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1、学习必备欢迎下载 第六章三角函数 1了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余 弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、 余弦、正切 2掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及 运用 3能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明 4掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正 弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“ 五点法 ” 画出正弦函数、余弦函数和)(sinxAy的简图，理解、A、的物理
2、意义 5会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx 表示角 6掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形 的计算问题 三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点： 1降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查尤其是三角 函数的最大值与最小值、周期 2以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其 次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综 合题等 知识网络 考纲导读 高考导航 任意角的三角函数 三 角
3、函 数 两角和与差的三角函数 三角函数的图象和性质 角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 同角三角函数基本关系 诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切 二倍角的正弦、余弦、正切 ysinx, ycosx 的图象和性质 ytanx 的图象和性质 yAsin(x)的图象 已知三角函数值求角 学习必备欢迎下载 3更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体 几何、平面解析几何中考查三角函数的知识 任意角的三角函数 一、 角的概念的推广 1与角终边相同的角的集合为 2与角终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在 x 轴上的角的集合
4、为，终边在 y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上 的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1 弧度的角，它将任 意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系 7弧度与角度互化：180o弧度， 1o弧度， 1 弧度o 8弧长公式：l ； 扇形面积公式：S. 二、 任意角的三角函数 9 定义：设 P(x, y)是角终边上任意一点， 且 |PO| r， 则 sin； cos； tan； 10三角函数的符号与角所在象限的关系： 12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域： 解析式ysinx ycosx ytanx 定义域 值域 13三
5、角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线 + cosx, sinx, tanx, x y O x y O x y O x y O 基础过关 学习必备欢迎下载 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1同角公式： (1) 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan2 ，1cot 2 (2) 商数关系： tan ，cot (3) 倒数关系： tan 1，sin 1， cot 1 2诱导公式： 2 2k sin cos 222 3 2 3 sin cos 规律：奇变偶不变，符号看象限 3同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式
6、；证明 同角的三角恒等式 4诱导公式的作用： 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0 90o角的三角函数值 两角和与差的三角函数 1两角和的余弦公式的推导方法： 2基本公式 sin( )sin cos cos sin cos( ); tan( ). 3公式的变式 tan tan tan ( )(1 tan tan ) 1tan tan )tan( tantan 4常见的角的变换： 2( ) ( )； 2 2 ( ) ( ) 2 ( 2 )( 2 )； ) 4 () 4 (xx 2 二倍角的正弦、余弦、正切 1基本公式： sin2 ； 学习必备欢迎下载 cos2 ； tan2 . 2公式的变
7、用： 1cos2 ； 1cos2 三角函数的化简和求值 1三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少； 尽可能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值 2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次 3求值问题的基本类型及方法 “ 给角求值 ” 一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的 关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解 “ 给值求值 ” 即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题 关键在于：变角，使其角相同； “ 给值求角 ” 关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数
8、值结 合该函数的单调区间求得角 4反三角函数arcsin、 arccos 、arctan分别表示 2 , 2 、0， 、 （ 2 , 2 ）的角 三角函数的恒等变形 一、 三角恒等式的证明 1三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差 异、函数名称的差异等） 2证三角恒等式的基本思路是“ 消去差异，促成同一” ，即通过观察、分析，找出等式两边 在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一 3证明三角恒等式的基本方法有：化繁为简；左右归一；变更问题 二、 三角条件等式的证明 1三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化
9、过程确保 充分性成立 2三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在 联系，其常用的方法有： 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参 数达到证明等式的方法 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之 三角函数的图象与性质 1用“ 五点法 ” 作正弦、余弦函数的图象 “ 五点法 ” 作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的 学习必备欢迎下载 点，点及 “ 平衡点 ” 由这五个点大致确
10、定函数的位置与形状 2ysinx，ycosx，y tanx 的图象 函 数 ysinx y cosx ytanx 图 象 注：正弦函数的对称中心为，对称轴为 余弦函数的对称中心为，对称轴为 正切函数的对称中心为 3“五点法 ” 作 yAsin( x)( 0)的图象 令 xx 转化为 y sinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象 函数 yAsin( x)的图象与函数ysinx 的图象关系 振幅变换： yAsinx(A0 ，A1)的图象，可以看做是ysinx 的图象上所有点的纵坐标 都，(A1) 或(00，1) 的图象，可以看做是把ysinx 的图象上各点的横坐标 ( 1) 或(00)的周
11、期为 相位变换：ysin(x )(0) 的图象，可以看做是把ysinx 的图象上各点向(0) 或向(0)或向右 (0)或向右 (0 ，0) 若 A3， 2 1 ， 3 ，作出函数在一个周期内的简图 若 y 表示一个振动量，其振动频率是 2 ，当 x 24 时，相位是 3 ，求 和 例 23 已知函数y=3sin ) 42 1 (x （1）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的； （2）求此函数的振幅、周期和初相； （3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 例 24如图为 y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式. 例 25设关于 x 的方程 cos2x3sin2xk1
12、在0， 2 内有两不同根 ， ，求 的值 及 k 的取值范围 学习必备欢迎下载 例 26. 化简 f (x) cos(x k 2 3 16 )cos(x k 2 3 16 )23sin( 3 2x)(x R，kZ)并求 f (x) 的值域和最小正周期 例 27 已知函数f (x) x x 2cos1 sin2 求 f (x) 的定义域用定义判断f (x) 的奇偶性 在 ， 上作出函数f (x) 的图象 指出 f (x) 的最小正周期及单调递增区间 例 28 设函数) 10(cos3sin)(aaxaxxf，) 10() 6 tan()(mmxxg，已知 f(x) 、g(x) 的最 小正周期相同
13、，且2g(1)f(1) ； （1）试确定f(x) 、g(x)的解的式； （2）求函数f(x) 的单调递增区间 例 29 已知函数yacosxb 的最大值为1，最小值是 3，试确定)(xfb sin(ax 3 )的单 调区间 例 30. 求下列函数的最值 y x xx cos1 sin2sin ； y2 cos( 3 x)2cosx； x x y cos3 sin1 例 31. 试求函数ysinxcosx2sinxcosx2 的最大值与最小值，又若 2 ,0x呢？ 学习必备欢迎下载 例 32. 已知 sinxsiny 3 1 ，求 sinycos2x 的最大值 变式训练： 在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 b2ac，求 y BB B cossin 2sin1 的取值范围 例 33设 a0 ，若 ycos2xasinxb 的最大值为 0，最小值为 4，试求 a 与 b 的值，并求 出使 y 取得最大、最小值时的x 值 变式训练： 设函数axxxxfcossincos3)( 2 （其中 0 ，aR） ，且 f(x) 的图象在y 轴 右侧的第一个最高点的横坐标为 6 （1）求 的值； （2）如果)( xf在区间 6 5 , 3 x 的最小值为3，求 a 的值