【优质文档】五年级上册奥数讲义..pdf

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1、学习必备欢迎下载 优才家教优等生同步奥数提高五年级（下） 第一讲整数问题 第 1 课 数的整除 一、知识要点 1.整除因数、倍数 2.相关基础知识点回顾 （1）0 是任何整数的倍数。 （2）1 是任何整数的因数。 3.数整除的性质 性质 1：如果 a、b都能被 m 整除，那么它们的和与差也能被m 整除。 即：如果 ma，mb，那么 m（ ab） 。 例如：如果210，26，那么 2（ 106），并且2（ 106）。 性质 2：如果 a 能同时被 m、n 整除，那么a 也一定能被m 和 n 的最小公倍数整除。 即：如果 ma，na，那么m，na。 例如：如果636，936，那么 6 ，9 36。

2、 性质 3：如果 m、n 都能整除 a，且 m 和 n 互质，那么m 与 n 的积能整除a。 即：如果 ma，na，且（ m，n）=1，那么（ mn） a。 例如：如果272，972，且（ 2，7）=1，那么 1872。 必要条件： （1）a、b、c 三个数是整数 （2）b0 （3）ab=c 结论：整数 a 能被整数 b 整除，或 b 能整除 a，则 a 叫做 b 的倍数， b 叫 做 a 的因数。 记作： ba 整数 a 除以整数b（b0）等于 c（c 是整数且没有余数） ，那么说a 能被 b 整除，或b 能整 除 a，a 叫做 b 的倍数， b 叫做 a 的因数。 学习必备欢迎下载 性质

3、4：如果 a 能整除 b，b 能整除 m，那么 a 能整除 m。 即：如果 ab，bm，那么 am。 例：如果714， 1428，那么 728。 4.数的整除特征 （1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它 必能被 2 整除。 （2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0 或 5，那么它必能被5 整除。 （3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或 9）整除，那么它必 能被 3（或 9）整除。 （4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么它必能

4、被 4（或 25）整除。 例： 1864 能否被 4 整除？ 解： 1864=1800+64，因为 464， 4 是 1864 的因数， 1864 是 4 的倍数，所以41864。 （5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么它必 能被 8（或 125）整除。 例： 29375 能否被 125 整除？ 解： 29375=29000+375，因为 125375，125 是 375 的因数， 375 是 125 的倍数，所以125 29375。 （6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能 被 1

5、1 整除，那么它必能被11 整除。 ( 奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数 的十位、千位、十万位) 例：判断13574 是否是 11 的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）- （73） 0。因为 0 是任何 整数的倍数，所以110。因此 13574 是 11 的倍数。 例：判断123456789 这九位数能否被11 整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220. 因为 25205，又因为11 5 ，所以 11 123456789 。 （7）能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数

6、与末三位以前的数字所组成的数之差 （以大减小）能被7（11 或 13）整除。 例：判断1059282 是否是 7 的倍数？ 解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数。因为1059-282 777，又因为7 777，所以 71059282。因 此 1059282 是 7 的倍数。 例：判断3546725 能否被 13 整除？ 解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数 . 因为 3546-725=2821. 再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 8212819，又 13819，所以 132821，进而 133546725。 学习必备欢迎下载 二、典

7、型例题详解 猜猜会是什么数？ 【例 1】 ： 一个 856五位数，能被3、4、5 整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？ 解：先将856，看做 856ab。 3856ab，则 3 8+5+6+a+b，3 19+a+b， a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8。 4856ab，则 4 ab， ab=偶数 5856ab，则 b=0 或 b=5，又 ab 为偶数， b=0 a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8，且 b=0， a=2 或 a=5 或 a=8 当 a=2， b=0 时，这个数为85620；当 a=5，b=0 时，这个数为85650；当 a=8，b=0 时，这个数为85680。

8、 答：五位数中最小的一个是85620。 【例 2】 ： 一本老账本上记着：72 只桶，共67.9元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。 解：先将67.9，看做整数a679b。 72=8 9，且（ 8，9）=1， 8a679b，且 9a679b。 若 8a679b，则 879b，所以 b=2。 若 9a679b，b=2，则 9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以 a 应是 3。 所以这个数应是 答：这笔账应是元。 【例 3】 ：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、 11、6 整除。先后填入的三个数字的和是多少？ 方法一 试商法

9、 解： 方法二 倍数特征 解： 学习必备欢迎下载 三、课后作业 1. 在中填入适当的数字，使所组成的数能够被 4 整除。 78 4 7653 863 3. 一个六位数2356是 22 的倍数，那么这样 的六位数中，最大的一个是多少？ 2. 71450至少加上多少后就能被4 整除？ 4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整 除 4875，那么这两个数的差是多少？ 5. 一位采购员买了同样的72 只热水杯，可是发票 不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只 能看出： 173. 元。你能算出热水杯的单 价吗？ 学习必备欢迎下载 第一讲整数问题 第 2 课 倍数与因数（一） 一、知识要点 1.

10、质数与合数 质数：一个数除了1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数） 合数：一个数除了1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。 1 不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例： 30 分解质因数。 解： 30=235 答： 2、3、5 是 30 的质因数。 分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数 100 以内的质数（要会背的） ： 2、3、5、7、 11、13、 17 、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47 、

11、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97. 3.公因数与公倍数 学习必备欢迎下载 公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。 公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 一个数的因数的个数是（）的，倍数的个数是（）的。 几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的。 4.最大公因数与最小公倍数 最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。 a、b 的最大公因数 =(a，b) 最小公倍数： 在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 a 、b 的最小公倍数 =a、b （18，30）

12、=23=6 18，30=2 3 35=90 二、典型例题详解 【例 1】五年级三个班分别有30、24、42 人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并 且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？ 解： 30=2 35 24=2322 42=237 （ 30，24，42）=23=6（人） 306=5（个） 246=4（个） 426=7（个） 547=16（个） 答：每组最多可以分6 人，一共可以分16 个组。 【例 2】有一种长16 厘米，宽 12 厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？ 1 8 3 0 2 9 3 3 5 用公有的质

13、因数 2除 用公有的质因数 3除 除到两个商是互质数为止 15 用短除法计算： 学习必备欢迎下载 解： 16=22 22 12=22 3 16，12=2 222 3 =48（厘米） 4816=3（块） 4812=4（块） 34=12（块） 答：最少需要12 块扣板。 【例 3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的6 倍，再过若干年就分别是你的5 倍、 4 倍、 3 倍、 2 倍。 ”求出甲、乙现在的年龄。 解：甲现在的年龄是乙的7 倍，则甲的年龄比乙大6 倍； 当甲的年龄是乙的6 倍时，则甲的年龄比乙大5 倍； 当甲的年龄是乙的5 倍时，则甲的年龄比乙大4 倍； 当甲的年龄是乙的

14、4 倍时，则甲的年龄比乙大3 倍； 当甲的年龄是乙的3 倍时，则甲的年龄比乙大2 倍； 当甲的年龄是乙的2 倍时，则甲的年龄比乙大1 倍； 甲、乙的年龄差是6、5、 4、3、2 的公倍数。 6 ，5，4，3，2=6 543 2=60（岁） 60（ 7-1 ）=10（岁） 10+60=70（岁） 答：甲的年龄是70 岁，乙的年龄是10 岁。 【例 4】写出三个小于20 的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组? 解：假设这三个数分别是a、b、 c a、b、c 两两不互质，且a20，b20，c20， 则两两间的质因数互不相同且乘积小于20 （a，b）=2 或（ a，b）=3 或（

15、a，b）=5； （a，c）=2 或（ a，c）=3 或（ a，c）=5； (b，c）=2 或 (b ，c）=3 或 (b ，c）=5； a，b，c 三数有可能是23=6，25=10，3 5=15，26=12，36=18。 又 （ a，b，c） =1； （ 6，10， 15）=1； （10，15，12）=11； （10，15，18）= 答：共有三组，分别是（6、 10、15） ， （10、 12、15） ， （10、 15、18） 。 三、课后习题 用短除法计算： 学习必备欢迎下载 1. 求 56，36，284 的最小公倍数。 3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时 间分别为半分钟、

16、45 秒钟、 1 分 15 秒。 三人同时从起 点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？ 5. 把一张长120cm ，宽 80cm 的长方形纸裁成同样大 小的正方形 ( 纸不能有剩余) ，至少能裁成多少张这样 的正方形纸，每张裁成的纸是多大？ 2. 有 336 个苹果、 252 个梨子、 210 个桔子，用这三 种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物 中，三种水果各占多少？ 4. 有一个表， 每走 9 分钟亮一次灯， 每到整点时响一 次铃。 中午 12 点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃 在几点？ 6. 用一个数去除31，61，76 都余 1，这个数最大是 多少？ 第 3 课 倍数与

17、因数（二） 学习必备欢迎下载 一、知识要点 1.最小公倍数与最大公因数之间的关系 定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 即：如果（ a，b）=d，那么（ ad ，bd ）=1 定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。 即： a，b （ a，b）=ab 定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数 二、典型例题详解 【例 1】甲数是 36，甲、乙两数的最大公因数是4，最 小公倍数是288，求乙数。 解：设乙数是a 36 a=4288 a=428836 a=32 答：乙数是32。 【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公 倍数是 90，且小

18、数不能整除大数，求这两个数。 【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？ 解：设这两个数分别为a、 b 12621=6 6=32 或6=16 a=321=63 a=121=21 b=221=42 b=621=126 63+21=84 21+126=147 答：这两个数的和是84 或 147。 【练一练】 两个自然数的和是56，它们的最大公因 数是 7，求这两个数。 【例 3】 两个自然数的和是50， 它们的最大公因数是5， 求这两个数的差。 【练一练】 已知两个自然数的积是5766，它们的最 大公因数是31，求这两个数。 学习必备欢迎下载 解：设这两个自然

19、数分别是5a、5b 5a+5b=50 a+b=10 (a， b)=1 且 a+b=10 9 1 b a 或 7 3 b a 当 9 1 b a 时， 5a=5，5b=45 5b-5a=40 当 7 3 b a 时， 5a=15，5b=35 5b-5a=20 答：这两个数的差是40 或 20. 【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与 最大公因数的差是114，求这两个自然数。 解：设这两个数是A、B 。且 A=am；B=bm A+B=54 ，则 am+bm=54 m(a+b)=54 (A、 B)=m； a、b 为 A、B 两数的非有公因数，(a、 b)=1 A、 B=mab A、 B(A

20、、B)=114，则 ma bm=114 m(ab1)=114 m(a+b)=54 且 m(ab1)=114 则 m 是 54 和 114 的公因数 又（ 54，114）=6，6=16=23 m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3 如果 m=1，则 1(a+b)=54，a+b=54； 1(ab 1)=114，ab=115 115=1115 或 115=523 115+154 且 5+2354 m1 如果 m=6，则 6(a+b)=54，a+b=9； 6(ab 1)=114，ab=20 (a、b)=1，则 20=120 或 20=45 1+20 9，4+5=9 则 m=6，a=4， b=5；

21、A=46=24， B=5 6=30 如果 m=2，则 2(a+b)=54，a+b=27 2(ab 1)=114，ab=58 (a、b)=1，则 58=158 或 58=229 1+5827 且 2+2927 m2 （接【例4】 ） 如果 m=3，则 3(a+b)=54，a+b=18 3(ab1)=114，ab=39 (a、b)=1， 则是 39=139 或 58=313 1+3918 且 3+1316 m3 答：这两个自然数是24 和 30。 【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公 倍数的积是252，求这两个数。 三、课后作业 （1） 某数与 24 的最大公因数是4， 最小公倍数是168

22、，（ 2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍 学习必备欢迎下载 这个数是多少？数为 120，求这两个数。 （3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这 两个数的差是多少？ （ 4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数 为 60，求这两个数。 （5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180， 两个数的差是54，求两个数的和。（ 6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数 与最大公约数的差为450，求这两个自然数。 （7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72， 这两个数的和是多少？ （8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小 公倍数的积是180，求这两个数。

23、复习练习第 2 课 （ 1）有一种地砖，长20 厘米，宽15 厘米，至少需 学习必备欢迎下载 要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？ （ 2）一箱鸡蛋，四个四个数多3 个，五个五个数多 4 个，七个七个数多6 个，这箱鸡蛋至少有多少个？ （10）已知 a 与 b、a 与 c 的最大公因数分别是12 和 15，a、b、 c 的最小公倍数是120，求 a、b、 c。 （ 3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车， 正好每辆车坐10 人，如果减少一辆车，正好每辆车 坐 15 人，这个班共有多少人？ （4）一条路长96 米，从一端起，每隔4 米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6 米栽一棵，已

24、栽上的地 方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？ 第二讲图形的面积 学习必备欢迎下载 第 1 课 巧求图形面积 一、知识要点 1.基本平面图形特征及面积公式 特征面积公式 正方形 四条边都相等。 四个角都是直角。 有四条对称轴。 S=a2 长方形 对边相等。 四个角都是直角。 有二条对称轴。 S=ab 平行四边形 两组对边平行且相等。 对角相等，相邻的两个角之和为180 平行四边形容易变形。 S=ah 三角形 两边之和大于第三条边。 两边之差小于第三条边。 三个角的内角和是180。 有三条边和三个角，具有稳定性。 S=ah2 形 只有一组对边平行。 中位线等于上下底和的一半。 S=(a+b)h

25、2 2.基本解题方法： 由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形 的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。 二、典型例题详解 【例 1】已知平行四边表的面积是28 平方厘米，求阴 影部分的面积。 【练一练】 如果用铁丝围成如下图一样的平行四边 形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米） 【例 2】 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 （单位：厘米） 【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 学习必备欢迎下载 【例 3】如图所示， 甲三角形的面积比乙三角形的面积 大 6 平方厘米，求CE的长度。

26、 【练一练】 【例 4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。【练一练】下面的梯形ABCD 中，下底是上底的2 直角三角形BCE 的直 角边 EC长 8 厘米，已 知阴影部分的面积比 三角形EFG 的面积大 10 平方厘米。求CF的 长。 平行四边形ABCD的边长 BC=10厘米， 学习必备欢迎下载 已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形 的面积各是多少？（单位：厘米） 倍，E是 AB的中点， 求梯形 ABCD的面积是三角形 EDB面积的多少倍？ 【练一练】 【练一练】计算下面图形的面积。 三、课后作业 一 个 长 方 形 的 草 坪，中间有两个人 行道。高是14 求草坪的面积。

27、 (单位：厘米 ) 32 28 B 学习必备欢迎下载 1 3. 求图中阴影 部 分 的 面 积。 单位：厘米 2. 5. 4.梯形 ABCD的面积是45 平方厘米，高6 厘米。三 角形 AED的面积是 5 平方厘米， BC=10 厘米，求阴影部分 的面积。 6.求图形中梯形ABCD的面积。（单位：厘米） 下面的梯形中，阴 影部分面积是150 平方厘米，求梯形 的面积。 正方形ABCD 的 边长是 12 厘米，已 知 DE是 EC长度的 2 倍，求： （1）三 角 形 DEF的面积。 （2）CF的长。 正方形ABCD 的面积是 100 平方厘米， AE=8厘米， CF=6厘米，求阴影部分的面 积

28、。 学习必备欢迎下载 第 2 课 等积变形求面积 一、知识要点 等底等高的 三角形 面积相等平行四边形 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的2 倍， 大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的3 倍， 大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的4 倍， 大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的n 倍， 大三角形高是小三角形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相

29、等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的。 二、典型例题分析 【例 1】四边形ABCD中， M 为 AB的中点， N 为 CD的中点， 如果四边形ABCD的面积是 80 平方厘米，求阴影部分 BNDM 的面积是多少？ 【练一练】如图，六 边形 ABCDEF的面积 是 16 平方厘米， M、 N、P、Q 分别是 AB、 CD、DE、

30、AF的中点。 求图中阴影部分的面积。 学习必备欢迎下载 【例 2】如图，平行四边 形 ABCD中， AE=EF= FB，AG=2CG ，三 角形 GEF的面积 是 6 平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【练一练】如图，在一个等边三角 形中任意取一点P，连接 PA 、PB、 PC ，过 P点作三角形的垂线， E、F、G 分别为垂足。三角形 ABC被分成 6 个三角形。已 知三角形ABC的面积为40 平方厘米，求图中阴影 部分的面积。 【例3】下图中正方形ABCD 的 边 长 是4 厘 米， 长方 形 DEFG 的长 DG=5 厘米，问长 方形的宽DE为多少厘米？ 【练一练】 两个相同的

31、直角三角形叠放在一起，求 阴影部分的面积。（单位：分米） 学习必备欢迎下载 【例 4】两个正方形拼成一 个图形，其中小正方形的 边长是 4厘米，求阴影部分 的面积。 【练一练】如图， AE=ED ， AF=FC ，已知 ABC的面积为100 平方 厘米，求阴影部分 的面积。 三、课后作业 1.平行四边形的面积为50 平方厘米， P是其中任意 一点，求阴影部分的面积。 2.长方形 ABCD，三角形 ABG 的面积为20 平方厘 米，三角形CDQ的面积为 35 平方厘米，求阴影部分 的面积。 学习必备欢迎下载 3.ABCD 是直角梯形，其中 AD=12 厘米， AB=8 厘米， BC=15 厘 米

32、 ， 且 三 角 形 ADE、四边形DEBF 及三角 形 CDF的面积相等，三角形 EBF （阴影部分）的面积是多少？ 4.如图， AD=2AB， CF=3AC ，BE=4BC ， 已知ABC的面积为5 平方厘米， 求DEF的面积。 5.如图， AB=4 厘米， BC=6厘米， AC=2CD ，BE=BD ，求 三角形 ADE的面积。 6.图中 BD=2DC，AE=BE ， 已知三角形ABC的面积 是 18 平方厘米，求四边 形 AEDC的面积是多少？ 第三讲分数的基本性质 第 1 课 分数的认识 一、知识要点 1.分数的意义和性质 分数的意义： 把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或

33、几份的数，叫做分数。 （分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1 平均分成分母份， 表示这样的分子份。 ） 学习必备欢迎下载 分数单位： 把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。 分数的性质： 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。 2.分数的分类 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于1。 假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1 或等于 1。 带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。 带分数与假分数的互换： 带分数假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。 例：

34、 7 5 3= 7 573 = 7 26 假分数带分数： 分母不变 ,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数。 例： 3 14 = 3 314 = 3 2 4 带分数真分数 3.计算方法： 分数加减法 （ 1） 同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。 例： 7 3 7 1 7 5 = 7 315 = 7 3 （ 2） 异分母分数相加减，先通分， 即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其 分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。 例： 2 1 5 4 6 5 = 30 15 30 24 30

35、25 = 30 152425 = 30 34 分数乘除法 （ 1） 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。 例：6 9 5 = 9 65 = 3 10 （ 2） 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。 例： 7 6 9 2 = 79 62 = 21 4 （ 3） 分数除以整数， 分母不变， 如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要化成最简分数。 例：4 9 8 = 9 48 = 9 2 学习必备欢迎下载 （ 4） 分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后 要化成最简分数。 例：6 9 2 = 6 1 9 2

36、= 27 1 （ 5） 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。 例： 3 2 9 2 = 2 3 9 2 = 3 1 二、典型例题分析 【例 1】分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有 多少个？ 【练一练1】分子、分母的乘积是420 的最简真分数 共有多少个？ 【例 2】把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等 于 1。 （1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于 9 8 ，原分数是多少？ （2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于 9 8 ，原分数是多少？ 【练一练 2】一个分数约分成最简分数是 7 3 ，原分子、 分母的和是90，原分数是多

37、少？ 【例3】分数 136 73 的分子和分母都减去同一个整数， 所得的分数约分后是 9 2 ，求那个整数是多少？ 【练一练3】一个真分数的分子、分母是两个连续的 自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是 3 2 ，原 来这个分数是多少？ 学习必备欢迎下载 【例 4】分数 64 55 的分子减去某数，而分母同时加上这 个数后，所得的新分数化简后为 13 4 ，求某数。 【练一练4】一个分数，分子加上1 可约分为 3 1 ，分 子减去 1 可约分为 5 1 ，求这个分数。 【练一练5】 分数 12 1 的分子、分母同时加一个自然数， 新分数化简得一个分数 2 1 ；求这个自然数。 【练一练 6】

38、 48 7a 是最简真分数，a可取的整数共有 多少个？ 三、课后作业 【1】分母是51 的真分数有多少个？最简真分数有多 少个？ 【2】一个最简分数的分子缩小5 倍，分母扩大9 倍后 是 27 2 ，原分数是多少？ 【3】 13 3 的分子、分母同时加上多少后可以约分为 3 1 ？ 【4】一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那 么约分后是 4 3 ；如果分子加上124，分母加上340，那 么约分后是 2 1 ，求原分数是多少？ 学习必备欢迎下载 【5】填空题：（列式、计算、填空） (1)一个最简真分数的分子、分母之积是30，这个最简 真分数是。 (2)分母是85 的真分数共有个，分母是

39、85 的最简真分数共有个。 (3)一个最简真分数，把它的分母扩大5 倍，而分子缩 小 4 倍，化简后是 52 1 ，求这个最简真分数是。 （4）一个最简真分数，分子、分母之和是15，这个 最简真分数是。 【6】一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如 果分母加上3 后，这个分数约分为 4 3 ，求原分数是多 少？ 【7】分数 12 1 的分子、分母同时加同一个自然数，新 分数化简后得 2 1 ，求这个自然数。 第 2 课 比较分数大小 一、知识要点 1.分数的基本性质 分数的性质： 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。 2.比较分数大小的基本方法 分母相同：分母相

40、同的分数，比较分子，分子大的分数大。 学习必备欢迎下载 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大。 假分数与真分数：假分数大于真分数。 3.分子、分母都不同的两个分数： 先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 4.比较分数大小的巧算： “ 通分子 ” 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可 以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便， 就要看具体情况了。 先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 倒数比较大小。 分数

41、m 和 n，如果 m 1 n 1 ，那么 mn。 大分数比较大小 若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母与分子相加得到的和较大的分数比 较大； 若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母与分子相加得到的和较小的分数比 较大。 借助第三个数比较大小 对于分数m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。 对于分数m 和 n，若 mk，kn，则 mn。 对于分数m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。 学习必备欢迎下载 5.典型 8 例题 【例 1】把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。 （ 1） 8 5 、 12 7 、 20 11 、 60 37 8，12， 20，60=120 8 5 = 158

42、 155 = 120 75 12 7 = 1012 107 = 120 70 20 11 = 620 611 = 120 66 60 37 = 260 237 = 120 74 120 75 120 74 120 70 120 66 8 5 60 37 12 7 20 11 （ 2） 27 30 、 13 15 、 17 20 、 11 12 30，15，20，12=60 27 30 = 227 230 = 54 60 13 15 = 413 415 = 52 60 17 20 = 317 320 = 51 60 11 12 = 511 512 = 55 60 51 60 52 60 54 6

43、0 55 60 17 20 13 15 27 30 11 12 【练一练1】把下面的分数按从小到大的顺序排列： 33 15 、 23 10 、 17 6 、 13 5 分数 17 5 、 19 6 、 33 10 、 97 30 、 46 15 中，哪一个最大？ 【例 2】比较 77775 77771 和 88887 88883 的大小 1 77775 77771 = 77775 4 1 88887 88883 = 88887 4 77775 4 88887 4 77775 77771 88887 88883 【例 3】已知a= m n ，b= 1 1 m n （m，n 都是非零自然 数，且

44、mn） ，a，b 的大小关系是（） A. 可能 a=b B. a 一定大于b C. 有时 ab D. a 一定小于b 如果 a= 2 1 ， b= 12 11 = 3 2 ， 3 2 2 1 ，ba 如果 a= 8 7 ， b= 18 17 = 9 8 ， 9 8 8 7 ，ba 【练一练2】比较 44445 44443 和 55559 55557 的大小 【练一练3】下列分数中最大的是（） A. 999 998 B. 99 98 C. 9999 9998 D. 9 8 学习必备欢迎下载 【例 4】比 7 2 大，比 3 1 小，分子是17 的分数共有多少 个？ 2，1，17=34 7 2 =

45、 177 172 = 119 34 3 1 = 343 341 = 102 34 172=34 1192=59 1 1022=51 答：分母可以是：51， 52，53，54，55，56，57， 58，59 共 8 个。 【练一练4】在下面的中填入适当的整数，使不等 式成立。 5 7 17 7 10 【练一练5】在 14 11 、 1653 1650 、 987 984 、 87 84 这四个分？、 数中，最大的是哪个？最小的是哪个？ 【练一练 6】写出三个大于 7 3 而小于 7 4 的最简真分数。 【练一练7】分子是 3，比 65 7 小，但与 65 7 最接近的分 数是哪一个？ 【练一练

46、8】已知 19 5 4 19 ， 、 为连续自然数， 求 和 。 二、课后作业 【1】将 41 36 、 67 60 、 29 24 、 83 72 、 13 12 、 59 48 从小到大排 列，排在第三个位置上的数是多少？ 【2】把五个分数 5 7 、 12 17 、 29 41 、 70 99 、 160 239 按从小到 大的顺序排列。 学习必备欢迎下载 【3】设 a= 123456789 987654321 ，b= 2008123456789 2008987654321 ，试比 较 a 与 b 的大小。 【4】 在下面的中填入适当的整数， 使不等式成立。 里应填的整数有哪些？0.25

47、 17 0.26 【5】比较 490 487 和 74 73 的大小。【6】比 4 1 大，比 10 7 小，分母是 40 的最简分数有多少 个？ 【7】比较 222222221 111111110 与 888888887 444444443 的大小。【8】有七个数， 24.0， 7 3 ， 26 11 ， 442. 0， 61 26 是， 其中的五个，已知从小到大排的第三个是 26 11 ，求从 大到小排的第三个数。 第四讲行程问题 第 1 课 行程中的追及问题 一、知识要点 1.行程中的基本数量关系： 路程 =速度时间 2.追及问题中的基本数量关系： 学习必备欢迎下载 路程差（追及路程）=

48、速度差追及时间 路程差（追及路程）速度差=追及时间 路程差（追及路程）追及时间=速度差 3.追及问题中的应注意的规律： 追赶者所用的时间=被追赶都所用的时间=追及时间 二、典型例题 【例 1】一辆面包车的速度是每小时60 千米，在面包 车开出 30 分钟后，一辆小轿车以每小时84 千米的速 度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车， 多长时间能追上？ 60（ 3060）=30（千米） 30（ 84-60）=1.25（小时） 1.25 小时 =1 小时 15 分钟 答：小轿车需要1 小时 15 分钟追上面包车。 解题过程中用到的公式 路程差（追及路程）速度差=追及时间 【练一练1】一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两 人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行18 千米， 摩托车每小时行45 千米。自行车先出发1.5 小时，摩 托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩 托车行了多少千米？ 【例2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地， 甲车每小时行40 千米，乙车每小时行35 千米。途中 甲车因故障修车用了3 小时，结果甲车比乙车迟1 小 时到达目的地。两地间的路程是多少千米？ 35（