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1、精品资料欢迎下载 11 xxkyy bkxy 12 1 12 1 xx xx yy yy 2121 yyxx， 1 b y a x 直线与直线方程 一、知识梳理 1. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线， 如果把x轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾 斜角 . 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0. 倾斜角的取值范围是0 180.倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表 示. 倾斜角是90的直线没有斜率. 2. 斜率公式： 经过两点),(),( 222111 yxPyxP的直线的斜
2、率公式：)( 21 12 12 xx xx yy k 3. 直线方程的五种形式 直线形式直线方程局限性选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直 的直线 已知斜率 已知一点 斜截式 不能表示与x轴垂直 的直线 已知斜率 已知在 y轴上的截 距 两点式 不能表示与x轴、y 轴垂直的直线 已知两个定点 已知两个截距 截距式 （ba、分别为直线 在x轴和y轴上的截 距） 不 能 表 示 与x轴 垂 直、与y轴垂直、过 原点的直线 已知两个截距（截距 可以为负） 一般式 0CByAx 0不全为、BA 表示所有的直线求直线方程的结果均 可化为一般式方程 7斜率存在时两直线的平行： 21/ l l 1 k= 2
3、 k且 21 bb. 8斜率存在时两直线的垂直： 21 ll1 21k k 9特殊情况下的两直线平行与垂直: 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直 线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2) 当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直 精品资料欢迎下载 二、典例精析 题型一：倾斜角与斜率 【例 1】下列说法正确的个数是（） 任何一条直线都有唯一的倾斜角； 倾斜角为 0 30的直线有且仅有一条； 若直线的斜率为tan，则倾斜角为； 如果两直线平行，则它们的斜率相等 A. 0 个B.1 个C.2 个D.3 个 【练习
4、】如果 0AC 且 0BC ，那么直线0CByAx不通过 （） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【例 2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为 ，斜率为k， 则() Aksin 0B kcos 0 Cksin 0Dkcos 0 【练习】图中的直线l1，l2， l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 () Ak1 k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1Dk1k3k2 【例 3】经过点2, 1P作直线l，若直线l与连接10 ，A，1 ,4B的线段总有公共点，求 直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。 【练习】已知两点4,3-A，2,3B，过点1-2，P的直线l与线段AB有
5、公共点，求直线l 的斜率k的取值范围。 【例 4】若直线l的方程为2tanxy，则（） A.一定是直线l的倾斜角 B.一定不是直线l的倾斜角 C.一定是直线l的倾斜角 D.不一定是直线l的倾斜角 【练习】设直线0cbyax的倾斜角为，且 0cossin ，则 ba、 满足（） A.1ba B.1ba C.0ba D.0ba 精品资料欢迎下载 题型二：斜率的应用 【例 5】若点4, 0,0 ,2,2CaBA，共线则a的值为 _. 【练习】 若三点bCaBA,0,0 ,2,2，0ab共线， 则 ba 11 的值为 _. 【例6】已知实数yx、满足82yx，当32x时，求 x y 的最大值为 _，最
6、小 值为 _ 【练习】 1、若 4 5ln , 2 3ln , 1 2ln cba，则（） A.cba B.abc C.bac D.cab 2、求函数 12 12 x x y 的值域 . 题型三：两直线位置关系的判断 已知，两直线 21,l l斜率存在且分别为 21,k k，若两直线平行或重合则有 21_ k k， 若两直线垂直则有 21 _ kk. 【例 7】已知直线 1 l的倾斜角为60，直线 2 l经过点3 ,1 ，A，322 ，B，判断直线 1 l与 2 l的位置关系 . 【练习】 1、已知点3,2P，5 ,4Q,aA，1，2,2aB当a为何值时，直线PQ与直 线AB相互垂直？ 2、已
7、 知 直 线 1 m经 过 点3 ,23，aBaA， 直 线 2 m经 过 点5 ,6,3NaM， 若 21 mm，求a的值 . 精品资料欢迎下载 【例8】在平面直角坐标系中，对Ra，直线012:012: 21 和yaxlayxl （） .A互相平行.B互相垂直 .C关于原点对称.D关于直线xy对称 【练习】直线07425084123与yaxayaxa垂直，求a的值 . 题型四：求直线方程 （一）点斜式 【例 9】根据条件写出下列直线的方程： （1）经过点A(1,2),斜率为 2； （2）经过点B（ 1,4 ） ，倾斜角为 135； （3）经过点C（ 4,2 ） ，倾斜角为 90； （4）经过
8、点D（ 3， 2） ，且与 x 轴平行 . 已知直线过一点，可设点斜式 【练习】已知 ABC中，0,26, 241，CBA ， BCAD 于D, 求AD的直线 方程 . （二）斜截式 【例 10】根据条件写出下列直线的方程： （1）斜率为2，在 y 轴上的截距是5； （2）倾斜角为 150，在 y 轴的截距为2； （3）倾斜角为 45，在 y 轴上的截距为0. 已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为 4 3 ，且与坐标轴围成的三角形周长是12 的直线l的方程 . 精品资料欢迎下载 （三）截距式 【例 12】根据条件写出下列直线的方程： （1) 在 x 轴上的截距为3，在 y 轴上的截距为2
9、； （2) 在 x 轴上的截距为1，在 y 轴上的截距为4； 与截距相关的问题，可设截距式 【练习】直线l过点3,4P，且在轴轴、 yx上的截距之比为1:2 ，求直线l的方程 . （四）两点式 【例 11】求经过下列两点的直线方程： （1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“两点确定一条直线” 【练习】过点1 ,0M作直线l，使他被两条已知直线04:103: 21 yxlyxl和所 截得的线段AB被点M平分 . 求直线l的方程 . 【例 12】1、已知点A（3,3 ）和直线l： 2 5 4 3 xy. 求： （1）经过点A且
10、与直线l平行的直线方程； （2）经过点A且与直线 l垂直的直线方程 . 2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A（ 1,0 ） ，B （2,0 ） ，C （ 2,3 ） ，试求 AB边上的高的 直线方程 .( 思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？） 【例 13】已知直线l的斜率为2，且l和两坐标轴围成面积为4 的三角形， 则直线l的方程为 精品资料欢迎下载 _ 【练习】已知，直线l经过点（ 5，4） ，且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线 l的方程为 _ 【例 14】直线l不经过第三象限，其斜率为k，在 y 轴上的截距为b（0b） ，则（） A.00bk且B.00bk且C.00bk且D.
11、00bk且 【练习】两条直线y=ax+b 与 y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（） A B C D 三、课后练习 选择题： 1、若直线l ：y=kx-3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范 围（） A 6 ， 3 ) B( 6 ， 2 ) C( 3 ， 2 ) D 6 ， 2 2、已知直线l1 ： （ k-3 ）x+（5-k ）y+1=0 与 l2 ：2 （k-3 ）x-2y+3=0 垂直，则 K的值是 （） A1 或 3 B1 或 5 C1 或 4 D1 或 2 3、直线 y=3x 绕原点逆时针旋转90，再向右平移1 个单位，所得到的直
12、线为（） A 3 1 3 1 xy B 1 3 1 xy C 33 xy D 13xy 填空题： 1、在平面直角坐标系中，如果x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确 的是 _ （写出所有正确命题的编号） 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数，则直线y=kx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点 直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 2、若点21 ，P在直线 l上的射影为1 , 1Q ，则直线 l的方程为 _. 3、在平面直角坐标系xOy 中， 过坐标原点的一条直线与函数f(x)= x 2 的图象交于P、 Q两点， 则线段 PQ长的最小值是_. 解答题： 1、设直线1 l ：1 1xky ， 2 l：1 2 xky，其中实数 21,kk 满足02 21kk ，证明1 l 与 2 l相交 . 2、已知直线方程为bkxy，当13,8,4,3时yx，求此直线的方程. 精品资料欢迎下载 3、当20a时，直线 1 l：422:422 22 2 ayaxlayax与和两坐标轴围成 一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小?并求出最小面积.