 ,23,2BABAC。求 ABC的面积 【答案】3或32 【易错点】 三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不 够。 例已知在 ABC 中， sinA （ sinBcosB ） sinC0，sinB cos2C 0，求角A、B、C 的大 小. 优秀学习资料欢迎下载

28、 【答案】 , 4 A. 12 5 , 3 CB 【易错点】 涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例下列命题： 422 |)()(aaa；bcacba)()( |ab|=|a| |b|；若abb ,c则ac；ab，则存在唯一实数，使ab； 若cbca，且co，则ba； 设 21 ,ee是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使 21 eyexa成立。若|a+b|=|ab|则ab=0；ab=0，则a=0或b=0真命 题个数为（） A1 B 2 C3 D3 个以上 【答案】B （正确） 【易错点】 忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例已知 A

29、BC中,5,8,7abc ,求BC CA 【答案】58cos12020BCCA 【易错点】 向量数积积性质的应用。 例已知 a、b 都是非零向量，且a + 3b 与 7a 5b 垂直， a 4b 与 7a 2b 垂直，求a 与 b 的 夹角。 【答案】 = 60 【易错点】忽视两向量的夹角为钝（锐）角的充要条件致误 若a与b的夹角，且为钝角，则cos 0 时， Sn最小an 0 且 an+1 0.利用 f(n)=Sn的抛物线特征解小题(d 0). 7.等比数列的任一项及公比都不能为0；常数数列不一定是等比数列； 优秀学习资料欢迎下载 G 2=ab 是 a、 G、b 成等比数列的必要条件而非充分

30、条件 . 8.求数列 an的最值常见方法：利用通项公式an的本身特征求解；若an是 单调数列，则可利用单调性求解；若对一切n N*都有， an0 (an0) 焦点的弦交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2 21 pyy， 4 2 21 p xx，焦 半径公式 |AB|=x1+x2+p。 16 、若 A(x1,y1), B(x2,y2)是二次曲线C：F(x,y)=0 的弦的两个端点，则F(x1,y1)=0 且 F(x2,y2)=0。涉 及弦的中点和斜率时， 常用点差法作F(x1,y1)-F(x2,y2)=0 求得弦 AB 的中点坐标与弦AB 的斜率的关系。 第六部分立体几何 一、知

31、识结构 优秀学习资料欢迎下载 二、易错知识盘点 1、 1 l， 2 l， 3 l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A) 12 ll， 23 ll 13 ll（B） 12 ll， 23 ll 13 ll (C) 233 lll 1 l， 2 l， 3 l共面（D） 1 l， 2 l， 3 l共点 1 l， 2 l， 3 l共面 答案： B 解析： A答案还有异面或者相交，C、D不一定 2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（） 答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。 优秀学习资料欢迎下载 3、图，在=2, 2 AB

32、CBABBCPAB中，为边上一动点， PD/BC交 AC 于 点 D,现 将 ,PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥 APBCD的体积最大时，求PA的长； （2）若点 P为 AB的中点， E为 .ACBDE的中点，求证：A 解： （1）设xPA，则)2( 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA底面- 令)0( , 63 2 ) 2 2( 3 1 )( 32 x xxx xxf则 23 2 )( 2 x xf x ) 3 32 ,0( 3 32 ), 3 32 ( )(xf 0 )(xf 单调递增极大值单调递减 由上表易知：当 3 32 xPA时，

33、有 PBCDA V - 取最大值。 证明： （2）作BA得中点 F，连接 EF、FP 由已知得：FPEDPDBCEF/ 2 1 / PBA为等腰直角三角形，PFBA 所以 DEBA . 4、 如图，在四棱台 1111 ABCDA B C D 中 ， 1 D D平 面A B C D， 底 面 A B C D是平行四边形，AB=2AD， 11 AD=A B，BAD=60 （）证明： 1 AABD； （）证明： 11 CCA BD平面. 优秀学习资料欢迎下载 【解析】（）证明：因为AB=2AD，所以设 AD=a, 则AB=2a, 又因 为BAD=60 ,所 以在ABD中,由余 弦定 理得 ： 222

34、2 (2 )22cos603BDaaaaa, 所以 BD=3a, 所以 222 ADBDAB, 故 BD AD,又因 为 1 D D平 面ABCD， 所 以 1 D DBD,又 因 为 1 A DD DD, 所 以BD平 面 11 ADD A , 故 1 AABD. (2) 连结AC,设 ACBD=0, 连结 1 AO, 由底面ABCD是平行四边形得:O 是 AC 的中点 , 由四棱台 1111 ABCDA B C D知: 平面ABCD 平面 1111 A B C D, 因为这两个平面同时都和平面 11 ACA C相交 , 交线 分别为AC 、 11 AC，故 11 ACAC，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120，所以可由余弦定理计算得 AC=7a，又因为A1B1=2a, B 1C1= 3 2 a, 111 A B C =120 ，所以可由余弦定理计算得 A1C1= 7 2 a，所 以 A1C1 OC且 A1C1=OC ，故四边形OCC 1A1是平行四边形，所以CC1A1O ，又 CC1平面 A1BD ， A1O平面 A1BD ，所以 11 CCA BD平面.