【优质文档】高三理科立体几何专题.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 高三理科数学专题复习 专题六立体几何 1、 如图，棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看， 都有两个直通的边长为1 的正方形孔， 则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( ) A258 B234 C222 D 210 2、已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D四点，若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的 体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 3 、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该 球的表面积为 (A) 2 a(B) 27 3 a(C) 211 3 a(D) 2 5 a 4、

2、如图，在正方体ABCDA B C D 1111中，P是侧面 BB C C 11 内一动点， 若 P到直线 BC与直线C D 11的距离相等， 则动点 P的轨迹所在的曲线是 A直线B圆C 双曲线 D 抛物线 5、 已知二面角l为60 o ， 动点 P、 Q分别在面 、 内， P到的距离为 3， Q到的距离为2 3，则 P、Q两点之间距离的最小值为（） (A) (B)2 (C) 2 3 (D)4 6、如图，下列四个正方体图形中，AB，为正方体的两个顶点，MNP，分别 为其所在棱的中点，能得出AB平面 MNP 的图形的序号是（） （A）（B） （C）（D） 7、连结球面上两点的线段称为球的弦半径为

3、4 的球的两条弦 AB 、CD的长度分 别等于 27、43，M 、N分别为 AB 、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动， 有下列四个命题： 弦 AB 、CD可能相交于点 M 弦 AB 、CD可能相交于点 N MN 的最大值为 5 MN 的最小值为 l 其中真命题的个数为（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 f e d b c a D1C1 A1B1 P D C A B 优秀学习资料欢迎下载 8、 某几何体的一条棱长为7， 在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和 b 的线 段，则 a+b 的最大值为（） A22

4、B2 3C 4D 2 5 9、在 ABC 中， 0 2,1.5,120ABBCABC,若使绕直线BC旋转一周，则所 形成的几何体的体积是（） A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 10、将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 ABC， ，分别是GHI三边的中点） 得到几何体如图 2， 则该几何体按图 2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ A ） 11、如图定点 A和 B都在平面内，定点PBP,，C是内异于 A和 B的 动点，且 PC垂直 AC ，那么动点 C在平面内的轨迹是（） （A）一条线段，但要去掉两个点。 （B）一个圆但要去掉两个点。 （C ）一个椭圆但要除去两个点。 （

5、D ）半圆但要除去两个点。 12、由图 (1) 有面积关系 : PAB PAB SPA PB SPA PB ， 则由(2) 有体积关系 : . P A B C PABC V V 13、已知ba、为不垂直的异面直线，是一个平面，则ba、 在上的射影有可 能是：两条平行直线。两条互相垂直的直线。同一条直线。 一条直线及其外一点。 在上面的结论中，正确结论的编号是_. 14、如图，网格纸的小正方形的边长是1， 在其上用粗线画出了某多面体的三视图， 则这个多面体最长的一条棱的长为_. E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C

6、B E D 图(2) C A P A B C 图(1) A P A B P C B A 优秀学习资料欢迎下载 15、 1111 ABCDA B C D是单位正方体 , 黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行 , 每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是 111 AAA D, 黑 蚂蚁的爬行路线是 1 ABBB, 它们都依照如下规则 : 所爬行的第 n+2段与 第 n段所在直线必须是异面直线, 设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方 体的某个顶点处 , 这时黑白两个蚂蚁的距离是_ 16、如图，已知四棱锥 PABCD ，PB AD侧面 PAD为边长等于 2 的正三角形， 底面 ABC

7、D 为菱形，侧面 PAD与底面 ABCD 所成的二面角为 120. （I ）求点 P到平面 ABCD 的距离， （II ）求面 A-PB-C所成二面角的余弦值 . 17、如图，圆柱 1 OO内有一个三棱柱 111 ABC-A B C，三棱柱的底面为圆柱底面的 内接三角形，且 AB是圆 O直径。 （）证明：平面 11 A ACC平面 11 B BCC； （）设 AB= 1 AA，在圆柱 1 OO内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱 111 ABC-A B C内的概率为 p 。 （i ）当点 C在圆周上运动时，求p 的最大值； （ii ）记平面 11 A ACC与平面 1 B OC所成的角为(0

8、90 )，当 p取最大值时， 求 cos 的值。 P A B C D D1 A1 B1 C1 A B C D 优秀学习资料欢迎下载 18、如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心， AA12 2，C1 H 平面 AA1B1B，且 C 1 H 5. (1) 求异面直线 AC与 A1B1所成角的余弦值； (2) 求二面角 A-A1C1-B1的正弦值； 19、如图，在 RtABC中，4ABBC，点 E、F 分别在线段 AB、 AC 上，且 /EFBC ，将AEF 沿 EF 折起到PEF 的位置，使得二面角 PEFB 的大小为 60. （）求证： EFPB ； （）当点

9、E 为线段 AB 的中点时， 求 PC 与平面 BCFE 所成角的正弦值； （）求四棱锥 PEFCB体积的最大值 . EF BC P FE CB A 优秀学习资料欢迎下载 20XX届高三数学专题复习专题六立体几何参考答案 1、解析：先考查正方体各表面面积：S1=6 (552 1 1)138 再考查正方体孔内各面表面积：由正方体各表面a、b、c、d、e、f 每两孔之间 都有一孔直通，应除去一个小正方形表面积。于是正方体孔内各面面积： S2=64 496从而这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是S=138+96=234 ， 故选 B。 2、 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,

10、交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距 离为 h ,则有 A B C D 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直 径通过AB与 CD 的中 点 时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V. 3、解析：如图， P为三棱柱底面中心， O为球心，易知 2331 , 3232 APaa OPa，所以球的半径 R满足： 2222317 ()() 3212 Raaa，故 227 4 3 SRa球 4、分析： P到直线C D 11的距离即 P到点1 C的距离，原问题转化为在正方体右侧 面内 P到点 1 C的距离 P到直线 BC的距离相等。这满足抛物线定义，故选D。 5、解:

11、 如图分别作,QAA AClC PBB于于于 PDlD于，连,60 ,CQ BDACQPBD则 2 3,3AQBP，2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP，即AP点 与点重合时取最小值。故答案C 。 6、D 解：取前面棱的中点，证AB平行平面 MNP 即可；可证 AB与 MP 平行。 7、解：正确，错误。易求得M 、 N 到球心 O的距离分别为3、2，若 两弦交于 N ，则 OM MN ，Rt OMN 中，有 OMON ，矛盾。当 M 、O、N 共线时分别取最大值5 最小值 1。 8、解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计 算。如图设长方体的长宽高分别为, ,

12、m n k，由题意得 222 7mnk， 22 6mk1n 2 1 ka ， 2 1mb，所以 22 (1)(1)6ab n m k 优秀学习资料欢迎下载 22 8ab， 22222 ()282816abaabbabab 4ab当且仅当2ab时取等号。 9、解： 213 (1 1.5 1) 32 VVVr 大圆锥小圆锥 10、解：在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ),可得答案 A. 11、分析：由三垂线定理的逆定理知：BC垂直 AC ，而 A、B是两个定点， 故 C点是以 AB为直径的圆上的一个动点，又由已知C点不能与 A、B 重合。故选 B。 12、解析：本题是道很好的类比创新试题，由体积

13、公式和比例性质不难得出答案 为： PCPBPA PCPBPA 13、解析：此题考查考生数学思维的全面性及空间想象力。通过简单实物模型的 构造，可知是正确的，而对于，两直线射影若是同一条直线，则两直线 必共面，这与、异面矛盾，因此，是错误的. 故正确答案是 . 14、 15、分析：本题黑白两个蚂蚁都走完2005 段，步数比较大，因此肯定要探索出 一个周期性出来。依照规则黑蚂蚁的爬行路线是 11111 ABBBB CC D 1 D DDA走 6 段又回到出发点A 。故而它们的周期为6。 2005334 6 1。所 以黑蚂蚁走完 2005 段后停止在正方体的B顶点处，白蚂蚁走完 2005 段后停止在

14、 正方体的 1 A顶点处。故这时黑白两个蚂蚁的距离是2。 16、 （I ）解：如图，作 PO 平面 ABCD ，垂足为点 O . 连结 OB 、OA 、OD 、OB与 AD 交于点 E，连结 PE.AD PB ，AD OB ，PA=PD ，OA=OD ，于是 OB 平分 AD ，点 E为 AD的中点，所以 PE AD.由此知 PEB为面 PAD与面 ABCD 所成二面角的平面角， PEB=120 ，PEO=60 由已知可求得 PE= 3 PO=PE sin60 = 2 3 2 3 3，即点 P到平面 ABCD 的距离为 2 3 . （II ）如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点， x 轴平行于

15、 DA. ) 4 3 , 4 33 , 0(),0 , 2 33 ,0(), 2 3 ,0 ,0(的坐标为中点 GPBBP. 连结 AG.又知).0, 2 33 ,2(),0, 2 3 , 1(CA由此得到： x y G E O P A B C D 优秀学习资料欢迎下载 0,0 ).0 ,0 ,2(), 2 3 , 2 33 ,0( ), 4 3 , 4 3 ,1 ( PBBCPBGA BCPB GA 于是有 所以的夹角BCGAPBBCPBGA,. 等于所求二面角的平面角，于是, 7 72 | cos BCGA BCGA 17、证明： （）因为 1 AA平面 ABC ， BC平面 ABC ，所

16、以 1 AABC ， 因为 AB是圆 O直径， 所以 BCAC ， 又 AC 1 A AA， 所以 BC平面 11 A ACC， 而 BC平面 11 B BCC，所以平面 11 A ACC平面 11 B BCC。 （） （i ）设圆柱的底面半径为r，则 AB= 1 AA =2r，故三棱柱 111 ABC-A B C的体 积为 1 1 V =AC BC 2r 2 =AC BC r，又因为 2222 ACBC =AB =4r， 所以 22 AC +BC AC BC 2 = 2 2r ，当且仅当AC=BC=2r时等号成立， 从而 3 1 V2r，而圆柱的体积 23 V=r2r=2r， 故 p = 3

17、 1 3 V2r1 =, V2 r 当且仅当AC=BC=2r，即 OCAB 时等号成立， 所以 p 的最大值是 1 。 （ii ）由（i ）可知， p 取最大值时， OCAB ，于是以 O为坐标原点，建立空 间直角坐标系O-xyz（如图） ，则 C（r ，0，0） ，B（0，r，0） ， 1 B（0，r ，2r） ， 因为 BC平面 11 A ACC，所以BC=(r,-r,0)是平面 11 A ACC的一个法向量， 设平面 1 B OC的法向量n=(x,y,z)，由 1 nOC0 20 nOB rx ryrz 得，故 0 2 x yz ， 取1z得平面 1 B OC的一个法向量为n=(0,-2

18、,1)，因为0 90， 所以 210 cos|cos,BC |= 5| |52 n BCr n nBCr 。 优秀学习资料欢迎下载 18、解如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得 A(2 2， 0,0) ，B(0,0,0)，C(2，2， 5) ，A1(22，22，0)，B1(0，22，0) ，C1(2， 2，5) (1) 易得AC ( 2，2，5)，A1B1 ( 22，0,0) ，于是 cosAC ，A1B1 AC A1B1 | AC | A1B1 | 4 32 2 2 3 . 所以异面直线 AC与 A1B1所成角的余弦值为 2 3 . (2) 易知AA1 (0,22，0) ，A

19、1C1 ( 2，2，5) 设平面 AA1C1的法向量 m ( x，y，z) ，则 m A1C1 0， m AA1 0. 即 2x2y5z0， 22y0. 不妨令 x5，可得 m (5，0，2) ， 同样地，设平面A1B1C1的法向量n( x1 ，y 1 ，z 1) ，则 nA1C1 0， nA1B1 0， 即 2x 1 2y 1 5z 10， 22x10. 不妨令 y15，可得 n(0， 5，2) ， 于是 cosm ，n m n |m| n| 2 77 2 7， 从而 sin m，n 3 5 7 . 所以二面角 AA1C1B1的正弦值为 35 7 . 19、 （）证明：在 RtABC中，/E

20、FBC ， EFAB. ,EFEB EFEP. 又 EBEPE ， EF平面 PEB. 优秀学习资料欢迎下载 又 PB平面 PEB， EFPB ( ) ：如图，以 E 为原点建立空间直角坐标系Exyz 点 E 为线段 AB 的中点，4ABBC， 2PEEB=. ,EFEB EFEP， PEB是二面角 PEFB 的平面角 . 二面角 PEFB的大小为 60 ， 60PEB. 可得1,0,3P，2,4,0C. 则1, 4,3CP， 且平面 BCFE 的法向量n0,0,1 . 15 cos, 10 CP CP CP n n n . PC 与平面 BCFE 所成角的正弦值是 10 15 . （）设 AEx，则)4,0(x. 同（）可求得 3 2 PDx=. 在等腰直角三角形AEF 中， EFAEx=， 2 1 (16) 2 BCFEABCAEF SSSx=-=-. 213 (16) 312 PEFCBBCFE VSPDxx. 设 2 (16)fxxx，0,4x，则 2 163fxx ，由0fx得 4 3 3 x. 当 4 3 0 3 x时， 2 (16)fxxx单调递增； 当 4 3 4 3 x时， 2 (16)fxxx单调递减 . 当 4 3 3 x 时，四棱锥 PEFCB体积取最大值为 32 9 . z y x E F B C P