【优质文档】高中数学竞赛系列讲座.pdf

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1、学习必备欢迎下载 高中数学竞赛系列讲座 第一讲集合与容斥原理 数学是一门非常迷人的学科， 久远的历史， 勃勃的生机使她发展成为一棵枝 叶茂盛的参天大树， 人们不禁要问： 这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问 题，在 19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础 的通用数学框架， 他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就 叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数 学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。 集合是一种基本数学语言、 一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课， 而且是整个数学的基础。 对集合的理解和掌握不能仅仅停留

2、在高中数学起始课的 水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言 (术语与符号 ) 来表示各种数学名词， 主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空 间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式 (组)的解、 表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。 一、 学习集合要抓住元素这个关键。 遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什么。 集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、 描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系 新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相

3、等、 相交、相并、互补 (、N、N 、Z、Q 、R 、 C sA、I 、 )等，这些新概念新关系， 多而抽象。在这千头万绪中， 应该抓住“元素” 这个关键，因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都 是通过元素来定义的。 集合中元素的特征即“确定性”， “互异性”、“无序性” 也就是元素的性质。 集合的分类 ( 有限集与无限集 ) 与表示方法 ( 列举法与描述法 ) 也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合 里的元素是什么。 例 1设 AXX=a 2+b2,a 、bZ，X 1，X2A，求证： X1X2A。 分析： A中的元素是什么？是自然数，即由

4、两个整数a、b 的平方和构成的 自然数，亦即从 0、1、4、9、16、25，n 2，中任取两个 (相同或不相同 ) 数加起来得到的一个和数， 本题要证明的是： 两个这样的数的乘积一定还可以拆 成两个自然数的平方和的形式，即 (a 2+b2)(c2+d2)=(X)2+(Y)2，X,YZ 学习必备欢迎下载 证明：设 X1a 2+b2，X 2=c 2+d2，a、b、c、dZ 则 X1X2(a 2+b2)(c2+d2) a 2c2+b2d2+b2c2+a2d2 a 2c2+2acbd+b2d2+b2c2- 2bcad+a2d2 (ac+bd) 2+(bc-ad)2 又 a、b、c、dZ，故 ac+bd

5、、bc- adZ，从而 X1X2A 说明：本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换(0 2abcd-2abcd) 。命题的结论说明集合A对于其中元素的“”运算是封闭的。 类似的有： 自然数集合 N对于“”、“”运算是封闭的 整数集合 Z对于“”、“”、“”运算是封闭的 有理数集合 Q对于“”、“”、“”、“”运算是封闭的( 除数不 能是零 ) 实数集合对于“”、“”、“”、“”四则运算是封闭的 复数集合对于“”、“”、“”、“”、乘方、开方运算都是封闭 的。 例 2已知集合 M 直线 ，N 抛物线 ，则 M N中元素的个数为 () (A)0 (B)0,1 ，2 其中之一 (C

6、) 无穷 (D) 无法确定 分析M 中的元素为直线， 是无限集； N中的元素为抛物线， 它也是无限集。 由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线(曲线) 的图形根本不存 在，故 M N ，选(A) 说明 若想当然地误认为M中的元素是直线上的点， N中的元素是抛物线上 的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选(B) ； 例 3已知 AY|YX 24X3，XR， BYY X 22X2，XR 求 AB 先看下面的解法： 解：联立方程组 学习必备欢迎下载 YX 24X3 YX 22X2 消去 Y，得 2X 22X10 因为 ( 2) 2421 40，方程无实根，故

7、AB 说明 上述解法对吗？画出两抛物线的图象：YX 24X+3=(X-1)(X-3), 开 口向上，与 X轴交于 (1,0) 、(3,0) ，对称轴为 X2，纵截距为 3；YX 22X 2(X1) 23，开口向下，与 X轴交于 (13,0) 、(13,0) ，对 称轴为 X1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗，亲爱的读者？ 图 111 回头审视两集合 A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中 的元素都是实数Y，即当 XR 时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二 次函数的值域集合。 故由 YX 24X3(X2)21 1，YX22X2 (X1) 233， 可知 AYY 1，

8、 BYY3， 它们的元素都是“实数”， 从而有 M N Y1Y3 你看，认清集合中元素的构成是多么重要！ 二、 集合中待定元素的确定 例 4已知集合 M X，XY ，lg(xy)，S0，X， Y，且 M S，则(X 1/Y) (X 21/Y2) (X20021/Y2002) 的值等于 ( )，(据 1987 年全国 高中数学联赛试题改编 ) 。 分析：解题的关键在于求出X和 Y的值，而 X和 Y分别是集合 M与 S中的元 素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素 的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系( 子、全、补、交、 学习必备欢迎下载 异、空、等

9、 )有本质的理解，对于两个相等的有限集合( 数集) ，还会用到它们的 简单性质： (a) 相等两集合的元素个数相等； (b) 相等两集合的元素之和相等； (c) 相等两集合的元素之积相等； 对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。 解：由 M S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数 的性质知，0 和负数没有对数， 所以 XY 0，故 X， Y均不为零，所以只能有 lg(XY) 0，从而 XY 1 M X，1，0，S0 ，X， 1/X 再由两集合相等知 当 X1时，M 1,1 ，0，S0,1 ，1 ，这与同一个集合中元素的互异性 矛盾，故 X1 不满足题目要求； 当 X

10、1 时，M 1,1 ，0 ，S0,1 ，1，M S，从而 X1 满足题 目要求，此时 Y1，于是 X 2K11/Y2K12(K0,1 ，2，)， X 2K1/Y2K2(K1,2 ，) 故所求代数式的值为0 例 5设 AXX 2+aX+b=0 BXX2+CX+15=0 若 AB3,5 ，AB3 ，求 a,b,c 。 分析：由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理 )，结 合、的概念入手，可以寻得解题的突破口。 解：由 AB3 知 3B,由韦达定理知 学习必备欢迎下载 此时， B3,5 AB 又由 AB3 知 5A；而(AB)A(AB)，故 A3 ，即二次方程 X 2aX+b 0有

11、二等根 X1X23，根据韦达定理，有 X1X26a，X1X2 9 b 所以， a6，b9，c8 三有限集元素的个数 ( 容斥原理 ) 请看以下问题： 开运动会时， 高一某班共有 28名同学参加比赛，有15 人参加游泳比赛， 有 8 人参加田径比赛， 有 14 人参加球类比赛， 同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时 参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题( 请读者参阅高中教材数 学第一册 (上)P23P23阅读材料“集合元素的个数”。) 为此我们把有限集合A

12、的元素个数记作card(A) 可以证明： (1) card(AB)card(A) card(B) card(A B)； ( 2) card(A BC)=card(A)+card(B)+card(C) - card(A B)-card(A C)-card(B C) +card(ABC) 如下图所示： 由图 131，有 card(A B)=+=(+)+( +) - card(A)+card(B)-card(A B) card(Cu(A B)=card(U) -card(A B)=card(U) -card(A)-card(B)+card(A B) 学习必备欢迎下载 又由图 132，有 card(A

13、 BC)=+ (+)+( +)+( +) - (+)- (+)-(+)+ card(A)+card(B)+card(C)-card(A B)-card(A C)-card(B C)+card(ABC ) 现在我们可以来回答刚才的问题了： 设 A参加游泳比赛的同学 ，B 参加田径比赛的同学 ，C 参加球类 比赛的同学 则 card(A)=15 ，card(B)=8 ，card(C)=14 ，card(A BC)=28 且 card(A B)=3，card(A C)=3，card(A BC)=0 由公式得 281581433card(B C)+0 即 card(B C)=3 所以同时参加田径和球类

14、比赛的共有3 人，而只参加游泳比赛的人有153 39(人) 例 6计算不超过 120 的合数的个数 分析 1： 用“筛法”找出不超过120 的质数 ( 素数) ， 计算它们的个数， 从 120 中去掉质数，再去掉“ 1”，剩下的即是合数。 解法 1：120以内： 既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”； 素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共 30 个。 所以不超过 120的合数有 12013089(个) ( 附：筛法：从小到大按顺序写出

15、1120的所有自然数： 学习必备欢迎下载 先划掉 1，保留 2，然后划掉 2 的所有倍数 4,6 ，120 等；保留 3，再划掉 所有 3 的倍数 6,9117、 120等；保留 5，再划掉 5 的所有倍数 10,15，120； 保留 7，再划掉 7 的所有倍数，这样，上面数表中剩下的数就是120 以内的所 有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉筛法”) 说明：当 n 不很大时，计算 1n 中的合数的个数困难不大； 但当 n 很大时， 利用筛法就很困难、很费时了，必须另觅他途。 分析 2 受解法 1 的启发，如果能找出 1n 中质数的个数 m ，则 n1m就 是不超过 n 的

16、合数的个数。由初等数论中定理：a 是大于 1 的整数。如果所有不 大于a的质数都不能整除a，那么 a 是质数。因为 12012111 2，12011， 所以不超过 120的合数必是 2 或 3 或 5 或 7 的倍数，所以只要分别计算出不超过 120 的 2、3、5、7 的倍数，再利用“容斥原理”即可。 解法 2：设 S1a13120,2a； S2b1b120,3 b；S3 c 13120,5c ； S4=d1d120,7d，则有： card(S1) 120/2=60 ，card(S2) 120/3 40，card(S3) 120/5 24， card(S4)120/7 17； (n 表示 n

17、 的整数部分，例如 2,4 2，) card(S1S2) 120/2 3 20，card(S1S3) 120/2 5 12， card(S1S4) 120/2 7 8，card(S2S3)120/3 5 8， card(S2S4) 120/3 7 5，card(S3S4)120/5 7 3， card(S1S2S3)120/2 35 4， card(S1S2S4)120/2 37 2， card(S1S3S4)120/2 57 1，card(S2S3S4) 120/3 57 1， card(S1S2S3S4) 120/2 357 0 学习必备欢迎下载 card(S1S2S3S4) card(S

18、1)card(S2)card(S3) card(S4) card(S1S2)card(S1S3) card(S1S4)card(S2S3) card(S2S4) card(S3S4)card(S1S2S3)card(S1S2S4) card(S1S3S4) card(S2S3S4) card(S1S2S3S4) (604024 17)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0 141-56893 2，3，5，7 是质数 93489 即不超过 120 的合数共有 89个。 四、 有限集合子集的个数 问题： (1) 集合a 一共有几个子集？ (2) 集合a，b一共有几个子集？ (3)

19、 集合a,b,c一共有几个子集？ (4) 集合a,b,c,d一共有几个子集？ (5) 猜想集合 a1,a2，an一共有几个子集？ (6) 利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数： 1,2M1,2 ，3,4 ，5,6 ，7,8 ，9,10 。 以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。 有限集合 a 的子集有： ，a ；共两个 有限集合 a,b 的子集有： ，a ，b ，a,b ；共 42 2 个； 有限集合 a,b,c的子集有： ；a ，b ，c ；a,b ，a,c ，b,c ； a,b,c；82 3 个； 有限集合 a,b,c,d的子集有：； a ， b ， c ， d ； a,b ，

20、a,c ， a,d， b,c ，b,d ，c,d ；a,b,c，a,b,d，a,c,d，b,c,d； a,b,c,d； 共 162 4个。 这里， a,b,c,d 的子集可以分成两部分， 一部分不包括 d， 是a,b,c 的子集；另一部分包括d，是a,b,c中每一个子集与 d 的并集。 循此思路，注意到 2， 42 2， 823， 1624 的规律， 可以猜想有限集合 a1,a2， an 的子集共有 2 n 个，其中非空子集有2 n1 个；真子集也有 2n1 个，非空真子 集有 2 n112n2 个。 利用上述猜想，问题 (6) 中集合 M的个数应当有 2 8256 个。 学习必备欢迎下载 例

21、 7一个集合含有 10 个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2 个无公共 元素的子集合，此两子集的各数之和相等。 分析：两位数共有10,11，,99，计 99990 个，最大的 10 个两位数 依次是 90,91，,99，其和为 945，因此，由 10 个两位数组成的任意一个集 合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有2 101 1023 个，这是解决问题的突破口。 解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10 个元素，故必有2 10 1024 个子集，其中非空子集有 1023 个，每一个子集内各数之和都不超过9091 98999451023，根据抽屉原理，一定

22、存在2 个不同的子集， 其元素之和 相等。如此 2 个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2 个子集有公共元素， 则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素 的非空子集，其所含参数之和相等。 说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最 多有 945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子 集数字之和相等。 第二步考察它们有无公共元素， 如无公共元素， 则已符合要求； 如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足 条件。可见，有限元素子集个数公式起了关键作用。 例 8设 A1,2 ，3， n，对

23、 XA，设 X中各元素之和为 Nx，求 Nx的 总和 解：A 中共有 n 个元素，其子集共有2 n 个。A中每一个元素在其非空子集中 都出现了 2 n-1 次， (为什么？因为 A的所有子集对其中任一个元素i 都可分为两类， 一类是不含 i 的，它们也都是 1,2 ， i- 1,i+1, n的子集，共 2 n-1 个；另一 类是含 i 的，只要把 i 加入到刚才的 2 n-1 个子集中的每一个中去 ) 。因而求 A的所 有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2 n-1 次， 即出现了 2 n-1 次，故得 12 n-122n-1 n2 n-1 (1 2n)2 n-1 n(n+1

24、)/2 2 n-1 n(n+1) 2 n-2 说明：这里运用了整体处理的思想及公式12 n(1/2)n(n+1)，其 理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。 得出集合中每一个元素都在 总和中出现了 2 n-1 次，是打开解题思路之门的钥匙孔。 学习必备欢迎下载 习题一 1、 化简集合 2、 设集合 A1，a,b,B=a,a 2,ab, 且 AB，求实数 a,b 3、 高一(1) 班的学生中，参加语文课外小组的有20 人，参加数学课外小组 的有 22 人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未 参加数学小组的有15 人。问高一 (1) 班共有学生几人？ 4、 设非空

25、集合 A1,2 ，3,4，5,6 ，7，且当 aA 时必有 8aA，这 样的 A共有( ) 个。 5、 已知 A296 的约数 ，B999 的约数，则 card(A B)( ) 6、 对于集合 AXX3n,n=1,2,3,4 BXX3 k ,k=1,2,3 若有集合 M满足 ABMAB，则这样的 M有多少个？ 参考答案 1 A(11/13 ，3/13) ，( 列举法) 或( 描述法 ) 2 A=-1,b=0 3 47 个 4 15 个 5 2 ，AB1,37 6 共 8 个 易知 A3,6 ，9,12B 3,9 ，27，故 学习必备欢迎下载 AB3,9 ，AB3,6 ，9,12,27 ，故 M可以这样构造 问题归结为求 N的个数，要即集合 6,12,27的子集数，所以 M有 2 38 个。