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1、精品资料欢迎下载 一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1. 定义 ：一般地，如果)0,( 2 acbacbxaxy都是常数，,那么的二次函数是xy 2.二 次 函 数cbxaxy 2 ()0a配 方 得 ：khxay 2 的 形 式 ， 其 中 a bac k a b h 4 4 , 2 2 3. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向： (1) 当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大， 当 a b x 2 ,y值最小，最小值为 a bac 4 4 2 (2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随 x 的
2、增大而减小，当 a b x 2 ,y值最大，最大值为 a bac 4 4 2 (3)a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y 轴（或重合）的直线记作. 特别地， y 轴记作直线. 4. 顶点决定抛物线的位置: 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 ) 2 ( 2 22 ， 顶点是) 4 4 , 2 ( 2 a bac a b ，对称轴是直线 a b x 2 . （2） 配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay
3、2 )(的形式，得到顶点为),(kh， 对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性 进行验证，才能做到万无一失. 6. 抛物线的作用中，cbacbxaxy, 2 （1）决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的完全一样 . 精品资料欢迎下载 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置: 由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ， 故： 时，对称轴为轴 a b 0（即、同号）时，对称轴在轴左侧 0 a b （即、异号）时，对称轴在
4、y轴右侧 . （3）的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置. 当yx时，0c，抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，） ： ，抛物线经过原点; , 与轴交于正半轴；, 与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在轴右侧，则0 a b . 7. 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy 2 . 已知图像上三点或三对yx,的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay 2 . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标 21,x x，通常选用交点式：)( 21 xxxxay. 8.
5、直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为),0(c. （2）与轴平行的直线与抛物线cbxaxy 2 有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 : 二次函数cbxaxy 2 的图像与轴的两个交点的横坐标 21,x x，是 对应一元二次方程的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元 二次方程的根的 判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离 . （4）平行于轴的直线与抛物线的交点： 同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标
6、为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数)0(knkxy的图像 l与二次函数cbxaxy 2 )0(a的图像G的交点， 由方程组 精品资料欢迎下载 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点 ; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点 . （6） 抛物线与轴两交点之间的距离： 若抛物线cbxaxy 2 与轴两交点为)0,(),0 ,( 21 xBxA， 由于 21,x x是方程0 2 cbxax的两个根，故 a c xx a b xx 2121 , 经典例题： 【例 1】 二次函数cbxaxy 2 的图像如图所示， 那么abc、acb4 2 、ba2、cba24
7、 这四个代数式中，值为正的有（） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 21 世纪教育网 解析： a b x 2 1 ba20 答案： A 评注： 由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点 位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定acb4 2 的符号，若x轴标出了1 和 1，则结 合函数值可判定ba2、cba、cba的符号。 【例 2】已知0cba，a 0，把抛物线cbxaxy 2 向下平移1 个单位，再向左平 移 5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0） ，求原抛物线的解析式。 分析： 由0cba可知： 原抛物线的图像经过点（ 1，0）
8、；新抛物线向右平移5 个单位， 再向上平移1 个单位即得原抛物线。 解：可设新抛物线的解析式为 2 )2(xay，则原抛物线的解析式为1)52( 2 xay， 又易知原抛物线过点（1，0） 1)521(0 2 a，解得 4 1 a 原抛物线的解析式为：1)3( 4 1 2 xy 评注：解这 类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系， 并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋 转 180 0） ，此时顶点坐标不变，只是 a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a 反号；两抛物线关于y轴对称
9、，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新： 21 世纪教育网 y x 例 1 图 -11O 精品资料欢迎下载 【问题】已知，抛物线 22 )1(ttxay（a、t是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所 示，抛物线12 2 xxy的顶点是B。 （ 1）判断点A是否在抛物线12 2 xxy上，为什么？ （ 2）如果抛物线 22 )1(ttxay经过点 B，求a的值； 这条抛物线与x轴的两个交点 和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 y x 问题图 OB 解析： （1）抛物线 22 )1(ttxay的顶点A（1t， 2 t） ，而 1tx当时， 222 )11()1(1
10、2xxxxy 2 t， 所以点 A在抛物线12 2 xxy上。 （ 2 ） 顶 点B（ 1 ， 0 ），0) 11 ( 22 tta， 0t， 1a； 设 抛 物 线 22 )1(ttxay与x轴的另一交点为C，B （1，0） ，C （12t，0） ，由抛物线的对称性可知， ABC为等腰直角三角形， 过 A作 AD x轴于 D， 则 ADBD 。 当点 C在点 B的左边时，)1(1 2 tt， 解得1t或0t（舍） ； 当点 C在点 B的右边时，1)1( 2 tt， 解得1t或0t（舍）。 故1t。 评注：若抛物线的顶点与x轴两交 点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形， 常用其“
11、斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 针对练习： 一填空题 1. 把抛物线 2 2 1 xy向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物 线 . 2. 函数xxy 2 2图象的对称轴是，最大值是 . 3. 正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y，那么 y 与 x 之间的函数关系是 . 4. 二次函数682 2 xxy，通过配方化为khxay 2 )(的形为 . 5. 二次函数caxy 2 （c 不为零），当 x 取 x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则x1与 x2的关系 是 . 6. 抛物线cbxaxy 2 当 b=0 时，对称轴是，当 a， b 同号
12、时，对称轴在y 轴 精品资料欢迎下载 侧，当 a，b 异号时，对称轴在y 轴侧. 7. 抛物线3) 1(2 2 xy开口，对称轴是，顶点坐标是 .如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 . 8. 若 a 0，则函数52 2 axxy图象的顶点在第象限；当 x 4 a 时，函数值随x 的 增大而 . 9. 二次函数cbxaxy 2 （a 0）当 a 0 时，图象的开口a 0 时，图象的开口，顶 点坐是 . 10. 抛物线 2 )( 2 1 hxy，开口，顶点坐标是，对称是 . 11. 二次函数)()(3 2 xy的图象的顶点坐标是（1，-2） . 12. 已知 2) 1( 3 1
13、2 xy，当 x 时，函数值随x 的增大而减小. 13. 已知直线12xy与抛物线kxy 2 5交点的横坐标为2，则 k= ，交点坐标 为 . 14. 用配方法将二次函数xxy 3 2 2 化成khxay 2 )(的形式是 . 15. 如果二次函数mxxy6 2 的最小值是1，那么 m的值是 . 二、选择题： 16. 在抛物线132 2 xxy上的点是（） A. （ 0，-1） B. 0, 2 1 C.（-1 ，5） D.（3， 4） 17. 直线2 2 5 xy与抛物线xxy 2 12 的交点个数是（） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个 18. 关于抛物线cbxaxy 2 （
14、a0） ，下面几点结论中，正确的有（） 当 a 0 时，对称轴左边y 随 x 的增大而减小，对称轴右边y 随 x 的增大而增大，当a 0时， 情况相反 . 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程0 2 cbxax（a0）的根，就是抛物线cbxaxy 2 与 x 轴 交点的 横坐标 . 精品资料欢迎下载 A. B. C. D. 19. 二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3 20. 图象的顶点为(-2 ，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（）
15、A.y= 1 2 (x+2 ) 2 -2 B.y= 1 2 (x-2 ) 2 -2 C. y = 2(x+2 ) 2 -2 D. y= 2(x-2 ) 2 -2 21. 若抛物线cbxaxy 2 的对称轴是,2x则 b a （） A.2 B. 2 1 C.4 D. 4 1 22. 若函数 x a y的图象经过点（1， -2 ） ，那么抛物线3)1( 2 axaaxy的性质说得全对的 是（） A.开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B.开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C.开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D.开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象
16、与负半y 轴相交 23. 二次函数cbxxy 2 中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1 ，1） 24. 函数 2 axy与 x a y（a 0）在同一直角坐标系中的大致图象是（） 25. 如图，抛物线cbxxy 2 与 y 轴交于 A点，与 x 轴正半轴交于B，C两点，且 BC=3 ，SABC=6， 则 b的值是（） A.b=5 B.b=-5 C.b= 5 D.b=4 精品资料欢迎下载 26. 二次函数 2 axy（a 0） ，若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是（） A X取任何实数 B.x0 C.x0 D
17、.x0 或 x 0 27. 抛物线4)3(2 2 xy向左平移 1 个单位，向下平移两个单位后的解析式为（） A.6)4(2 2 xy B.2)4(2 2 xy C.2)2(2 2 xy D.2)3(3 2 xy 28. 二次函数 22 9kykxxy（k 0）图象的顶点在（） A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上 29. 四个函数： x yxyxy 1 , 1,（x 0） ， 2 xy（x 0） ， 其中图象经过原点的函数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 30. 不论 x 为值何，函数cbxaxy 2 （a0）的值永远小于0 的条件是（） A.a0， 0 B.a0, 0 C a 0, 0 D.a0, 0