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1、2014年上海市高考数学试卷（理科）解析 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题 共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 1 函数 2 12cos (2 )yx的最小正周期是. 2. 若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 1 ()z z z=_. 3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆 1 59 22 yx 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _. 4. 设 , ),(, )( 2 axx axx xf若4)2(f，则a的取值范围为_. 5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 2 x+ 2 2y的最小值为 _.
2、 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数 值表示） . 7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin4cos3(p，则 C 与极轴的交点到极点的距离 是. 8. 设无穷等比数列 n a的公比为q，若)(lim 431 aaa n ，则 q= . 9. 若 2 1 3 2 )(xxxf，则满足0)(xf的x取值范围是. 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则 选择的 3 天恰好为连续3 天的概率是（结构用最简分数表示）. 11. 已知互异的复数a,b 满足 ab0，集合 a,b= 2 a, 2 b,则ab=
3、 . 12. 设常数a 使方程sin3 cosxxa在闭区间0,2 上恰有三个解 1 23 ,xxx ，则 1 23 xxx. 13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若( )=4.2，则小白得5 分的概率至少为. 14. 已知曲线C： 2 4xy，直线 l：x=6. 若对于点 A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上 的点 Q 使得0APAQ，则 m 的取值范围为. 二、选择题 ：本大题共 4 个小题 ,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设Rba,则“4ba”是“2,2ba且”的（） （A）充分
4、条件（B）必要条件 （C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,.)2, 1(iPi 是上 底面上其余的八个点，则.)2, 1(i APAB i 的不同值的个数为（） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 17. 已知),( 111 baP与),( 222 baP是直线 y=kx+1 （k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和 y 的方程组 11 22 1 1 a xb y a xb y 的解的情况是（） （A）无论 k， 21,P P如何，总是无解（ B)无论 k， 21,P P如何，总有唯一解 （ C）存在 k，
5、 21,P P，使之恰有两解（D）存在 k， 21,P P，使之有无穷多解 18. , 0, 1 ,0,)( )( 2 xa x x xax xf若)0(f是)(xf的最小值，则a的取值范围为（）. (A)-1,2 (B)-1 ， 0 (C)1， 2 (D) 0,2 三解答题（本大题共5 题，满分74 分） 19、 （本题满分12 分） 底面边长为2 的正三棱锥 PABC,其表面 展开图是三角形 321 ppp，如 图，求 321 ppp的各边长及此三棱锥的体积V. zxxk 20.（本题满分14 分）本题有2 个小题，第一小题满分6 分，第二小题满分1 分。 设常数0a，函数 a a xf
6、 x x 2 2 )( （1）若a=4，求函数)(xfy的反函数)( 1 xfy； （2）根据a的不同取值，讨论函数)(xfy的奇偶性，并说明理由. 21.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. 如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD， 其中D为顶端，AC 长 35 米，CB长 80 米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和. （1）设计中CD是铅垂方向，若要求zxxk2，问CD的长至多为多少（结果精 确到 0.01 米）？ （2）施 工 完 成 后 .CD与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在实 测 得 ，
7、45.1812.38求CD的长（结果精确到0.01 米）？ 22（本题满分16 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分5 分，第 3小题 满分 8 分. 在平面直角坐标系xoy中，对于直线l：0axbyc和点),(),( 22211 yxPyxP i 记 1122 )().axbyc axbyc（若0，则称点 21, P P被直线l分隔。 若曲线 C 与直线 l没有公共点，且曲线C 上存在点 21 PP，被直线l分隔，则称直线l为曲线 C 的一条分隔线. 求证：点），（），（012, 1BA被直线01yx分隔； 若直线kxy是曲线14 22 yx的分隔线，求实数k的取值范
8、围； 动点 M 到点）（2,0Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为E，求证：通过 原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线 . 23.（本题满分18 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题 满分 9 分. 已知数列 n a满足 11 1 3,*,1 3 nnn aaanNa. （1）若 234 2,9aax a，求x的取值范围； （2）若 n a是公比为q等比数列， 12nn Saaa， zxxk 1 1 3,*, 3 nnn SSS nN求q的取值范围； （3）若 12 , k a aa成等差数列，且 12 1000 k aaa，
9、 求正整 数k的最大值，以及k取最大值时相应数列 12,ka aa的公差 . 上海数学（文）参考答案 一、 1. 2 2. 6 3. 2x 4. (,2 5. 2 2 6. 1 arccos3 7. 1 3 8. 51 2 9. (0,1) 10. 1 15 11.-1 12. 7 3 13. 0.2 14. 2,3 二、 15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：由题得，三棱锥PABC是正三棱锥 侧棱与底边所成角相同且底面ABC是边长为2 的正三角形 由题得， 3 ABCBCACAB， 112233 PBAPABP BCPCBP ACPCA 又,A B C三点恰好在 123 ,P P
10、 P构成的 123 PP P的三条边上 112233 3 PBAPABP BCPCBP ACPCA 112233 2PAPBP BP CPCP A 121323 4PPPPP P，三棱锥PABC是边长为 2 的正四面体 如右图所示作图，设顶点 P在底面ABC内的投影为O，连接BO，并延长交AC于D D为AC中点，O为ABC的重心，PO底面ABC 22 3 33 BOBD， 2 6 3 PO， 1 13 262 2 2 2 3 2233 V 20.解： （ 1）由题得， 248 ( )1(, 1)(1,) 2424 x xx fx 1 2 1 ( )2log 1 x fx x ，(, 1)(1,
11、)x （2） 2 ( ) 2 x x a f x a 且0a 当0a时，( )1,f xxR， 对任意的xR都有( )()f xfx，( )yf x为偶函数 当1a时， 21 ( ),0 21 x x f xx ， 2112 () 2112 xx xx fx ， 对任意的0x且xR都有( )()f xfx，( )yf x为奇函数 当0a且1a时，定义域为 2 log,x xa xR， 定义域不关于原定对称，( )yf x为非奇非偶函数 21.解： （ 1）由题得，2，且02 2 ，tantan2 即 2 40 35 1 6400 CD CD CD ，解得，20 2CD，28.28CD米 （2）
12、由题得，18038.1218.45123.43ADC， 3580 sin123.43sin18.45 AD ，43.61AD米 22 2 352 35cos38.12CDADAD，26.93CD米 22.证明：（1）由题得，2 ( 2)0，(1,2),( 1,0)AB被直线10xy分隔。 解： （2）由题得，直线ykx与曲线 22 41xy无交点 即 22 22 41 (1 4)10 xy kx ykx 无解 2 140k或 2 2 140 4(1 4)0 k k ， 11 (,) 22 k 证明： （理科）（3）由题得，设( ,)M x y， 22 (2)1xyx， 化简得，点 M 的轨迹方
13、程为 22 2 1 :(2),0E xyx x 。 当过原点的直线斜率存在时，设方程为ykx。 联立方程， 22 22 2 2 1 (2)1 (1)44 xy kxkxx x ykx 。 令 22 ( )(1)44F xkxkx， 2 1 ( )G x x ，显然( )yF x是开口朝上的二次函数 由二次函数与幂函数的图像可得，( )( )F xG x必定有解，不符合题意，舍去 当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x。 显然0x与曲线 22 2 1 :(2),0E xyx x 没有交点， 在曲线E上找两点( 1,2),(1,2)。 1 10，符合题意 综上所述，仅存在一条直线0x是E的分割线
14、。 证明： （文科）（3）由题得，设( ,)M x y， 22 (2)1xyx， 化简得，点M的轨迹方程为 22 2 1 :(2),0E xyx x 。 显然0x与曲线 22 2 1 :(2),0E xyx x 没有交点， 在曲线E上找两点( 1,2),(1,2)。 1 10，符合题意。 0x 是E的分割线。 23.解： （ 1）由题得， 2 6 3 3,6 93 3 x x x x （理科）（2）由题得， 1 1 3 3 nnn aaa，且数列 n a是等比数列， 1 1a， 11 1 3 3 nnn qqq， 1 1 1 ()0 3 (3)0 n n qq qq ， 1 ,3 3 q。 又
15、 1 1 3 3 nnn SSS，当1q时，13 3 n nn对nN恒成立，满足题意。 当1q时， 1 1 111 3 3 111 nnn qqq qqq 当 1 ,1) 3 q时， (3)2 (31)2 n n qq qq ，由单调性可得， 1 1 (3)2 (31)2 q q qq ，解得， 1 ,1) 3 q 当(1,3q时， (3)2 (31)2 n n qq qq ，由单调性可得， 1 1 (3)2 (31)2 q q qq ，解得，(1,2q （理科）（3）由题得， 1 1 3 3 nnn aaa，且数列 12 , k a aa成等差数列， 1 1a， 1 1(1) 131(1) 3 ndndnd， (21)2 (23)2 dn dn ， 2 ,2 21 d k 又 12 1000 k aaa， 22 1 ()(1)1000 2222 k dddd Skakkk 2 20002k d kk ， 2 200022 ,2 21 k kkk ，解得，32,1999k，kN k的最大值为1999，此时公差为 1 1999 d