2014年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf

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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理科） 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. i为虚数单位，则 2 ) 1 1 ( i i （） A.1B. 1C. iD. i 2. 若二项式 7 )2( x a x的展开式中 3 1 x 的系数是84，则实数a（） A.2 B. 5 4C. 1 D. 4 2 3. 设U为全集，BA,是集合，则“存在集合C使得CCBCA U ,是“BA” 的 （） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.根据如下样

2、本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5. 0 0.5 0.20. 3 得到的回归方程为abx y ? ，则（） A.0, 0 baB.0,0 baC.0, 0 baD.0. 0 ba 5.在如图所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2） ，（2,2,0） ， （1,2，1） ， （2,2,2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分 别为（） A. 和B.和C. 和D.和 6.若函数1 , 1)(),(,0)()()(),( 1 1 为区间则称满足xgxfdxxgxfxgxf上的一组正交 函数，给出三组函数： xxgxxf 2 1

3、cos)(, 2 1 sin)(；1)(,1)(xxgxxf； 2 )(,)(xxgxxf 其中为区间1 ,1的正交函数的组数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 7.由不等式 02 0 0 xy y x 确定的平面区域记为 1，不等式 2 1 yx yx ，确定的平面区域 记为 2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（ ） A. 8 1 B. 4 1 C. 4 3 D. 8 7 8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L与高h

4、，计算其体积V 的近似公式 2 1 . 36 vL h它实 际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式 2 2 75 vL h相当于将圆锥体 积公式中的近似取为（） A. 22 7 B. 25 8 C. 157 50 D. 355 113 9.已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且 12 3 F PF,则椭圆 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A. 4 3 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 10. 已知函数f （x ）是定义在R上的奇函 数，当0x时， 222 1 ()( | )|2|3) . 2 fxxaxaa若,(1)( ),xR f

5、xf x则实数a 的取值范围为 （） A. 1 1 , 6 6 B. 66 , 66 C. 1 1 , 3 3 D. 33 , 33 二、填空题：本大题共6 小题，考生共需作答5 小题，每小题5 分，共 25 分.请将答案天灾 答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11 14 题） 11.设向量 (3,3)a ， (1, 1)b ，若abab，则实数_. 12.直 线 1 l ：y=x+a和 2 l ：y=x+b将 单 位 圆 22 :1Cxy分 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 ， 则 22 ab_. 13.设a是一个各位数字都不是0 且没有重复数字

6、的三位数.将组成a的 3 个数字按从小到大 排成的三位数记为I a，按从大到小排成的三位数记为D a（例如815a，则 158I a，851D a） .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 任意输入一个a， 输出的结果 b _. 14.设xf是 定 义 在,0上 的 函 数 ， 且0xf， 对 任 意0,0 ba， 若 经 过 点 bfbafa,的直线与x轴的交点为0, c，则称c为ba,关于函数xf的平均数，记 为),(baM f ， 例如，当)0(1 xxf时，可得 2 ),( ba cbaM f ，即),(baM f 为ba, 的算术平均数 . （1）当)0_(xxf时，),(baM

7、 f 为ba,的几何平均数； （2）当当)0_(xxf时，),(baM f 为ba,的调和平均数 ba ab2 ； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） （二）选考题 15.（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，P为O的两条切线，切点分别为BA,，过PA的中点Q作割线交O于DC,两 点，若,3,1 CDQC则_PB 16.（选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线 1 C的参数方程是 3 3t y tx 为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是2，则 1 C与 2 C交点的直角坐标为_ 17、 （本小题满分11 分） 某实验室一天的温度

8、（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系； (1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？ 18（本小题满分12 分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列 . （1）求数列的通项公式 . （2）记为数列的前 n 项和，是否存在正整数n，使得若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由. 19(本小题满分 12分) 如 图 ， 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 1111 DCBAABCD中 ，NMFE,分 别 是 棱 1111,DABAADAB 的 中 点 ， 点QP,分 别 在 棱 1DD , 1BB 上 移 动 ， 且 20

9、BQDP. （1）当1时，证明：直线 1 BC平面EFPQ; （2）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出的 值；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分12 分） 计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入 流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40 以上 .其中， 不足 80 的年份有10 年，不低于80 且不超过120 的年份有35 年，超过120 的年份有5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中，至多1 年的年入流量超过12

10、0 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制， 并有如下关系； 若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 21.（满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，点 M 到点1,0F的距离比它到y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程 (2)设斜率为k 的直线l过定点2,1p， 求直线l与轨迹 C 恰好有一个公共点， 两个公共点， 三个公共点时k 的相应取值范围。 数学（理）（湖北卷）参考答案 一、选择题 （1）A

11、（2）C （3）C （4）B （5）D （6）C （7）D （ 8）B （9）A （10） B 二、填空题 （11）3（12）2 （ 13）495 （14）x；x 或 1 kx； 2 k x（15）4 （16）)1 ,3( 三、解答题 （17）解： （I ）因为 31 ( )102(cossin)102sin() 212212123 f tttt， 又 240t ，所以 3 7 3123 t，1) 312 sin(1t， 当2t时，1) 312 sin(t；当14t时，1) 312 sin(t； 于是)(tf在)24,0上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 C，最低温

12、度为8 C，最大温差为4 C （II ）依题意，当11)(tf时实验室需要降温. 由（ 1）得) 312 sin(210)(ttf， 所以11) 312 sin(210t，即 1 sin() 1232 t， 又 240t ，因此 6 11 3126 7 t，即1810t， 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. （18）解： （I ）设数列 n a的公差为d，依题意，dd42,2 ,2成等比数列， 所以)42(2)2( 2 dd，化简得 2 40dd，解得0d或4d， 当0d时，2 n a；当4d时，244)1(2nnan ， 从而得数列 n a的通项公式为2 n a或 24nan. （I

13、I ） 当2 n a时，nSn2， 显然800602nn， 不存在正整数n， 使得80060nSn. 成立 当24nan时， 2 2 2 )24(2 n nn Sn， 令800602 2 nn，即040030 2 nn， 解得40n或10n（舍去） 此时存在正整数n，使得80060nSn成立，n的最小值为41. 综上所述，当2 n a时，不存在满足题意的n； 当24nan时，不存在满足题意的n；n的最小值为41. （19）解： （I ）证明：如图1，连结 1 AD，由1111DCBAABCD是正方体，知11/ ADBC， 当1时，P是 1 DD的中点，又F是AD的中点，所以 1 / ADFP，

14、 所以FPBC / 1 ， 而FP平面EFPQ，且 1 BC平面EFPQ， 故直线/ 1 BC 平面 EFPQ. （II ）如图 2，连结BD，因为E、F分别是AB、AD的中点， 所以 BDEF / ，且BDEF 2 1 ，又BQDP，BQDP /， 所以四边形PQBD是平行四边形， 故BDPQ /，且BDPQ， 从而PQEF /，且PQEF 2 1 ， 在EBQRt和 FDPRt 中，因为DPBQ， 1DFBE ， 于是， 2 1FPEQ，所以四边形EFPQ是等腰梯形， 同理可证四边形PQMN是等腰梯形， 分别取EF、PQ、MN的中点为H、O、G，连结OH、OG， 则PQGO，PQHO，而O

15、HOGO， 故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角， 若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则 90GOH， 连结EM、FN，则由MNEF /，且MNEF，知四边形EFNM是平行四边形， 连结GH，因为H、G是EF、MN的中点，所以2MEGH， 在GOH中，4 2 GH， 2 1 ) 2 2 (1 2222 OH， 2 1 )2() 2 2 ()2(1 2222 OG， 由 222 GHOHOG得4 2 1 2 1 )2( 22 ，解得 2 2 1， 故存在 2 2 1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角. 向量法： 以D为原点，射线 1

16、 ,DDDCDA分别为zyx,轴的正半轴建立如图3 的空间直角坐标系 xyzD， 由已知得),0 ,0(),0,0 , 1(),2,2,0(),0,2 ,2( 1 PFCB， 所以)2,0 ,2( 1 BC，),0, 1(FP，)0 , 1 , 1(FE， （I ）证明：当1时，)1 ,0 , 1(FP，因为)2, 0, 2( 1 BC， 所以FPBC2 1 ，即FPBC / 1 ， 而FP平面EFPQ，且 1 BC平面EFPQ， 故直线/ 1 BC平面EFPQ. （II ）设平面EFPQ的一个法向量),(zyxn， 由 0 0 n n FP FE 可得 0 0 zx yx ，于是取)1 ,(

17、n， 同理可得平面MNPQ的一个法向量为)1 ,2,2(m， 若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角， 则0)1 ,() 1 ,2 ,2(nm， 即01)2()2(，解得 2 2 1， 故存在 2 2 1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角. （20）解： （I ）依题意，2.0 50 10 )8040( 1 XPP， 7. 0 50 35 )12080( 2 XPP，1 .0 50 5 )120( 3 XPP， 由二项分布，在未来4 年中至多有1 年入流量找过120 的概率为： 9477. 0 10 1 ) 10 9 (4) 10 9 ()1()1 ( 3

18、4 3 3 3 1 4 4 3 0 4 PPCPCP. （II ）记水电站年总利润为Y（单位：万元） 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润 5000Y ， 500015000EY . 安装 2 台发电机 . 当8040X时，一台发电机运行，此时42008005000Y， 因此2.0)8040()4200( 1 PXPyP， 当80X时，两台发电机运行，此时1000025000Y， 因此8.0)80()10000( 21 PPXPYP. 由此得Y的分布列如下： 所以884021000014200EY. 安装 3 台发电机 . 依题意

19、，当8040X时，一台发电机运行，此时340016005000Y， 因此2 .0)8040()3400( 1 PXPYP； 当12080X时，两台发电机运行，此时920080025000Y， 此时7 .0)12080()9200( 2 PXPYP， 当120X时，三台发电机运行，此时1500035000y， 因此1 .0)120()15000( 3 PXPYP， 由此得Y的分布列如下： 所以86201. 0150007. 092002 .03400EY. Y4200 10000 P0.2 0.8 Y34 9200 15000 P0.2 0.8 0.1 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应

20、安装发电机2 台. （21）解： （I ）设点),(yxM，依题意，1|xMF，即1|) 1( 22 xyx， 整理的)|(|2 2 xxy， 所以点M的轨迹C的方程为 )0( , )0(4 2 xo xx y. （II ）在点M的轨迹C中，记)0(4: 2 1 xxyC，)0(0: 2 xyC， 依题意，设直线l的方程为)2(1xky， 由方程组 xy xky 4 )2(1 2 得0)12(44 2 kyky 当0k时，此时1y，把1y代入轨迹C的方程得 4 1 x， 所以此时直线l与轨迹C恰有一个公共点) 1 , 4 1 (. 当0k时，方程的判别式为)12(16 2 kk 设直线l与x轴

21、的交点为) 0,( 0 x，则由)2(1xky，令0y，得 k k x 12 0 （i）若 0 0 0 x ，由解得1k或 2 1 k. 即当), 2 1 ()1,(k时，直线l与 1 C没有公共点，与 2 C有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰有一个公共点. （ii ）若 0 0 0 x 或 0 0 0 x ，由解得 2 1 ,1k或0 2 1 k， 即当 2 1 , 1k时，直线l与 1 C有一个共点，与 2 C有一个公共点. 当)0, 2 1 k时 ，直线l与 1 C有两个共点，与 2 C没有公共点 . 故当)0, 2 1 2 1 , 1k时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点. （i

22、ii ）若 0 0 0 x ，由解得 2 1 1k或 2 1 0k， 即当) 2 1 ,0() 2 1 1(k时，直线l与 1 C有两个共点，与 2 C有一个公共点 . 故此时直线l与轨迹C恰有三个公共点. 综上所述，当), 2 1 ()1,(k时直线l与轨迹C恰有一个公共点； 当)0, 2 1 2 1 , 1k时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点； 当) 2 1 ,0() 2 1 1(k时，故此时直线l与轨迹C恰有三个公共点. （22）解： （I ）函数)(xf的定义域为),0(，因为 x x xf ln )(，所以 2 ln1 )( x x xf， 当0)(xf，即ex0时，函数)(xf

23、单调递增； 当0)(xf，即ex时，函数)(xf单调递减； 故函数)(xf的单调增区间为),0(e，单调减区间为),(e. （II ） 因为3e，所以ln3lnee，3lnlne，即 ee ln3ln，3lnln e， 于是根据函数xyln、 x ey、 x y在定义域上单调递增， 所以 3 3 ee ， 3 3 ee， 故这 6 个数的最大数在 3 与3之中，最小数在 e 3与 3 e之中， 由3e及（ I ）的结论得)()3()(efff，即 e eln 3 3lnln ， 由 3 3lnln 得 3lnln 3 ，所以 3 3， 由 e eln 3 3ln 得 3 ln3lne e ，所

24、以 3 3e e ， 综上， 6 个数中的最大数为 3，最小数为 e 3. （III）由（ II ）知， 3 3 ee ， 3 3e e ，又由（ II ）知， e elnln ， 故只需比较 3 e与 e 和e与 3 的大小， 由（ I ）知，当ex0时， e efxf 1 )()(，即 ex x1ln ， 在上式中，令 2 e x，又e e 2 ，则 ee 2 ln，即得 e 2ln 由得，3024.3)88.02(7.2) 1 .3 71.2 2(7. 2)2(ln e ee， 即3lne，亦即 3 lnlne e ，所以 e e 3 ， 又由得， e e 6 3 6ln3，即ln3，所以 3 e， 综上所述， 33 33 ee ee ，即 6 个数从小到大的顺序为 e 3， 3 e， e ，e， 3 ，3.