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1、学习必备欢迎下载 第三章三角函数 3.1 任意角三角函数 一、知识导学 1角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、 终边 .角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值 r l ，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径 .规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3弧度与角度的换算：rad2360 ；rad1745.0 180 1；130.57 180 rad.用弧度为单位表示角的 大小时，弧度（rad）可以省
2、略不写.度不可省略 . 4弧长公式、扇形面积公式：, rl 2 | 2 1 2 1 rlrS 扇形 ,其中l为弧长，r为圆的半径 .圆的周长、面积公式是 弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形 . 5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P 的坐标是yx,，它与原点的距离是 )0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 y r x r y x x y r x r y csc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数. 6三角函数的定义域 三角函数定义域 xysinR xycos R xytanZkkxx, 2 xycotZkkxx,
3、xysec Zkkxx, 2 xycsc Zkkxx, 7三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为 正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 学习必备欢迎下载 1在直角坐标系内讨论角 （1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第 几象限） .它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边 落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与角终边相同的角的集合表示. Zkk,360 ，其中为任意角 .终边相同的角不一
4、定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差360 整数倍 . 2值得注意的几种范围角的表示法 “0 90 间的角”指900； “第一象限角”可表示为Zkkk,90360360； “小于 90 的 角”可表示为 90. 3在弧度的定义中 r l 与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键. 当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个 为 0. 5根据三角函数的定义可知： （1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk 的 同名三角函数值相等； （ 2）ryrx,，故有1sin, 1cos，这
5、是三角函数中最基本的一组不等关系. 6在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论. 因此，在解答此 类问题时要注意： （1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式 有哪些？ 三、经典例题导讲 例 1若 A、B、C是 ABC的三个内角，且) 2 (C CBA，则下列结论中正确的个数是（） .CAsinsin.CAcotcot.CAtantan.CAcoscos A1 B.2 C.3 D.4 正解 ：法 1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin, 法 2 考虑特殊情形，A为锐角， C为钝角，故排除B
6、、C、D，所以选A . 例 2 已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为. 正解 ：,角的终边关于y轴对称 )( , 22 Zkk 即)(,2zkk 说明 ： （1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk （2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk （3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)( ,Zkk 例 4 已知角的终边经过)0)(3,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值 . 正解 ：若 0a ，则 ar5 ，且角在第二象限 学习必备欢迎下载 3 4 3 4 cot, 4 3 4 3 tan, 5 4 5 4 cos, 5 3 5
7、3 sin a a a a a a a a 若 0a ，则 ar5 ，且角在第四象限 3 4 3 4 cot, 4 3 4 3 tan, 5 4 5 4 cos, 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 例 5（1）已知为第三象限角，则 2 是第象限角，2是第象限角； （2）若 4，则 是第象限角 . 解： （1）是第三象限角，即Zkkk, 2 3 22 Zkkk, 4 3 22 ，Zkkk,34224 当k为偶数时， 2 为第二象限角 当k为奇数时， 2 为第四象限角 而2的终边落在第一、二象限或 y轴的非负半轴上 . （2）因为 4 2 3 ，所以为第二象限角. 点评 ：为
8、第一、二象限角时， 2 为第一、三象限角，为第三、四象限角时， 2 为第二、四象限角，但是它们在 以象限角平分线为界的不同区域. . 例 7 已知是第三象限角，化简 sin1 sin1 sin1 sin1 。 解：原式 2 2 2 2 sin1 )sin1 ( sin1 )sin1( cos sin2 cos sin1sin1 又是第三象限角，0cos 所以，原式 tan2 cos sin2 。 点评： 三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母； （2）尽可能不含根式； （3）尽可能 使三角函数名称最少； （ 4）尽可能求出三角函数式的值. 本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简
9、. 例 8若角满足条件0sincos,02sin，则在第（）象限 A.一B.二C.三D. 四 解： 0cos 0sin sincos 0cossin 0sincos 02sin 角在第二象限. 故选 B. 四、典型习题导练 1已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5 .0cos，则的值为） A 2 1 arctanB1arctanC 2 1 arctanD 4 3 2角的终边与角的终边关于y 轴对称，则为（） A.-B.-C.（2k+1） - (k Z) D.k-（ kZ） 学习必备欢迎下载 3. 若 sin tg 0,k Z，则角的集合为（） A2k 2 ， 2k + 2 B.( 2k
10、 2 ,2k+ 2 ) C.( 2k 2 ，2k+ 2 )k2D.以上都不对 4当 0x时 ,则方程 cos (cosx)=0 的解集为 ( ) A. 6 5 , 6 B. 3 2 , 3 C. 3 D. 3 2 6已知 x (0, 2 ),则下面四式 : 中正确命题的序号是. sinxxtgx sin(cosx)cosxcos(sinx) sin3x+cos 3x1 cos(sinx)sin(cosx)cosx 7有以下四组角：(1)k+ 2 ；(2)k- 2 ； (3)2k 2 ；(4)-k+ 2 (k z) 其中终边相同的是 （） A.(1) 和(2) B.(1)、(2) 和(3) C.
11、(1) 、(2) 和(4) D.(1)、(2) 、(3) 和(4) 8 若 角 的 终 边 过 点 (sin30 ， -cos30 ), 则 sin 等 于 （） A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 3 9函数 y=1) 3 cos(2x的定义域是 _,值域是 _. 3.2 三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识导学 1同角三角函数的基本关系式 平方关系：1cossin 22 ；商数关系： cos sin tan；倒数关系：1cottan 同角三角函数的基本关系式可用图表示 （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1 的平方； （2）对角为倒数关系； （3）每个三角函数为相邻两
12、函数的积. 2诱导公式 (zk) 角函数正弦余弦记忆口诀 k2sin cos 函数名不变 符号看象限 sincos sincos sincos 2sin cos 2 cos sin 学习必备欢迎下载 2 cos sin函数名不变 符号看象限 2 3 cossin 2 3cossin 诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3诱导公式解决常见题型 （1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数； （2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析 1三角变换的常见技巧 “1”的代换；cossin，cossin，cossin三个式
13、子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐 含着平方关系式1cossin 22 ） ； 2在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽 量化同名，同次，同角； 3已知角的某个三角函数值，求角的其余5 种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方 关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 例 1已知cot0 5 1 cossin），则，（，_ 正解：），（，0 5 1 cossin 两边同时平方，有联立，与 5 1 cossin0 25 12 cos
14、sin 求出， 5 3 cos 5 4 sin 4 3 cot 例 2若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、 B 为锐角且a1,0b1，求 tanA 的值 正解 ：由 BbA BaA coscos sinsin 2+ 2 得 a2sin2B+b 2cos2B=1 cos2B= 22 2 1 ba a sin2B= 22 2 1 ba b tan 2B= 1 1 2 2 a b B 为锐角tan B= 1 1 2 2 a b 得 tan A= b a tan B= 1 1 2 2 a b b a 例 4已知tan 2 =2，求 （1）tan() 4 的值；（2） 6sincos
15、3sin2cos 的值 学习必备欢迎下载 解： （1） tan 2 =2, 2 2tan 224 2 tan 143 1tan 2 ; 所以 tantan tan1 4 tan() 41tan 1 tantan 4 = 4 1 1 3 4 7 1 3 ； （2）由 (I), tan = 3 4 , 所以 6sincos 3sin2cos = 6 tan1 3tan2 = 4 6()1 7 3 4 6 3()2 3 . 点评 ：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. 例 5化简：)() 4 14 cos() 4 14 sin(zn nn
16、正解 ：原式) 4 (cos) 4 (sinnn （1）当)(12zkkn，时 原式) 4 (2sin k+) 4 (2cos k ) 4 sin() 4 cos() 4 cos() 4 cos(=0 （2）当)(2zkkn，时 原式) 4 (2sin k+) 4 (2cos k ) 4 sin(+) 4 cos(=0 例 6若 3 1 6 sin ，则 2 3 2 cos=（） A 9 7 B 3 1 C 3 1 D 9 7 正解 ： 2 3 2 cos=)2 3 (cos = )2 3 cos(=1+2) 6 (sin 2 = 9 7 .故选 A. 四、典型习题导练 1 当 0x时 ,则方
17、程 cos (cosx)=0 的解集为 ( ) A. 6 5 , 6 B. 3 2 , 3 C. 3 D. 3 2 2在ABC中，已知C BA sin 2 tan ，给出以下四个论断： 1cottanBA2sinsin0BA 学习必备欢迎下载 1cossin 22 BACBA 222 sincoscos 其中正确的是 AB.C.D. 3设02x,且1 sin 2sincosxxx,则 A. 0xB. 7 44 xC. 5 44 xD. 3 22 x 4 曲线) 4 cos() 4 sin(2xxy和直线 2 1 y在 y轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为 P1，P2，P3，则 |P2P4|
18、等于（） AB2C3D4 5已知函数f(x)2sinxcosxcos2x (1) 求 f( 4 )的值；(2) 设(0，)，f( 2 ) 2 2 ，求 sin的值 6已知在 ABC 中， sinA（sinBcosB） sinC0， sinBcos2C0，求角 A、B、C 的大小 . 3.3 三角函数的恒等变换 一、知识导学 1.两角和、差、倍、半公式 （1）两角和与差的三角函数公式 coscossinsin)sin( sinsincoscos)cos( tantan1 tantan )tan( （2）二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 t
19、an1 tan2 2tan （3）半角公式 2 cos1 2 sin 2 ， 2 cos1 2 cos 2 ， cos1 cos1 2 tan 2 sin cos1 cos1 sin 2 tan 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除 等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简； （2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 二、疑难知识导析 1两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题. 学习必备欢迎下载 2倍
20、角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如cossin22sin成立的条件是“ 是任意角，是2的 2 倍角” ，精髓体现在角的“倍数”关系上. 3公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式 成立的条件 .例)tantan1)(tan(tantan、 2 2cos1 sin 2 、 2 2cos1 cos 2 等. 4 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2、)(、 22 ，) 2 () 2 ( 2 等，注意到倍角的相对性. 5化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函
21、数互化等. 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式 (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等 求证 . 三、典型例题导讲 例 1 在ABC中， 2sinA+cosB=2 ，sinB+2cosA=3，则C的大小应为 ( ) A 6 B 3 C 6 或 6 5 D 3 或 3 2 正解 ：A 例 2 已知 tan tan是方程 x 2+3 3x+4=0 的两根，若，(- 2 , 2 ) ，则+ =（） A 3 B 3 或-
22、3 2 C- 3 或 3 2 D- 3 2 正解 ：D. 例 3 ABC 中，已知cosA= 13 5 ，sinB= 5 3 ，则 cosC 的值为（） A. 65 16 B. 65 56 C. 65 16 或 65 56 D. 65 16 正解 ：A 例 4 已知 5 3 sin m m ， 5 24 cos m m （ 2 ） ，则tan（） A、 3 24 m m B、 m m 24 3 C、 12 5 D、 12 5 4 3 或 正解 ：C 四、典型习题导练 1.已知集合M=Rxxxyy,cossin，N=Rxxxyy,cossin则 MUN 等于（） AM B.N C.D.22yy
23、2.若 sin+cos=2,则 tan+cot=( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.已知 2 ,sin= 5 4 ,则 cos 2 的值为 ( ) 学习必备欢迎下载 A. 2 5 或- 5 5 B.- 5 5 C. 5 5 D.以上都不对 4.已知 = 5 ,则 3 4 an 3 an3 3 4 an 3 t tttan= . 5.计算 sin 10 sin 10 13 = . 6已知 tanA tanB=tanA+tanB+1 ，则 cos(A+B) 的值是（） A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 1 7已知角A 是 ABC 的一个内角，且 3 2 cossinAA，则
24、ABC 是（） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D 形状不确定 3.4 三角函数的图像与性质 一、知识导学 1.三角函数线 .设角的终边与单位圆交于点P，过点P做xPM轴于M，过点)0 ,1 (A做单位圆的切线，与 角的终边或终边的反向延长线相交于点 T，则有向线段 APOMMP,分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线. 2.三角函数的图像 （1）xyxyxyxycot,tan,cos,sin四种图像 （2）函数)sin(xAy的图像 “五点作图法” 图像变化规律 3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析 1.)sin(xAy+)0,0(AB中，,BA
25、及，对正弦函数xysin图像的影响，应记住图像变换是 对自变量而言 . 如：xy2sin向右平移 6 个单位，应得) 6 (2sinxy，而不是) 6 2sin( xy 2.用“五点法” 作)sin(xAy)0, 0(A图时， 将x看作整体， 取 2 , 0 ， 2, 2 3 ,来求相应的x 值及对应的y值，再描点作图. 3.,cos,sinxyxy)sin(xAy的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而xytan图像只是中心 对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中)sin(xAy)0,0(A的 各个参数 . 4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域
26、实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为 零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域. 可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）. 5.求三角函数的值域是常见题型.一类是xbxaycossin型，这要变形成)sin( 22 xbay；二是含有 学习必备欢迎下载 三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域. 6.)sin(xAy)0,0(A单 调 性 的 确 定 ， 基 本 方 法 是 将x看 作 整 体 ， 如 求 增 区 间 可 由 2 2kx)( 2 2zkk解出x的范围 .若x的系数为负
27、数，通常先通过诱导公式处理. 7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数. 三、典型例题导讲 例 1 为了得到函数 6 2sinxy的图像，可以将函数xy2cos的图像（） A 向右平移 6 B 向右平移 3 C 向左平移 6 D 向左平移 3 正解 ：B 例 2 下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+ 4 ), 其中以点 ( 4 ,0) 为中心对称的三角函数有（） 个 . A 1 B2 C 3 D4 正解 ：D 例 3 函数),0)(2 6 sin(2xxy为增函数的区间是 ( ) A. 3 , 0
28、B. 12 7 , 12 C. 6 5 , 3 D. , 6 5 正解 ： C 3.5 解三角形及三角函数的应用 一、知识导学 1. 解三角形的的常用定理: (1)内角和定理 :CBA结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理 : R C c B b A a 2 sinsinsin （R指 ABC外接圆的半径） )sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 (BacAbcCabS (3) 余弦定理 : 222 cos2cCabba及其变形 . (4) 勾股定理 : 222 cbaABCRt中 三、经典例题导讲 例 1已知方程0134 2 aaxx（a 为大于 1 的常数）的两根为tan
29、，tan， 且、 2 , 2 ，则 2 tan 的值是 _. 正解 ：1aa4tantan0，oa13tantan tan,tan是方程0134 2 aaxx的两个负根 学习必备欢迎下载 又 2 , 2 ,0, 2 ,即0, 22 由tan= tantan1 tantan = 131 4 a a = 3 4 可得.2 2 tan 例 2函数 f(x)= xx xx cossin1 cossin 的值域为 _. 正解 ： 2 1 2 2 , 11, 2 1 2 2 例 4 40cos270tan10sin310cos20cot 解：40cos270tan10sin310cos20cot 0 0
30、00 0 00 40cos2 70cos 70sin10sin3 20sin 10cos20cot 0 0 0000 40cos2 20sin 20cos10sin310cos20cos 000 0 0 00000 0 0 0000 0 cos20 (cos103sin10 ) 2cos40 sin20 2cos20 (cos10 sin30sin10 cos30 ) 2cos40 sin20 2cos20 sin402sin 20 cos40 sin20 2 例 3 在锐角 ABC 中， ABC,且 B=60, )2cos1)(2cos1(CA= 2 13 ,求证： a+.22cb 解： B
31、=60 A+C=120 cos(A+C)=- 2 1 又由已知CA 22 cos2cos2= 2 13 锐角 ABC 中， cosA0， cosC0， cosAcosC= 4 13 sinAsinC= 4 13 cos(CA)= 2 3 即 CA=30 A=45B=60C=75 a+2b=2R(sin45+2sin60)=2 2R 4 62 =22Rsin75=2c 学习必备欢迎下载 四、典型习题导练 1.在 RtABC 中,C=90,则 sinAcos2(45 2 B )- sin 2 A cos 2 A A.有最大值 4 1 和最小值0 B.有最大值 4 1 但无最小值 C.即无最大值也无最小值D.有最大值 2 1 但无最小值 2.要得到 y=sin2x 的图像 ,只需将 y=cos(2x- 4 )的图像( ) A.向右平移 8 B.向左平移 8 C.向右平移 4 D.向左平移 4 4.在 ABC 中 ,sin 2 sin 2 sin 2 CBA = 8 1 ,则 ABC 的形状为 5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是. 6在ABCabc中， 、 、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC2 3 ，求 sinB 的值 .