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1、学习必备欢迎下载 P A CB O AC B O 圆的证明和计算（有切线型） 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，一般出现在第22 题，此题完成情况的好 坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点聚焦： 主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要是判定切线；第2 问主要是与圆有关的计算： 求线段长求面积求线段比 二、回顾圆的证明、计算题中常用的几个重要定理（学生提前完成） 1. 垂径定理定理及其推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦 ( )的直径于弦，并且弦所对的两条。 弦的垂直平分线过，且弦对的两条弧。 平分一条弦所对的两条弧的直线过
2、，且和此弦。 平行弦夹的弧。 2. 切线的判定定理、性质定理、切线长定理： (1) 切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 (2) 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点。 经过 切点作切线的垂线经过圆心。 (3) 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线。 (4) 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。 三、基础练习： 1、如图，直线AB经过 O上的点 C，并且 OA=OB ，CA=CB ，求证：直线A
3、B是 O的切线。 2、如图，直线AB是 O的直径， C是 AB延长线上的一点，且BC= AB 2 1 ， PCA= 30，试 判断 O与直线 CP的位置关系，并证明你的结论。 方法总结： 学习必备欢迎下载 （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 四、典型基本图型例析： 已知：AB是O的直径，点E、C是O上的两点 ，AC平分BAE；ADCD； 基本结论有： （1）如图 1，证明：DC是O的切线。 （2）如图 2，证明DC=OF ；如图 3，证明DE=CF。 （3）如图 4：若CKAB于K，证明：CK=CD= 2 1 BE；BK=DE；AE+AB=2A
4、K=2AD。 总结： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等等知识 的 结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线 段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求 线段与 已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。 其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想 ：如：构建矩形转化线段；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半 径；构造勾股定理模型。 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等 关系建立方程，解决问题。 五、典型例题讲解： 如图，已知RtABC
5、 ， BCA= 90，以 AB边上一点O为圆心，以OB为半径作 O交 BC于 图1 O E D C BA F 图2 AB C D E O F 图3 AB C D E O K 图4 A B C D E O 学习必备欢迎下载 AF E D C B O AF E D C B O A G F E D C B O K A G F E D C B O 点 E；交 AB于点 F，弧 EF的中点 D在 AC上， （1）证明： AC与 O相切； （2）若 CE=1 ，CD=2 ，求 O的半径； （3）若 3 5 BE BF ，求 BC DO 的值。（改编自20XX年中考题）； （4）延长 FD交 BC的延长线于
6、G点，若 DG=6 ，BF=10，求 BE DE 的值。 （改编自20XX年中 考题） ； （5）过 点 D作 DG垂直平分OF ，G为垂足，作直径DK ，连接 KE ，若 EC=2 ，求 EBK的面 积。 题 1、2 题 3 题4 题 5 作业： 以下问题都是由基本图型变形而来，请同学们好好体会。 学习必备欢迎下载 H G F E D C B A O 图形变式1： 如图 5：AB是O的直径，点E、C是O上的两点 ，AC平分BAE；ADCD； BGCD于E时（如图5） ， 基本结论有： 证明：DE=GB； DC=CG； AD+BG=AB； 图形变式2： 如图 6 已知，AB是O的直径，C是中点
7、，CDAB于D，BG交CD 、AC于E、F。 基本结论有： 证明：CD= 2 1 BG；BE=EF=CE；GF=2DE OE= 2 1 AF，OEAC；即 OE是ABF的中位线 若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形图 6 图形变式3： 如图 7：RtABC中，ABC=90, 以 AB为直径作 O交 AC于 D， DE切 O于点 D交 CB于点 E。 基本结论有： 证明： DE=BE=CE；即 E是 CB 中点。 CED=2A。 图 7 图形变式4： 如图 8，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，DEAC 基本结论有： 证明：DE切O； DFC是等腰三角形； EF=EC； D是的中点，得AD是 BAC的角平分线。 图 6 BG G 图5 A B C D E O O E A B C D BF F E D C B O A