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1、学习必备欢迎下载 三角函数有理式的不定积分 由 u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有 理式，并用 R(u(x),v(x) 表示. dxxxR)cos,(sin是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2 x ,可把他化为 有理函数的不定积分。这是因为 Sinx= 2 222 1 2 2 tan1 2 tan2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2 t t x x xx xx (8) Cosx= 2 2 2 2 22 22 1 1 2 tan1 2 tan1 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos t t x x xx
2、xx (9) dx=dt t 2 1 2 所以dt tt t t t RdxxxR 22 2 2 1 2 ) 1 1 , 1 2 ()cos,(sin（10） 例3求dx xx x )cos1 (sin sin1 解令 t=tan 2 x ,将(8)、 （9） 、 （10）代入被积表达式， dx xx x )cos1(sin sin1 =dt t t t t t t t 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 1( 1 2 1 2 1 =)ln2 2 ( 2 1 ) 1 2( 2 1 2 tt t dt t t+C =C xxx 2 tanln 2 1 2 tan 2 tan 4 1 2 注意
3、上面所用的交换 t=tan 2 x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的， 但并不意味着在任何场合都是简便的. 例 4 求)0( cossin 2222 ab xbxa dx 解由于 学习必备欢迎下载 , t a n )( t an t a n s e c c o ss i n 222222 2 2222 bxa xd dx bxa x xbxa dx 故令 t=tanx,就有 , tan )(tan tan sec cossin 222222 2 2222 bxa xd dx bxa x xbxa dx =C b at ab arctan 1 适当当被积函数是xx 22 cos,sin及
4、 sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往 比较方便 .其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。 三某些无理根式的不定积分 1.dx dcx bax xR),(型不定积分（ ad-bc0）.对此只需令t= , dcx bax 就可化为有 理函数的不定积分。 例 5 求dx x x x2 21 解令 t=, 2 2 x x 则有 x=, ) 1( 8 , 1 )1(2 222 2 dt t t dx t t dt tt t dx x x x)1)(1 ( 4 2 21 22 2 , =dt tt ) 1 2 1 2 ( 22 =lnCt t t arctan2 1 1 =C x
5、x x x x x 2 2 arctan2 2 2 2 2 1 ln. 例6求 2 2)1(xxx dx 解由于, 2 1 )1( 1 2)1 ( 1 2 2 x x x xxx 学习必备欢迎下载 故令 t=, 2 1 x x 则有 x=, 1 6 , 1 12 22 2 dt t t dx t t 2 2)1(xxx dx =dx x x x2 1 )1 ( 1 2 =dt t dt t t t t 2222 22 3 2 )1 ( 6 9 )1( =. 1 2 3 2 3 2 C x x C t 2. dxcbxaxxR),( 2 型不定积分（ a0 时. 2 b-4aco时，)04 2
6、acb由于 , 4 4 ) 2 ( 2 2 22 a bac a b xacbxax 若记 u=, 2a b x, 4 4 2 2 2 a bac k则此二次三项式必属于以下三种情形之一： ).(),(),( 222222 ukakuakua 因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一: dukuuR),( 22 , .),( 22 duukuR 例7求 42 2 xxx dx I 解【解法一】按上述一般步骤，求的 I= )1 4)1( 2 u du xx dx （ x=u+1） = tan2)1sec2 tansec2 d(u=2sec ) = dt t t t d 2 2 2 2
7、1 1 1 2 cos2 (t=) 2 tan C) 2 tan 3 1 arctan( 3 2 学习必备欢迎下载 由于 s ec1 t a n c o s1 s i n 2 t a n =, 1 32 1 2 ) 2 (2 1 2 x xx u u 因此 I=, 1 32 arctan 3 2 2 x xx 【 解法二】若令则,32 2 txxx可解出 , ) 1(2 32 , ) 1(2 3 2 22 d t x tt d x t t x . )1(2 )322( )1(2 3 32 22 2 t xt t t t xx 于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分： I= 注 1 可以证明
8、 , 3 )1(3 32 a r c t a n 3 32 a r c t a n 22 x xxxxx 所以两种方法得结果是一致的。此外，上述结果对x0,则可令 ; 2 txacbxax 若c0,还可令 cxtcbxax 2 这类变换称为 欧拉变换 . 至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的 求法。需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数得形式把这 个不定积分表示出来。在这个意义下，并不是任何初等函数得不定积分都能“求 学习必备欢迎下载 出”来的。例如 ) 10(s i n1, s i n , ln , 222 2 kxdxkdx x x x dx
9、dxe x 等等，虽然没他们都存在， 但却无法用初等函数来表示 （这个结论证明起来是非 常难的，刘纬尔（ liouville ）于 1835 年做出过证明）。因此可以说，初等函数的 原函数不一定是初等函数。 在下一章将会知道。 这类非出等函数可采用定积分形 式来表示。 最后顺便指出，再求不定积分时,换可利用现成的积分表 .在积分表中所有的 积分公式是按被积函数分类编排的人们只要根据被积函数的类型，或经过适当变 形化为表中列出的类型，查阅公式即可。此外，有些计算器（例如TI-92 型）和 电脑软件（例如 Mathemetica,Maple等）也具有求不定积分的使用功能.但对于初 学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法. 在附录中列出了一份容量不大的积分表，他大体上是典型例题和习题的总 结. 列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程提供方便.