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1、学习必备欢迎下载 一元二次函数知识点汇总 1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,( 2 是常数，)0a，那么y叫做x的一元二次函数. 2. 二次函数 2 axy的性质 (1) 抛物线 2 axy）（0a 的顶点是原点，对称轴是y轴. (2) 函数 2 axy的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点 3. 二次函数cbxaxy 2 的图像是对称轴平行于( 包括重合 )y轴的抛物线 . 4. 二次函数 cbxaxy 2 用配方法可化成： khxay 2 的形式，其中 a bac k a b h 4 4 2 2 ， . 5. 抛物线cb
2、xaxy 2 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向： 当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。 对称轴为平行于y轴( 或重合 ) 的直线，记作hx. 特别地，y轴记作直线0x. 定点是抛物线的最值点 最大值 (0a时) 或最小值 (0a时) ，坐标为 (h,k)。 6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1) 公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ，顶点是），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直线 a b x 2 . (2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay
3、 2 的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 7. 抛物线cbxaxy 2 中，cba,的作用 (1)a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的a完全一样 . (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 , 故： 0b时，对称轴为 y轴； 0 a b 时, 对称轴在y轴左侧； 0 a b 时, 对称轴
4、在 y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置 . 当0x时，cy，抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点(0，c) ： 0c ，抛物线经过原点; 0c , 与y轴交于正半轴； 0c , 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0 a b . 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 2 axy；kaxy 2 ； 2 hxay；khxay 2 ；cbxaxy 2 . 图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0x(y轴) (0,0) kax
5、y 2 0x(y轴) (0, k) 2 hxayhx(h,0) khxay 2 hx(h,k) cbxaxy 2 a b x 2 ( a bac a b 4 4 2 2 ，) 学习必备欢迎下载 9. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy 2 . 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：khxay 2 . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay. 10. 直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为
6、 (c,0) (2) 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy 2 有且只有一个交点(h,cbhah 2 ). (3) 抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy 2 的图像与x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方程 0 2 cbxax的两个实数根 .抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点( 顶点在x轴上 )0抛物线与x轴相切； 没有交点0抛物线与x轴相离 . (4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3) 一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
7、坐标 为k，则横坐标是kcbxax 2 的两个实数根. 而根的存在情况仍如(3) 一样由根的判别式判定。 (5) 一次函数0knkxy的图像l与二次函数0 2 acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . (6) 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为00 21 ，xBxA，由于 1 x、 2 x是方程0 2 cbxax的两个根，故由韦达定理知： a c xx a b xx 2121 , aa acb a c
8、 a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 11二次函数与一元二次方程的关系： (1) 一元二次方程cbxax 2 0就是二次函数cbxaxy 2 当函数 y 的值为 0 时的情况 (2) 二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点； 当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴有交点时， 交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即 一元二次方程0 2 cbxax的根 (3) 当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy 2 有两个不 相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数c
9、bxaxy 2 的 图 象 与x轴 有 一 个 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程 0 2 cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴没有交点时， 则一元 二次方程0 2 cbxax没有实数根 12. 二次函数的应用： (1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小) 值。一般而言，最大( 小 ) 值 会在顶点处取得，达到最大( 小) 值时的x即为顶点横坐标值，最大 ( 小) 值也就是顶点纵坐标值。 (2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小) 值 学习必备欢迎下载