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1、精品资料欢迎下载 1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标：会用三角函数解决一些简单的实际问题； 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 学习重点：三角函数的实际应用 学习难点：三角函数模型的建立 【学法指导】 三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集 的数据，画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应 用正、余弦函数进行拟合. 一知识导学 1三角函数的周期性 yAsin( x) ( 0)的周期是T _； yAcos( x) ( 0)的周期是T _； yAtan( x) ( 0)的周期是T _. 2函数 y
2、 Asin( x) k (A0 ，0)的性质 (1)ymax，ymin . (2)A ， k . (3) 可由确定，其中周期T可观察图象获得 (4) 由 x1 ， x2 ，x3，x4， x5 中的一个确定 的值 3三角函数模型的应用 二探究与发现 【探究点一】利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情 绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的 数学模型 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1) 收集数据，画出“散点图”； (2) 观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图
3、具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和 余弦函数模型来解决； (3) 注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析 例如，如图，某地一天从614 时的温度变化曲线近似满足函数ysin( x) b. 根据图象可知，一天中的温差是； 这段曲线的函数解析式是y 【探究点二】三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin( x) 来表示运动的位移y 随时间 x 的变化规律，其中： (1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T 2 称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； 精品资料欢迎下
4、载 (3)f 1 T 2称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数 例如，一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s( 单位： cm)与时间 t( 单位： s) 的函数关系是：s 6sin2t 6 . (1) 画出它的图象； (2) 回答以下问题： 小球开始摆动( 即 t 0)，离开平衡位置是多少？ 小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ 小球来回摆动一次需要多少时间？ 【典型例题】 例 1(1) 作出函数y|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间 (2) 作出函数ysin|x|的图象并判断其周期性 跟踪训练 1。求下列函数的周
5、期： (1)y |sin 2x|； (2)y sin 1 2x 6 1 3 ； (3)y |tan 2x|. 例 2交流电的电压E(单位：伏 ) 与时间 t( 单位：秒 ) 的关系可用E2203sin100t 6 来表示， 求： (1) 开始时的电压； (2) 最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3) 电压的最大值和第一次取得最大值的时间 t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2t 6 6 2 3 2 22 6 6sin 2t 6 3 6 0 6 0 3 精品资料欢迎下载 跟踪训练 2。下图表示电流I 与时间 t 的函数关系式：I Asin( t ) | |0)，就是确定其中的参
6、数A，B等，可从所给的数据 中寻找答案由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则 A M m 2 ，B M m 2 . 跟踪训练 3。设 yf(t)是某港口水的深度y( 米) 关于时间t( 时) 的函数，其中0t 24. 下表是该港 口某一天从0 时至 24 时记录的时间t 与水深 y 的关系： 精品资料欢迎下载 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数yk Asin( t) 的图象下 面的函数中，最能近似表示表中数据
7、间对应关系的函数是( ) Ay123sin 6 t ，t 0,24 B y 123sin 6 t ，t 0,24 Cy123sin 12t ，t 0,24 D y123sin 12t 2 ，t 0,24 三巩固训练 1方程 |x| cos x 在(， ) 内 ( ) A没有根B有且仅有一个根 C 有且仅有两个根D有无穷多个根 2如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点 A出发在圆上按逆时针方向 旋转一周， 点 P所旋转过的弧AP的长为 l ，弦 AP的长为 d，则函数 df(l)的图象大致是 ( ) 3一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(c
8、m) 与时 间 t(s)的函数关系式为s3cos g l t 3 ， 其中 g 是重力加速度， 当小球摆动的周期是1 s 时， 线长 l _ cm. 4如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天 轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处( 点 P与摩天轮 中心高度相同) 时开始计时 (1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 四课堂小结： 三角函数模型构建的步骤 (1) 收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象 (2) 制作散点图，选择函数模型进行拟合 (3) 利用三角函数模型解决实际问题 (4) 根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.