《2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第4节离散型随机变量及其分布列教学案含解析理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第4节离散型随机变量及其分布列教学案含解析理.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四节离散型随机变量及其分布列 考纲传真 1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于 刻画随机现象的重要性.2. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y， ，表示 (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量 2离散型随机变量分布列的概念及性质 (1) 概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值 xi(i1,2 ，n)的概率P(Xxi) pi，以表格的形式表示如下： X x1x2xixn P p1p2pipn 此表称为离散型随机变量
2、X的概率分布列，简称为X的分布列有时也用等式P(Xxi) pi，i1,2 ，n表示X的分布列 (2) 分布列的性质 pi 0，i1,2,3 ，n； 1. 3常见离散型随机变量的分布列 (1) 两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中pP(X1) 称为成功概率 (2) 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X k) k0,1,2 ，m，其中mminM，n ，且nN，MN，n，M，NN * ，称随 机变量X服从超几何分布 X 01m P C 0 MC n0 N M C n N C 1 MC n1 N M C n N C m MC n m N M C
3、 n N 基础自测 1( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误( 正确的打“”，错误的打“”) (1) 离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1. ( ) (2) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) (3) 如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布( ) X 25 P 0.30.7 (4) 从 4 名男演员和3 名女演员中选出4 人， 其中女演员的人数X服从超几何分布 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X4 表示的事件是( ) A一颗是3 点，一颗是1 点 B两颗都是2 点 C甲是 3 点，乙是 1 点或
4、甲是1 点，乙是3 点或两颗都是2 点 D以上答案都不对 C 甲是 3 点，乙是1 点与甲是1 点，乙是 3 点是试验的两个不同结果，故选C. 3设随机变量X的分布列如下： X 12345 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则p为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 12 C 由分布列的性质知， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， p1 3 4 1 4. 4设随机变量X等可能取值1,2,3 ，n，如果P(X4) 0.3 ，那么n_. 10 由于随机变量X等可能取1,2,3 ，n， 取到每个数的概率均为 1 n， P(X4) P(X 1) P(X2) P(X3)
5、 3 n0.3 ， n 10. 5在含有3 件次品的10 件产品中任取4 件，则取到次品数X的分布列为 _ P(Xk) C k 3C 4k 7 C 4 10 ，k0,1,2,3 由题意知，X服从超几何分布，其中N10，M3，n 4，所以分布列为P(Xk) C k 3C 4k 7 C 4 10 ，k 0,1,2,3. 离散型随机变量的分布列的性质 1随机变量X的分布列如下： X 101 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X| 1) _. 2 3 由题意知 2bac， abc1， 所以 2bb1，则b 1 3，因此 ac 2 3. 所以P(|X| 1) P(X 1) P(X1) a
6、c 2 3. 2设随机变量X的分布列为P Xk 5 ak(k1,2,3,4,5) (1) 求a； (2) 求 P X 3 5 ； (3) 求P 1 10 X 7 10 . 解(1) 由分布列的性质，得 P X 1 5 P X 2 5 P X 3 5 P X 4 5 P(X1) a2a 3a4a5a1， 所以a 1 15. (2)P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 1 154 1 155 1 15 4 5. (3)P 1 10 X 7 10 P X 1 5 P X 2 5 P X 3 5 1 15 2 15 3 15 6 15 2 5. 规律方法 利用分布列中各概率之和为1
7、 可求参数的值， 此时要注意检验，以保 证每个概率值均为非负数. 求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列， 将所求范围内各随机变量对应的 概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 求离散型随机变量的分布列 【例 1】已知 2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机 检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或检测出3 件正品时检测结束 (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2) 已知每检测一件产品需要费用100 元，设X表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件 正品时所需要的检测费用( 单位：元 ) ，求X的分布列 解(1) 记
8、“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A) A 1 2A 1 3 A 2 5 3 10. (2)X的可能取值为200,300,400. P(X200) A 2 2 A 2 5 1 10， P(X300) A 3 3C 1 2C 1 3A 2 2 A 3 5 3 10， P(X400) 1P(X200) P(X 300) 1 1 10 3 10 6 10 3 5. 故X的分布列为 X 200300400 P 1 10 3 10 3 5 规律方法 求离散型随机变量分布列的步骤 找出随机变量X的所有可能取值xii1，2，3，n； 求出各取值的概率PXxipi； 列成表格并用分布
9、列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒： 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时， 要注意应用计数原理、古典概型等知识. 一个盒子里装有7 张卡片，其中有红色卡片4 张，编号分别为1,2,3,4；白 色卡片3 张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4 张卡片 ( 假设取到任何一张卡片的可能性相 同) (1) 求取出的4 张卡片中，含有编号为3 的卡片的概率； (2) 在取出的4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列 解(1) 由题意知，在7 张卡片中，编号为3 的卡片有2 张，故所求概率为P1C 4 5 C 4 7 1 5
10、35 6 7. (2) 由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且 P(X1) C 3 3 C 4 7 1 35， P(X2) C 3 4 C 4 7 4 35， P(X3) C 3 5 C 4 7 2 7， P(X4) C 3 6 C 4 7 4 7. 所以随机变量X的分布列是 X 1234 P 1 35 4 35 2 7 4 7 超几何分布 【例 2】PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5 微米的可入肺 颗粒物根据现行国家标准GB3095 2012，PM2.5 日均值在35 微克 / 立方米以下空气质量为 一级； 在 35 微克 / 立方米 75 微克 / 立方米
11、之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方米以上空气 质量为超标 从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10 天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示： PM2.5 日均 值( 微克 / 立方米 ) 25 ， 35) 35 ， 45) 45 ， 55) 55 ， 65) 65 ， 75) 75 ， 85 频数311113 (1) 从这 10 天的PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出3 天，求恰有一天空气质量达到一 级的概率； (2) 从这 10 天的数据中任取3 天数据， 记 表示抽到PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分布列 解(1) 记“从 10 天的PM
12、2.5 日均值监测数据中，随机抽出3 天，恰有一天空气质量 达到一级”为事件A，则P(A) C 1 3C 2 7 C 3 10 21 40. (2) 依据条件知， 服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量 的可能 取值为 0,1,2,3. P( k) C k 3C 3k 7 C 3 10 (k0,1,2,3) P( 0) C 0 3C 3 7 C 3 10 7 24， P( 1) C 1 3C 2 7 C 3 10 21 40， P( 2) C 2 3C 1 7 C 3 10 7 40， P( 3) C 3 3C 0 7 C 3 10 1 120. 故 的分布列为 0123 P 7
13、24 21 40 7 40 1 120 规律方法 求超几何分布的分布列的步骤 某外语学校的一个社团中有7 名同学， 其中 2 人只会法语， 2 人只会英语， 3 人既会法语又会英语，现选派3 人到法国的学校交流访问求： (1) 在选派的3 人中恰有2 人会法语的概率； (2) 在选派的3 人中既会法语又会英语的人数X的分布列 解(1) 设事件A：选派的3 人中恰有 2 人会法语，则P(A) C 2 5C 1 2 C 3 7 4 7. (2) 依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3， P(X0) C 3 4 C 3 7 4 35， P(X1) C 2 4C 1 3 C 3 7 18 35， P(X2) C 1 4C 2 3 C 3 7 12 35， P(X3) C 3 3 C 3 7 1 35， X的分布列为 X 0123 P 4 35 18 35 12 35 1 35