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1、学习必备欢迎下载 三角函数的图象与性质 (45 分钟80 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1. 若函数 y=cos( N *) 的一个对称中心是 ，则的 最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】 选 B.因为 cos=0， 所以+=+k (k Z)， 所以=2+6k，k Z，又 N*，所以的最小值为 2. 2.(2015山东九校一模)函数f(x)=Asin( x+)的部分图象如图所示，为了得到 g(x)=cos2x 的图象，则只要将f(x) 的图象 ( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【
2、解析】选 A.由图象可知 A=1， =-=，所以 T=，又T=， 所以=2，即f(x)=sin(2x+).又 学习必备欢迎下载 f=sin=sin=-1，所以+=+2k， k Z， 即=+2k ， k Z， 所 以=， 即f(x)=sin.因 为 g(x)=cos2x=sin=sin，所以只要将 f(x)的图 象向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象 . 3.( 高考预测题 ) 已知函数 f(x)=Atan(x+)的部 分图象如图，则 f=( ) A.1 B.0 C.D. 【解题提示】 依据图象特点确定 =2，= ，注意图象中特殊点的作 用. 本题中的点也起到了关键性的作用 . 【解析】选
3、C.由题中的图象可知： T=2=，所以=2，所以 2 += k +(k Z). 又|0，且 f(x1)+f(x2)=0，则|x1+x2| 的最小值为 ( ) A.B.C.D. 【解题提示】 |x1+x2|的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2 倍，问题转化为求函数f(x)的绝对值最小的零点 . 【解析】 选 D.因为 f(x)=-sin x+3cos x =2=2sin =-2sin. x1 x20，且 f(x1)+f(x2)=0， 所以 x1+x2等于函数的零点的2 倍， 所以 |x1+x2|的最小值等于函数 f(x) 的绝对值最小的零点的2 倍. 所以令 -2sin=0 可得 si
4、n=0，x-=k， k Z.故函数 学习必备欢迎下载 f(x)的绝对值最小的零点为，故|x1+x2|的最小值为. 2.(2015 成都二模 )若 f(x)=sin，x0 ，2 ，关于 x 的方 程 f(x)=m 有两个不相等实数根x1，x2，则 x1+x2等于( ) A.或B. C. D.不确定 【解析】 选 A.对称轴 x=+k 0，2 ， 得对称轴 x=或 x=， 所以 x1+x2=2 =或 x1+x2=2 =，故选 A. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分) 6. 已知函数 f(x)=3sin( 0)和 g(x)=2cos(2x+)+1 的图 象的对称轴完全相同，若x，则 f(
5、x) 的取值范围是. 【解题提示】先根据函数 f(x)=3sin和 g(x)=2cos(2x+)+1 的图象的对称轴完全相同确定的值，再由x 的范围确定x-的范 围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案. 【解析】 由题意可得=2，因为 x， 所以x-=2x-， 由三角函数图象知：f(x)的最小值为 3sin=- ， 最大值为 3sin=3， 所以 f(x)的取值范围是 - ，3. 答案： - ，3 7.(2015 安阳一模 ) 已知直线 y=b(00)的最小正周期为 . (1) 求的值及函数 f(x) 的最大值和最小值 . (2) 求函数 f(x) 的单调递增区间 . 学习必备欢迎下载 【
6、解题提示】 先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f(x) 化成 标准形式，然后利用周期公式求出的值，根据正弦函数的最值求出 函数 f(x) 的最大值和最小值； 根据正弦函数的单调区间求出函数f(x) 的单调区间 . 【解析】 (1)f(x)=cos 2 +sincos- =+sinx- =sinx+ cosx=sin. 因为 T=， 0，所以=2. 所以 f(x)=sin，x R， 所以-1 sin 1. 所以函数 f(x)的最大值为 1，最小值为 -1. (2)令-+2k 2x+ 2k +，k Z， 得 2k - 2x 2k +，k Z， 所以 k- x k +，k Z. 所以函数 f(x
7、)的单调递增区间为，k Z. 10.(2015 菏泽一模 )已知函数 f=2cos 2x+2 sin xcos x+a，且当 x时，f的最小值为 2， (1) 求 a 的值，并求 f的单调递增区间 . (2) 先将函数 y=f的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来 的 ，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g的图 象，求方程 g=4在区间上所有根之和 . 【解析】 (1)函数 f(x)=cos2x+1+sin2x+a 学习必备欢迎下载 =2sin+a+1，x， 所以 2x+， f(x)min=-1+a+1=2 ，得 a=2； 即 f(x)=2sin+3， 由题意得， 2k - 2
8、x+ 2k +，k Z， 得 k - x k +，k Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k Z). (2)由题意得 f(x)=2sin+3， 又由 g(x)=4 得 sin= ， 解得 4x-=2k +或 2k +，k Z， 即 x=+或+(k Z)， 因为 x，所以 x=或，故所有根之和为+=. 【加固训练】 (2015西安一模 )如图所示，某市拟在长为8km的道路 OP的一侧修建一条运动赛道， 赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线 段为函数 y=Asinx (A0，0)，x0 ，4 的图象，且图象的最高点为S(3，2) ；赛 道的后一部分为折线段MNP. 求 A，的值和 M ，
9、P两点间的距离 . 学习必备欢迎下载 【解析】 依题意，有 A=2， =3，又 T=， 所以=，所以 y=2sinx，x 0，4， 所以当 x=4 时，y=2sin=3，所以 M(4，3). 又 P(8，0)，所以 MP=5(km)， 即 M，P 两点间的距离为5km. 11.(2015 福建高考 )已知函数 f(x)=10sin cos +10cos 2 . (1) 求函数 f(x) 的最小正周期 . (2) 将函数 f(x) 的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a0) 个 单位长度后得到函数g(x) 的图象，且函数 g(x) 的最大值为 2. 求函数 g(x) 的解析式 . 证明：存在
10、无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)0. 【解题提示】 (1)用辅助角公式化简 .(2)利用三角函数图象变换和三角 函数的周期性求解 . 【解析】 (1)因为 f=10sin cos +10cos 2 =5sin x+5cos x+5 =10sin+5， 所以函数 f的最小正周期 T=2 . (2)将 f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sin x+5 的图 象，再向下平移 a(a0) 个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a 的图象， 又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10+5-a=2 ，解得 a=13. 所以 g=10sin x-8. 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g0，就是要 学习必备欢迎下载 证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 10sin x0-80，即 sin x0 . 由 . 因为 y=sin x 的周期为 2， 所以当 x (2k +0，2k + -0)(k Z)时， 均有 sin x . 因为对任意的整数k，(2k + -0)-(2k +0)= -201， 所以对任意的正整数k，都存在正整数xk (2k +0，2k + -0)，使 得 sin xk ， 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g0. 关闭 Word文档返回原板块