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1、学习必备欢迎下载 三角函数恒等变形及解三角形练习题 一 选择题 1.若(,), 2 且cos2sin() 4 ，则 sin2的值为（） A. 1 2 B. 1 2 C.1 D. 1 2. 若 13 0,0,cos(),cos(), 2243423 则cos() 2 （） A. 3 3 B 3 3 C. 5 3 9 D 6 9 3. 在ABC 中,15,10,60abA,则cosB等于( ) A. 2 2 3 B. 2 2 3 C. 6 3 D. 6 3 4.在ABC 中，45,2 Aa，若此三角形有两解，则b 的范围为（） A222b Bb 2 Cb2 D 2 2 1 b 5. 如果把直角三角
2、形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为 （） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定 6.若ABC的三个内角 A,B,C 满足 6sin4sin3sinABC,则ABC () A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形 , 也可能是钝角三角形 7在ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，若 a 2b22c2，则 cos C 的最小值为 () A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D 1 2 8.设函数( )lnfxx的定义域为(,)M，且0M，且对任意, ,(,),a b cM若 ,
3、,a b c是直角三角形的三边长， 且( ),( ),( )f af bf c也能成为三角形的三边长， 则M的 最小值为( ) A.2B.2 2C.3 2D.2 二 填空题 9.在ABC中,内角,A B C 所对边的长分别为, , ,a b c2sin(23 )sin(23 )sin,aAbcBcbC则 角A的大小为 10. 在ABC中，若acBbca3tan 222 ，则角 B= 11. 已知 cos 1 7，sin( ) 53 14 ，0 2 ，0 2，则 cos = 12.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，b2，sinB cosB2，则角 A 的大小为
4、 三 解答题 13.在ABC 中，内角,A B C所对的边分别是, ,a b c. 已 知3a， 6 cos 3 A， 2 BA. （1）求 b的值； （2）求ABC的面积 . 14.已知向量(sin, 1)mx，向量 1 ( 3 cos ,) 2 nx，函数( )()f xmnm. (1) 求( )f x的最小正周期T； (2) 已知 a，b ，c分别为ABC内角A，B，C 的对边，A为锐角，2 3a=，4c =， 且()f A恰是( )f x在 2 ,0 上的最大值，求A， b 和ABC的面积 S . 学习必备欢迎下载 15. 在锐角三角形 ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C的对边
5、， 且32 sin0acA. ( ) 求角 C 的大小； () 若2,abc求的最大值 16. 已知nmxf，其中xxxmcos3,cossin，xxxnsin2,sincos，且 0，若xf相邻两对称轴间的距离不小于 2 。 （1）求的取值范围 . （2）在ABC中，a、 b、c分别是角A、B、 C 的对边，3a，3cb， 当最大时，1Af, 求ABC的面积. 17. 已 知ABC 的 角ABC、 、所 对 的 边 分 别 是abc、 、， 设 向 量(,)ma b， (sin,cos)nAB，(1,1)p. （I）若 m n，求角 B 的大小； （II）若4m p ，边长 2c，求ABC的
6、面积的最大值 18.已知函数( )sin2 cosf xmxx, (0)m 的最大值为 2 （）求函数 ( )f x 在 0, 上的值域； ( )已知ABC外接圆半径3R， ()()46sinsin 44 f Af BAB，角,A B所 对的边分别是,a b，求 ba 11 的值 19.在ABC中， sinsin2sinsin sin()sinsin ABAC ABAB （1）求角 B （2）若 4 tan 3 A，求sinC的值 20. 已知向量 a= （cos,sinxx） ， b = （cos x, 3 cosx） ,0 ,函数 2 1 )(baxf ， 其最小正周期为. （1）求函数(
7、 )f x的表达式及单调递增区间； （2）在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边， S为其面积，若() 2 A f=1， b=l，SABC=3，求 a 的值 学习必备欢迎下载 答案 1. A 2. C3. D 4. A 在 ABC 中， a=2 ，A=45 ，且此三角形有两解， 由正弦定理 sinsin ab AB =22， b=22sinA ，B+C=180-45 =135 ， 由 B 有两个值，得到这两个值互补， 若 B45 ，则和 B 互补的角大于等于135 ，这样 A+B 180 ，不成立； 45 B135 ，又若 B=90 ，这样补角也是90 ，一解， 2 2 si
8、nB 1，b=22sinB ，则 2 b22，故选： A 5. A 解析：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、 c，且 c 2=a2+b2，c 为最大边； 新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，其对应角最大 而（ a+x） 2+（b+x）2- （c+x）2=x2+2（a+b-c ）x0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 222 0 2 axbxcx axbx 则为锐角，那么它 为锐角三角形故选A 6. C 7. C 8.A 解 析 ： 不 妨 设c为 斜 边 ， 则,Mac Mbc， 2 abM由 题 意 可 得 222 a l nlnl n bc
9、abc 222 abc abc 22 a22babc 2 2cc即2c 2 2,2abM即2M所以选 A. 9. 150 10. 3 或 2 3 . 11. 1/2 解析：0 2且 cos 1 7cos 3 1 2， 3 2，又 0 2， 3 ，又 sin( ) 53 14 3 2 ， 2 3 . cos( )1sin2 11 14， sin 1cos 2 4 3 7 .cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 1 2. 12. 6 解析 ：由 sinBcosB2得 12sinBcosB2，即 sin2B1，因为0B，所以B 4 . 又因为a2，b2，所以在ABC中，由正弦
10、定理得 2 sinA 2 sin 4 ，解得 sinA 1 2 . 又ab， 所以AB 4 ，所以A 6 . 13.（1）3 2b =； （2） 3 2 2 14. (1)；(2) 3 A，2b，2 3S 解析 ：(1) 2 1 ( )()sin13sincos 2 f xmnmxxx 1cos231 1sin 2 222 x x 31 sin 2cos22 22 xxsin(2)2 6 x 因为2，所以 2 2 T (2) 由(1) 知：()sin(2)2 6 f AA当0, 2 x时, 5 2 666 x 由正弦函数图象可知, 当2 62 x时( )f x取得最大值3。 所以2 62 A,
11、 3 A 由余弦定理， 222 2cosabcbcA 21 121624 2 bb2b 从而 11 sin24sin 602 3 22 SbcA 15.( ) 3 ( )4 ( ) 由3a 2csin A 0 及正弦定理，得3sin A2sin Csin A 0(sinA0)， sin C 3 2 ， ABC是锐角三角形， C 3 ( ) c 2，C 3 ，由余弦定理，a 2b2 2abcos 3 4，即 a 2b2ab 4 (a b) 243ab43 ab 2 2，即 (ab)216， ab4，当且仅当ab2 取“”故ab 的最大值是4. 学习必备欢迎下载 16.（ 1）10（2） 3 2
12、xxxxxxxfcossin32sincoscossin xx2cos2sin3 6 2sin2x 对称轴为 26 2kx，zk 62 k xzk （1）由T得 2 2 得10 （2）由（ 1）知1 6 2sin2xxf 1Af1 6 2sin2A,0A 3 A 由 bc acb A 2 cos 222 得 1923 2 22 bc bc bc 2 3 sin 2 1 AbcSABC 17. 解析： （1）mn cossinaBbA 2sincos2sinsinRABRBA， cossin ,tan1.0, 4 BBBBB （2）由4m p得 4ba ， 由均值不等式有 2 ()4 2 ab
13、ab（当且仅当2ab时等号成立） ， 又 22222 22 3131 ()() 41 24222 cos 22222 ab ababababab ab C abababab , 所以(0, 3 C, 从而 3 sin(0, 2 C（当且仅当2ab时等号成立） ， 于是 113 sin43 222 ABC SabC， 即当2ab时，ABC的面积有最大值3 18. (1) 2,2 (2) 2 11 ba 解析：（1）由题意，( )f x 的最大值为 2 2m ，所以 2 2=2m 而0m，于是 2m ， ( )2sin() 4 f xx 在 4 ,0 上递增在 4 ， 递减， 所以函数( )f x
14、 在 0， 上的值域为2,2； （2）化简 ()()4 6sinsin 44 f Af BAB得 sinsin2 6sinsinABA B 由正弦定理，得22 6R abab ，因为 ABC的外接圆半径为 3R 2abab 所以2 11 ba 19.（1） 4 B；（2） 7 2 10 20. (1)sin 2 6 fxx ，单调递增区间为, 33 kkkZ ； (2) 13a. 解析 ：(1) 因为 2 11 cos3 sincossin2 226 fxa bxxxx ，因为 最 小 正 周 期 为， 所 以 2 2 ， 得1， 所 以s i n2 6 fxx ， 由 222 262 kxk,得 33 kxk， 所 以 函 数的 单 调 递增 区 间 为 , 33 kkkZ ； (2)因 为 7 s i n1 , 26666 A fAA ， 所 以, 623 AA， 则 113 s i n13 222 b cAc，得 c=4，所以1162 1 4cos13 3 a.