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1、优秀学习资料欢迎下载 高中新课标数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1空间的一个基底， ，abc 所确定平面的个数为（） 1 个 2 个 3 个 4 个以上 答案： 2已知(121)A ，关于面 xOy 的对称点为B，而B关于 x 轴的对称点为C，则 BC（） (0 4 2)， ， (042)， (0 40)， (2 02)， 答案： 3已知向量 111222 ()()xyzxyz， ，ab，若ab，设 abR ，则ab与 x 轴夹角的余 弦值为（） 12xx R 21xx R 12xx R 12()xx R 答案： 4若向量 MA MB MC，的起点与终点 MABC， ，
2、 ，互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则 能使 MA MB MC，成为空间一组基底的关系是（） 111 333 OMOAOBOC MAMBMC 12 33 OMOAOBOC 2MAMBMC 答案： 5正方体 1111 ABCDA BC D 的棱长为1，E是 11 A B 的中点， 则E是平面 11 ABC D 的距离是 （） 3 2 2 2 1 2 3 3 答案： 6一条长为a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45和 30，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（） 优秀学习资料欢迎下载 2 a 3 a 2 2 a 2 3 a 答案： 7若向量 a
3、与b的夹角为60，4b ， ( 2 )(3 )72ab ab，则 a（） 2 4 6 12 答案： 8设P是60的二面角l内 一点，PA平 面，PB平面， AB，为垂足， 42PAPB，则AB的长为（） 4 2 2 3 2 5 2 7 答案： 9ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，2PDADPDAD， 二面角PADC为60， 则P到AB的距离为（） 2 23 2 7 答案： 10已知()()(xyzabcxyzabc， ， ，pq，若有等式 2222222 ()()()xyzabcaxbycz成立，则，p q之间的关系是（） 平行垂直相交以上都可能 答案： 11已知平面与所成二面角为80
4、，P为，外一定点，过点P一条直线与，所成的 角都是30，则这样的直线有且仅有（） 1 条 2 条 3 条 4 条 答案： 12 如 图1， 梯 形ABCD中 ，A BC D， 且AB平 面， 224ABBCCD， 点P为内一动点， 且APBDPC， 则P点 的轨迹为（） 直线圆 椭圆双曲线 答案： 二、填空题 13已知(11)(2)ttttt， ，ab，则 ba 的最小值是 优秀学习资料欢迎下载 答案： 3 5 5 14在棱长为a 的正方体 1111ABCDAB C D 中，向量1BA 与向量 AC 所成的角为 答案：120 15如图2，在正三棱柱 111 ABCA BC 中，已知1ABD，在
5、棱 1 BB 上，且 1BD，若AD与平面 11 AAC C 所成的角为，则sin 答案： 6 4 16已知 ml，是异面直线，那么： 必存在平面过 m 且与l平行； 必存在平面过 m 且与l垂直； 必存在平面与 ml， 都垂直； 必存在平面与 ml， 距离都相等 其中正确命题的序号是 答案： 三、解答题 17设空间两个不同的单位向量 122 (0)(0)xyxy， ，ab与向量(111)， ，c的夹角都等于 4 解：（ 1）由 6 cos 42 aca c，且 11a cx y ， 11 6 2 xy 又 22 11 1xya， 222 11111111 3 ()212 2 xyxyx yx
6、 y 11 1 4 x y （4）同理可得 2222 61 24 xyx y， 11 xy，是方程 261 0 24 xx的两根，同理 22 xy，也是 又ab， 1221 ， xyx y cos， a b aba b a b 12121122 1 2 x xy yx yx y， 60ab， 优秀学习资料欢迎下载 18如图3，已知直四棱柱 1111 ABCDA BC D 中， 1 2AA，底面ABCD是直角梯形，ADC是 所直角，421ABCDABADDC， 求异面直线 1 BC 与DC 成角的大小 建解：以D为原点， 1 DADCDD，所在直线分别为x轴，y轴， z 轴 立空间直角坐标系Dx
7、yz， 则 1(01 2) (2 40)(01 0)CBA， ， ， 1 ( 23 2)BC，(010)CD， ， 设 1BC 与 CD 所成角为， 则 1 1 3 17 cos 17 BC CD BCCD 3 17 arccos 17 异面直线 1 BC 与DC所成角的大小为 3 17 arccos 17 19如图 4，在长方体 1111 ABCDAB C D 中， 1 1ADAA，2AB，点E在棱AB上移动， 问AE 等于何值时，二面角 1 DECD 的大小为 4 分别解：设AEx，以D为原点，直线 1 DADCDD，所在直线 为x yz， ， 轴建立空间直角坐标系， 则 11 (101)
8、(0 01)(10)(10 0)(0 2 0)ADExAC， ， ， ， ， 11 (12 0)(0 21)(0 01)CExD CDD， ， 设平面 1 D EC 的法向量为( )abc， ，n， 由 1 020 (2)0 0 n n ， ， D Cbc ab x CE 令1b，22cax， (21 2)x， ， n 依题意 1 2 1 222 cos 422 (2)5 DD DDx n n 23x（23x不合题意，舍去） 23AE 20如图5 所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 1 AEC F 所截而得到的，其中 1 4231ABBCCCBE， 优秀学习资料欢迎下载 （1）求 B
9、F ； （2）求点C到平面 1 AEC F 的距离 解：（ 1）以D为原点， DAFDCDF，所在直线为x 轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系Dxyz， 1 (0 0 0)(2 4 0)(2 0 0)(0 4 0)(2 41)(0 4 3)DBACEC， ， ， ， 设(0 0)Fz， 由 1 AFEC ，得 ( 2 0)( 2 0 2)z， ， ， 2z (0 0 2)( 24 2)FBF， 2 6BF （2）设 1 n 为平面 1 AEC F 的法向量， 1 (1)xy， ，n，由 1 1 0 0 AE AF ， ， n n 得 410 220 y x ， 1 1 4 x y ， 又
10、1 (0 0 3)CC， ， ，设 1CC 与1n 的夹角为， 则 11 1 4 33 cos 33 CC CC n n C到平面 1 AEC F 的距离 1 4 33 cos 11 dCC 21如图6，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点 OD，分别是 ACPC，的中 点，OP底面ABC （1）求证：OD平面PAB； （2）当 1 2 k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； （3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？ 解：（ 1）证明：OP平面 ABCOAOCABBC， OAOBOAOPOBOP， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 设ABa，
11、则 222 0 0000 0 222 AaBaCa， ， ， ， 设OPh，则(0 0)Ph， 优秀学习资料欢迎下载 D为PC的中点， 21 0 42 ODah， ， 2 0 2 PAah， 1 2 ODPA ODPA，OD平面PAB （2） 1 2 k，即2PAa， 7 2 ha， 27 0 22 PAaa， 可求得平面PBC的法向量 1 11 7 ， ，n 210 cos 30 PA PA PA ， n n n 设PA与平面 PBC所成的角为 ， 则 210 sincos 30 PA ， n PA与平面PBC所成的角为 210 arcsin 30 （3） PBC 的重心 221 663 G
12、aah， 221 663 OGaah， OG平面PBC，OGPB 又 2 0 2 PBah， 2211 0 63 OG PBah 2 2 ha 22 PAOAha，即1k 反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥 O在平面PBC内的射影为PBC的重心 22如图 7，已知向量OAOBOC，abc，可构成空间向量的一个基 底，若 123 ()aaa，a 优秀学习资料欢迎下载 123123 ()()bbbccc，bc， 在 向 量 已 有 的 运 算 法 则 的 基 础 上 ， 新 定 义 一 种 运 算 23323 11 31 22 1 ()a ba ba ba ba ba b，ab，显然ab的结
13、果仍为一向量，记作p （1）求证：向量p为平面OAB的法向量； （2）求证：以 OAOB，为边的平行四边形 OADB的面积等于 ab ； （3）将四边形 OADB按向量 OC c 平移，得到一个平行六面体 111 OADBCA D B ，试判断平 行六面体的体积V与 () ab c 的大小 解：（ 1） 2 33213 11 321 22 13 ()()()0a ba b aa ba b aa ba b ap a， pa，同理 p b p是平面OAB的法向量 （2）设平行四边形OADB的面积为S， OA 与 OB 的夹角为， 则sinSOA OB 2 1 a b a b a b 22 2 ()aba bab 结论成立 （3）设C点到平面OAB的距离为h， OC 与平面OAB所成的角为， 则VShsinab c， 又 ()cossin，ab cab cabcab c， V()ab c