【优质文档】高中数学必修五全套教案.pdf

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1、学习必备欢迎下载 探索研究 在初中， 我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关 系。如图11-2 ，在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义，有sin a A c ，sin b B c ，又sin1 c C c , 则 sinsinsin abc c ABC b c 从而在直角三角形ABC中， sinsinsin abc ABC C a B ( 图 11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 11-3 ，当ABC是锐角三角形时

2、，设边AB上的高是CD ，根据任意角三角函数的 定义，有CD=sinsinaBbA, 则 sinsin ab AB ， C 同理可得 sinsin cb CB ， b a 从而 sinsin ab ABsin c C A c B (图 11-3) 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsin ab ABsin c C 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC； （2） sinsin ab ABsin c C 等价于 sinsin ab AB ， sinsin

3、cb CB ， sin a Asin c C 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin bA a B ； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsin a AB b 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 。 例题分析 例 1在ABC中，已知 0 32.0A， 0 81.8B，42.9acm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 0 180()CAB 000 180(32.081.8 ) 0 66.2； 根据正弦定理， 学习必备欢迎下载 0 0 sin42.9sin81.8 80.1(

4、) sin sin32.0 aB bcm A ； 根据正弦定理， 0 0 sin42.9sin66.2 74.1(). sin sin32.0 aC ccm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2在ABC中，已知20acm，28bcm ， 0 40A，解三角形（角度精确到 0 1，边 长精确到1cm ）。 解：根据正弦定理， 0 sin28sin40 sin0.8999. 20 bA B a 因为 0 0B 0 180，所以 0 64B，或 0 116 .B 当 0 64B时， 00000 180() 180(4064 ) 76CAB， 0 0 sin20sin76 30()

5、. sin sin40 aC ccm A 当 0 116B时， 00000 180() 180(40116 ) 24CAB， 0 0 sin20sin24 13(). sin sin40 aC ccm A 补充练习 已知ABC中，sin :sin:sin1:2:3ABC ，求:a b c （答案： 1： 2：3） （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 1

6、1-5 ，设CB a，CA b，ABc，那么cab，则bc 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b C a B 从而 222 2coscababC (图 1 1-5) 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理 ： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即 222 2cosabcbcA 学习必备欢迎下载 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考： 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？ （由

7、学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 bca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 bac C ba 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC中， C= 0 90，则cos0C，这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例 1在ABC中，已知

8、2 3a，62c， 0 60B，求 b 及 A 解： 222 2cosbacacB = 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1) =8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一： cos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1 , 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A 例 2在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形 解：由余弦定理的推论得： cos 222 2 bca A bc 222 87.8161.7134.6 2 87.8 16

9、1.7 0.5543, 0 56 20A； 学习必备欢迎下载 cos 222 2 cab B ca 222 134.6161.787.8 2 134.6 161.7 0.8398, 0 32 53B； 0000 180() 180(56 2032 53)CAB 补充练习 在ABC中，若 222 abcbc，求角 A（答案： A=120 0 ） . 课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 随堂练习1 （1）在ABC中，已知80a， 100b ， 0 45A，试判断此三角形的

10、解的情况。 （2）在ABC中，若1a， 1 2 c， 0 40C，则符合题意的b 的值有 _个。 （3）在ABC中，axcm，2 bcm， 0 45B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。 （答案：（ 1）有两解；（2）0；（ 3）22 2x） 2在ABC中，已知7a，5b，3c，判断ABC的类型。 分析：由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcAABC 是锐角三角形 （注意：是锐角AABC 是锐角三角形） 解： 222 753，即 222 abc， ABC 是钝角三角形。 随堂练习2 （

11、1）在ABC中，已知 sin:sin:sin1:2:3ABC ，判断ABC的类型。 （2）已知ABC满足条件coscosaA bB，判断ABC的类型。 （答案：（ 1）ABC 是钝角三角形；（ 2）ABC是等腰或直角三角形） 2. 在ABC中， 0 60A，1b，面积为 3 2 ，求 sinsinsin abc ABC 的值 分析：可利用三角形面积定理 111 sinsinsin 222 SabCacBbcA以及正弦定理 sinsin ab ABsin c Csinsinsin abc ABC 学习必备欢迎下载 解：由 13 sin 22 SbcA得2c， 则 222 2cosabcbcA=3

12、，即3a， 从而 sinsinsin abc ABC 2 sin a A . 课堂练习 （1）在ABC中，若55a， 16b ，且此三角形的面积220 3S，求角 C （2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 222 4 abc S ，求角 C （答案：（ 1） 0 60或 0 120；（ 2） 0 45） . 课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 . 课后作业 （1）在ABC中，已知4b， 10c ， 0 30B，试判断此三角形的解的情况。 （2）设 x、x+1

13、、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。 （3）在ABC中， 0 60A，1a，2b c，判断ABC的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm ， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程 2 5760xx的根， 求这个三角形的面积。 例 1、 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B, 然 后从 B出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A出 发到达C,此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精确到0.1, 距离精确到 0.01n mile) 解：在ABC中，ABC=180 - 75

14、+ 32=137，根据余弦定理， 学习必备欢迎下载 AC=ABCBCABBCABcos2 22 = 137cos0.545.6720.545.67 22 113.15 根据正弦定理, CAB BC sin = ABC AC sin sinCAB = AC ABCBCsin = 15.113 137sin0.54 0.3255, 所以CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答: 此船应该沿北偏东56.1的方向航行 , 需要航行113.15n mile 补充例 2、某巡逻艇在A 处发现北偏东45相距 9 海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以10 海里 / 小时的速度向我海岸

15、行驶，巡逻艇立即以14 海里 / 小时的速度沿着直 线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x 小时后在 B处追上走私船， 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=75+45 =120 (14x) 2 = 9 2 + (10x) 2 -2910xcos 120 化简得 32x 2 -30x-27=0 ，即 x= 2 3 , 或 x=- 16 9 ( 舍去 ) 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sinBAC = AB BC120sin = 21 15 2 3 = 14 35 BAC =

16、3831 , 或BAC =14174（钝角不合题意，舍去）， 学习必备欢迎下载 3831 + 45 =8331 答：巡逻艇应该沿北偏东8331方向去追，经过1.4 小时才追赶上该走私船. 评注： 在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的 应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 . 课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三 角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形， 这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 例 7、

17、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm 2 ） （1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 解：（ 1）应用 S= 2 1 acsinB ，得 S= 2 1 14.823.5sin148.5 90.9(cm 2 ) (2) 根据正弦定理， B b sin = C c sin c = B Cb sin sin S = 2 1 bcsinA = 2 1 b 2 B AC sin sinsin A = 180-(B +

18、C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 2 1 3.16 2 7 .62sin 5 .51sin8 .65sin 4.0(cm 2 ) (3) 根据余弦定理的推论，得 cosB = ca bac 2 222 = 4.417.382 3.274.417.38 222 0.7697 sinB = B 2 cos1 2 7697.010.6384 应用 S= 2 1 acsinB ，得 学习必备欢迎下载 S 2 1 41.438.70.6384 511.4(cm 2 ) 例 3、在ABC中，求证： （1）; sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba （2） 2

19、 a+ 2 b+ 2 c=2（bccosA+cacosB+abcosC ） 证明：（ 1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin = C c sin = k 显然 k0，所以 左边 = Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin = C BA 2 22 sin sinsin =右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边 =2(bc bc acb 2 222 +ca ca bac 2 222 +ab ab cba 2 222 ) =(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2

20、+c 2 =左边 变式练习1：已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面积 S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案： a=6,S=93;a=12,S=183 . 课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后 化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用。 学习必备欢迎下载 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做数列 . 注意 ：数列的数是按一定次序排列的，因此， 如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同，那么它们就是不同的数列

21、； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，第n 项， . 例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1 项（或首项），“9”是 这个数列中的第6 项. 数列的一般形式：, 321n aaaa，或简记为 n a，其中 n a是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1”， “ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关 系可否用一

22、个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式） 对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 5 1 4 1 3 1 2 1 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： n an 1 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式： 如果数列 n a 的第 n项 n a与 n之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意 ：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列； 一个数列的通项公式有时是不唯一的，

23、如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式 可以是 2 ) 1(1 1n n a，也可以是| 2 1 cos| n an . 数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的 一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列 便确定了，代入项数就可求出数列的每一项 5. 数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N * （或它的有限子集1 ， 2， 3，n）为定义域的函数( ) n af n， 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数y=f(x),

24、 如果f(i)（i=1 、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数 列f(1) 、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n) ， 学习必备欢迎下载 6数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列 ：项数有限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6。是 有穷数列 无穷数列 ：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6是 无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 补充练习

25、：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) 3 2 , 15 4 , 35 6 , 63 8 , 99 10 , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ； 解： (1) n a2n1； (2) n a )12)(12( 2 nn n ； (3) n a 2 )1(1 n ； (4) 将数列变形为10, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , n an 2 )1(1 n ； 1、 通项公式法 如果数列 n a的第 n 项与序号之

26、间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式。 如数列的通项公式为； 的通项公式为； 的通项公式为； 2、 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的 项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横 坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可 以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 3、 递推公式法 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 学习必备欢迎下载 观察钢管堆放示意图，寻其规律，

27、建立数学模型 模型一： 自上而下： 第 1 层钢管数为4；即： 141+3 第 2 层钢管数为5；即： 252+3 第 3 层钢管数为6；即： 363+3 第 4 层钢管数为7；即： 474+3 第 5 层钢管数为8；即： 585+3 第 6 层钢管数为9；即： 696+3 第 7 层钢管数为10；即： 7107+3 若用 n a表示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1 (3nan n 7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系， 会 很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可

28、循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。 即4 1 a；1145 12 aa；1156 23 aa 依此类推：1 1nnaa （2n7） 对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 递推公式：如果已知数列 n a的第 1 项（或前几项），且任一项 n a与它的前一项 1n a（或 前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5， 8，13， 21，34，55，89 递推公式为：)83(,5, 3 2121 na

29、aaaa nnn 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法： 列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表 示第一项，用表示第一项，用表示第项，依次写出成为 4、列表法 简记为 范例讲解 例 3 设数列 n a满足 1 1 1 1 1(1). n n a an a 写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出 n a的第 1 项即1 1 a，递推公式： 1 1 1 n n a a 学习必备欢迎下载 解：据题意可知： 3 21 1,2 1 1, 1 2 3 1 21 a a a aa， 5 8 , 3 51 1 5 3 4 a

30、 a a 补充例题 例 4 已知2 1 a， nn aa2 1 写出前 5 项，并猜想 n a 法一：2 1 a 2 2 222a 32 3 222a，观察可得 n n a2 法二：由 nn aa2 1 1 2 nn aa即2 1n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 补充练习 1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1 a0, 1n a n a(2n 1) (n N)； (2) 1 a1, 1n a 2 2 n n a a (n N)； (3) 1 a3, 1

31、n a3 n a 2 (n N). 解： (1) 1 a 0, 2 a1, 3 a4, 4 a9, 5 a16, n a(n 1) 2 ; (2) 1 a1, 2 a 3 2 , 3 a 4 2 2 1 , 4 a 5 2 , 5 a 6 2 3 1 , n a 1 2 n ; (3) 1 a31+2 0 3, 2 a71+2 1 3, 3 a191+2 2 3, 4 a551+2 3 3, 5 a1631+2 4 3, n a123 1n ; 1等差数列 ：一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“

32、d”表示）。 公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列 n a, 若 n a 1n a=d ( 与 n 无关的数或字母) ，n2，n N ，则此数列 是等差数列， d 为公差。 2等差数列的通项公式：dnaan )1( 1 【或 n admnam)(】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列 n a的首项是 1 a，公 差是 d，则据其定义可得： 学习必备欢迎下载 daa 12 即：daa 12 daa 23 即：dadaa2 123 daa 34 即：dadaa3 134 由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan )1( 1 已知一数列为等差数列，

33、则只要知其首项 1a 和公差 d，便可求得其通项 n a。 由上述关系还可得：dmaam )1( 1 即：dmaa m ) 1( 1 则： n adna)1( 1 =dmnadndma mm )()1()1( 即等差数列的第二通项公式 n admnam)( d= nm aa nm 范例讲解 例 1 求等差数列8，5， 2的第 20 项 -401是不是等差数列-5 ，-9 ，-13 的项？如果是，是第几项？ 解：由35285, 8 1 da n=20 ，得49)3()120(8 20 a 由4)5(9,5 1 da得数列通项公式为：)1(45nan 由题意可知， 本题是要回答是否存在正整数n，

34、使得) 1(45401n成立解之得n=100， 即-401 是这个数列的第100 项 例 3 已知数列 n a的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定 是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定 n a 是不是等差数列，只要看 1nn aa（n2）是不 是一个与n 无关的常数。 解：当 n2 时, （取数列 n a中的任意相邻两项 1n a与 n a（ n2） ) 1()( 1 qnpqpnaa nn pqppnqpn)(为常数 n a是等差数列，首项qpa1，公差为p。 注：若 p=0，则 n a是公差为0 的等差数列，即为常数列q， q，q

35、， 学习必备欢迎下载 若 p0, 则 n a 是关于 n 的一次式 , 从图象上看 , 表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上 , 一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为q. 数列 n a 为等差数列的充要条件是其通项 n a=pn+q (p 、q 是常数 ) ，称其为第3 通项公式。 判断数列是否是等差数列的方法是否满足3 个通项公式中的一个。 补充练习 1. （1）求等差数列3，7，11，的第4 项与第 10 项. 分析： 根据所给数列的前3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求 项. 解： 根据题意可知： 1 a=3,d=73=4. 该数列的通项公式为：

36、 n a=3+ （n1） 4, 即 n a=4n 1（n1,nN* ） 4 a=441=15, 10 a=4101=39. 评述：关键是求出通项公式. （2）求等差数列10，8，6，的第20 项. 解：根据题意可知： 1 a=10,d=810=2. 该数列的通项公式为： n a=10+ （n1） （ 2） , 即： n a=2n+12, 20 a= 220+12= 28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性. （3）100 是不是等差数列2， 9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明 理由 . 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得 n

37、a等于这一数 . 解：根据题意可得： 1 a=2,d=92=7. 此数列通项公式为： n a=2+（n1） 7=7n 5. 令 7n5=100, 解得：n=15, 100 是这个数列的第15 项. （4） 20 是不是等差数列0，3 2 1 ，7，的项？如果是，是第几项？如果不是， 说明理由 . 解：由题意可知： 1 a=0,d=3 2 1 此数列的通项公式为： n a= 2 7 n+ 2 7 , 令 2 7 n+ 2 7 =20, 解得n= 7 47 因为 2 7 n+ 2 7 = 20 没有正整数解，所以20 不是这 个数列的项 . 学习必备欢迎下载 3有几种方法可以计算公差d d= n

38、a 1n a d = 1 1 n aan d = mn aa mn 问题 ：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A 应满足什么 条件？ 由定义得 A-a=b-A ，即： 2 ba A 反之，若 2 ba A，则 A-a=b-A 由此可可得：, 2 ba ba A成等差数列 补充例题 例在等差数列 n a 中，若 1 a+ 6 a=9, 4 a=7, 求 3 a , 9 a . 分析： 要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知 道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公 差），本题中，只已知一项，和另一个

39、双项关系式，想到从这双项关系式入手 解 ： a n 是等差数列 1 a+ 6 a= 4 a+ 3 a =9 3 a=9 4 a=97=2 d= 4 a 3 a=72=5 9 a= 4 a+(9 4)d=7+5*5=32 3 a=2, 9 a=32 已知数列 n a 是等差数列 （1） 7 53 2aaa是否成立？ 9 51 2aaa呢？为什么？ （2） 1 1 2(1) n nn aaan是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2(0) n k nn k aaank是否成立？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则， qpnm aaaa 即m+n=p+q qpn

40、m aaaa (m, n, p, q N ) 但通常由 qpnm aaaa推不出 m+n=p+q ， nmnm aaa . 课堂练习 1. 在等差数列 n a中，已知10 5 a，31 12 a，求首项 1 a与公差d 学习必备欢迎下载 2. 在等差数列 n a中, 若6 5 a15 8 a求 14 a 1等差数列的前n项和公式1： 2 )( 1n n aan S 证明： nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn +：)()()()(2 23121nnnnnnaaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa )(2 1nn aanS由此得： 2 )(1n n aan

41、S 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前n项和公式2： 2 )1( 1 dnn naSn 用上述公式要求 n S必须具备三个条件：naan,1 但dnaan )1( 1 代入公式1 即得： 2 )1( 1 dnn naSn 此公式要求 n S必须已知三个条件：dan, 1 （有时比较有用） 由例 3 得与 n a之间的关系 ： 由 n S的定义可知，当n=1 时， 1 S= 1 a；当 n2 时， n a= n S- 1n S， 即 n a= )2( )1( 1 1 nSS nS nn . 1. 等差数列的前n项和公式1： 2 )( 1n n aan S 2. 等差

42、数列的前n项和公式2： 2 )1( 1 dnn naSn 结论：一般地，如果一个数列, n a的前 n 项和为 2 n Spnqnr，其中 p、q、r 为常数， 且0p，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由 2 n Spnqnr，得 11 Sapqr 当2n时 1nnnaSS= 22 ()(1)(1)pnqnrp nq nr=2()pnpq 学习必备欢迎下载 1 2()2(1)() nn daapnpqp npq=2p 对等差数列的前n项和公式 2： 2 )1( 1 dnn naSn可化成式子： n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n ，当 d0，是一个常

43、数项为零的二次式 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 n a: 当 n a0，d0，前 n项和有最小值 可由 n a0，且 1n a0，求得 n的值 （2） 利用 n S： 由n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 . 课堂练习 1一个等差数列前4 项的和是24，前 5 项的和与前2 项的和的差是27，求这个等差数列的 通项公式。 2差数列 n a中, 4 a 15, 公差 d3, 求数列 n a 的前 n 项和 n S的最小值。 . 课时小结 1前 n 项和为 2 n Spnqnr，其中 p、q、r 为常数，且0p，一定是等差数列，

44、该 数列的 首项是 1 apqr 公差是 d=2p 通项公式是 11 1 ,1 2(),2 n nn Sapqrn a SSpnpqn 当时 当时 2差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）当 n a0，d0，前 n项和有最小值 可由 n a0，且 1n a0，求得 n的值。 （2）由n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 学习必备欢迎下载 1等比数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示 （q0），即： 1n n a a =q（q0）

45、 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) n a成等比数列 n n a a 1 =q（ Nn,q 0） 2隐含：任一项00qan且 “ n a0”是数列 n a成等比数列的必要非充分条件 3 q= 1时， an为常数。 2. 等比数列的通项公式1:)0( 1 1 1 qaqaa n n 由等比数列的定义，有： qaa 12 ； 2 1123 )(qaqqaqaa； 3 1 2 134 )(qaqqaqaa； )0( 1 1 11 qaqaqaa n nn 3. 等比数列的通项公式2:)0( 1 1 qaqaa m mn 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究： 课本 P56页的

46、探究活动等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列 n a 的通项公式)0( 1 1 1 qaqaa n n , 它的图象是分布在曲线 1x a yq q （q0）上的一些孤立的点。 当 1 0a，q 1 时，等比数列 n a是递增数列； 当 1 0a，01q，等比数列 n a是递增数列； 当 10a，01q时，等比数列 n a是递减数列； 当 1 0a，q 1 时，等比数列 n a是递减数列； 当0q时，等比数列 n a是摆动数列；当1q时，等比数列 n a是常数列。 学习必备欢迎下载 补充练习 2. （ 1） 一个等比数列的第9 项是 9 4 ，公比是 3 1 ，求它的

47、第1 项（答案： 1 a=2916） （2）一个等比数列的第2 项是 10， 第 3 项是 20， 求它的第 1 项与第 4 项 （答案： 1 a= q a2 =5, 4 a= 3 aq=40） 1等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数 G为a与b的等比中项 . 即G=ab（a,b同号） 如 果 在a与b中 间 插 入 一 个 数G， 使a,G，b成 等 比 数 列 ， 则 abGabG G b a G 2 ， 反之，若G2=ab, 则 G b a G ，即a,G,b成等比数列。 a,G,b成等比数列G 2 =ab（ab 0） 例题证明：设数列 n a的首项是 1 a，公比为 1 q; n b的首项为 1 b，公比为 2 q，那么 数列 nnba 的第 n项与第 n+1 项分别为： nnnnnn qqbaqqbaqbqaqbqa)()( 2111 1 21112111 1 21 1 11 与即为与 . )( )( 21 1 2111 211111 qq qqba qqba ba ba n n nn nn 它是一个与n 无关的常数，所以 nnba是一个以q1q2为公比的等比数列 拓展探究： 对于例题中的等比数列 n a与 n b，数列 n n a b 也一定是等比数列吗？ 探究：设数列 n a