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1、精品资料欢迎下载 圆的方程 【知识要点】 一、圆的标准方程 1、圆的定义 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 由此我们可知： 以点( , )C a b为圆心，以 r为半径的圆的标准方程为 222 ()()xaybr. 2、圆的标准方程的推导 设圆心为( , )C a b，半径为r，点 M 满足的条件为 PM MCr . 由两点距离 公式可知，点( , )M x y满足的条件为 22 ()()xaybr . 把上式两边平方，得： 222 ()()xaybr 即圆的彼岸准方程为 222 ()()xaybr. 3、圆的标准方程的特点 圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小. 确定圆的要素有两个：

2、 圆心和半 径，其中圆心确定了圆的位置， 半径确定了圆的大小 . 在确定圆的过程中， 如果 由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程 时，一般利用圆的标准方程求解. 4、圆的几个特殊位置的标准方程 （1）圆心在原点(0,0)O，半径为r的圆的标准方程为 222 xyr； （2）半径为r且与x轴相切于点( ,0)a的圆的标准方程为 222 ()()xayrr； （3）半径为r且与 y 轴相切于点(0, )b的圆的标准方程为 222 ()()xrybr； 精品资料欢迎下载 （4）半径为r且与x轴、 y 轴都相切的圆的标准方程为 222 ()()xryrr. 二、圆的一般

3、方程 1、方程 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件 二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件为： 0AC； 0B； 22 40DEAF. 其中，条件与条件皆为二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆 的必要条件 . 因为若二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF仅满足条件 与条件，那么二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF可以转化为 22 0 DEF xyxy AAA . 对上式配方可得： 22 22 2 4 ()() 224 DEDEAF xy AAA （i ）当 22 40DEAF时，原方程表示一个点(,) 22 DE AA ；

4、 （ii ）当 22 40DEAF时，原方程不表示任何图形； （iii）当 22 40DEAF时，原方程表示一个圆，其圆心为(,) 22 DE C AA ， 半径为 22 4 2 DEAF r A . 2、圆的一般方程 二元二次方程 22 0xyDxEyF表示圆的充要条件为： 22 40DEF. 对二元二次方程 22 0xyDxEyF，配方可得： 22 224 ()() 224 DEDEF xy 精品资料欢迎下载 （i ）当 22 40DEF时，原方程表示一个点(,) 22 DE ； （ii ）当 22 40DEF时，原方程不表示任何图形； （iii）当 22 40DEF时，原方程表示一个圆，

5、其圆心为(,) 22 DE C，半径 为 22 4 2 DEF r. 因而，当 22 40DEF时，我们把方程 22 0xyDxEyF叫作圆的一般 方程. 3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化 （1）圆的一般方程化为圆的标准方程： 把圆的一般方程： 22 0xyDxEyF（注意隐含条件： 22 40DEF） 配方可得圆的标准方程： 22 22 4 ()() 224 DEDEF xy； （2）圆的标准方程化为圆的一般方程： 把圆的标准方程： 222 ()()xaybr展开可得圆的一般方程： 22222 220xyaxbyabr. 三、点与圆的位置关系 1、平面内一点与圆的位置关系的判定 已知

6、圆的方程为 222 ()()xaybr，显然圆心为( , )C a b，半径为r，那么平面 内一点 00 (,)P xy与圆 222 ()()xaybr的位置关系有： （1）点 P 在圆上 222 00 ()()xaybrPCr ； （2）点 P 在圆内 222 00 ()()xaybrPCr ； （3）点 P 在圆外 222 00 ()()xaybrPCr . 精品资料欢迎下载 2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离 平面内一点 P 到圆上的点的最大距离为PCr ；点 P 到圆上的点的最小距离为 PCr （其中， C 为圆的圆心，r为圆的半径） . 四、确定圆的方程的方法 确定圆的方程

7、的重要方法是待定系数法. 1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、 求系数，即列出关于a、b、r的方程组，求出a、b 、r的值，或直接求出圆 心( , )a b及半径r. 一般步骤如下： Step 1 ：根据题意，设所求圆的标准方程为 222 ()()xaybr； Step 2 ：根据已知条件，建立关于a、 b、r的方程组； Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得 到所要求的圆的方程 . 【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其 圆心( , )a b及半径r，这样的话，将会大大减少计算量 . 一般

8、可以利用圆心的三个 几何性质： 圆心在过切点且垂直于切线的直线上； 圆心在某一条弦的垂直平分线上； 圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点. 2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列 方程组、求系数 . 在圆的一般方程 22 0xyDxEyF中，含有三个相互独 精品资料欢迎下载 立的参数 D 、E 、F ，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D 、E、 F 的方程组，求出 D 、 E、 F 的值，最终确定出圆的一般方程. 一般步骤如下： Step 1 ：根据题意，设所求圆的一般方程为 22 0xyDxEyF； Step 2 ：根据已知条件，建立关于D 、

9、 E 、 F 的方程组； Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得 到所要求的圆的方程 . 五、圆的直径式方程的求法 设 11 (,)A xy、 22 (,)B xy是圆的某条直径的两个端点，( ,)P x y为圆上任意异于点A、 B 的一点，则90APB，即 PAPB，于是有1 PAPB kk，而 1 1 PA yy k xx ， 2 2 PB yy k xx ， 12 12 1 yyyy xxxx ，故有 1222 ()()()()0xxxxyyyy，此 即圆的直径式方程 . 六、常见的圆系方程 1、过定直线与定圆的交点的圆系方程 过定直线 l ：0Ax

10、ByC和定圆 22 0xyDxEyF的交点的圆系方程为 22 ()0xyDxEyFa AxByC. 2、过两圆的交点的圆系方程 过两圆 22 111 0xyD xE yF和 22 222 0xyD xE yF的交点的圆系方程 为 2222 111222 ()0xyD xE yFxyD xE yF，特别地，当1时， 该方程表示两圆公共弦所在直线的方程. 精品资料欢迎下载 【例题解析】 题型 1 圆的定义 1、若方程 222 (2)20a xayaxa 表示圆，则 a _. 解：方程 222 (2)20a xayaxa 表示圆 212 2 aaaa或 （）若 1a ， 则原方程即为 012 22

11、xyx ，亦即 2)1 22 yx（ ， 表示圆； （）若 2a ，则原方程即为 02444 22 xyx ，亦即 0 2 122 xyx )( 这里， 2 1 ,0, 1FED . 由于 012014 22 FED 因此，方程 )( 不表示任何图形。 故 1a 题型 2 圆心到直线的距离 2、圆 22 28130xyxy 的 圆 心 到 直 线 10axy 的 距 离 为1 ， 则 a _. 解：圆 3 4 - 22 28130xyxy 的标准方程为 3)4()1( 22 yx ，圆心为（1， 4） 圆心（ 1，4）到直线 10axy 的距离为 1 3 4 1 1 141 2 a a a 题

12、型 3 圆的标准方程和一般方程 3、经过坐标 原点 和点 )1 , 1(P ，且圆心在直线 0132yx 上的圆的方程为 精品资料欢迎下载 _. 解： 1 01 01 op k ，OP中点为 ) 2 1 , 2 1 ( OP的中垂线方程为 2 1 ) 2 1 (1 2 1 xxy ，即 01yx 所求圆的圆心在直线 0132yx 上，而弦 OP的中垂线也过圆心 联立 01 0132 yx yx 可得 3 4 y x ，此即所求圆的圆心为（4，-3） 又圆的半径 5)03()04( 22 r 故圆的方程为 25)3()4( 22 yx 4、经 过点 )2,3(A ， ( 5, 2)B 且 圆 心

13、 在 直 线 230xy 上 的 圆 的方 程 为 _. 解： 2 )3(5 22 ABk ，AB中点为 )0,4( AB的中垂线方程为 )4( 2 1 0xy ，即 042yx 所求圆的圆心在直线 230xy 上，而弦 AB的中垂线也过圆心 联立 042 032 yx yx 可得 1 2 y x ，此即所求圆的圆心为（ -2 ，-1） 又圆的半径 10)21()3(2 2 2 r 故圆的方程为 10) 1()2( 22 yx 5、若圆心在 x 轴上、半径为 5 的 O位于y 轴左侧，且与直线 20xy 相切。 则 O 的方程为 _. 解：设圆心为 )0 ,(a ，由题意知， 0a 精品资料欢

14、迎下载 O 与直线 20xy 相切 圆心 )0,(a 到直线 20xy 的距离等于半径 于是有 55 21 02 22 a a ，舍去 5a 故 O 的方程为 5)5( 22 yx 6、已知圆的半径为 10 ，圆心在直 线 2yx 上，且圆被直线 yx 所截得的弦长 为4 2。则圆的标准方程为 _. 解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形 因此弦心距 2) 2 24 ()10( 22 d 又所求圆的圆心在直线 2yx 上 所以可设所求圆的圆心为 )2 ,(aa 于是有 22 11 2 22 a aa 故所求圆的标准方程为 10)4()2(10)4()2( 2222 yxyx或 7、经过

15、( 2, 4)P ， (3, 1)Q 两点，且在 x轴上所截得的弦长为 6 的圆的方程为 _. 解：设所求圆的方程为 0 22 FEyDxyx 由于圆过 ( 2,4)P ， (3, 1)Q 两点 因此 02042FED ， 0103FED 又圆被 x 轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为 )0 ,( 1 xA , 右端点为 )0 ,( 2 xB 则 6 21 xx 精品资料欢迎下载 由 0 0 22 y FEyDxyx 得， 0 2 FDxx FxxDxx 2121 , 于是由 6 21 xx ，有 364 2 FD 由得， 8,4,2FED 或 0,8,6FED 故所求圆的方程为 0842 2

16、2 yxyx 或 086 22 yxyx 8、经过 )2,4(P ， )3 , 1(Q 两点，且在 y 轴上所截得的弦长为 34 的圆的方程为 _. 解：设所求圆的方程为 0 22 FEyDxyx 由于圆过 )2,4(P ， )3, 1(Q 两点 因此 02024FED ， 0103FED 又圆被 y 轴所截得的弦长为 34 ，设该弦上顶点为 ),0( 1 yA ，下顶点为 ),0( 2 yB 则 34 21 yy 由 0 0 22 x FEyDxyx 得， 0 2 FEyy Eyy 21 ， Fyy 21 于是由 34 21 yy ，有 484 2 FE 由得， 12, 0,2FED 或 4

17、,8,10FED 故所求圆的方程为 0122 22 xyx 或 04810 22 yxyx 题型 4 与圆的有关的最值问题 9、在圆 22 260xyxy 内，过点 (0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC和 BD 。 则四边形 ABCD 的面积为 _. 精品资料欢迎下载 解：圆 22 260xyxy ，即 10)3()1( 22 yx ，圆心为 )3 , 1 (F ，半径 10r 5)13()01 ( 22 EF 圆 22 260xyxy 内过点 (0,1)E 的最长弦为 1022rAC ， 最短弦为 52510222 2 2 EFrBEBD . 故 21052102 2 1 2 1 2 1

18、 22BDACBEACSS ABCABCD四边形 【方法总结】（）直径是圆内最长弦；在所有过圆内某点的弦当中，垂直于过 该点的直径的弦最短。 下证： BDAC 证明： BE BE BE BE EFBE BFEFBE BEF 52 5 52 105 2 cos 22222 DE DE DE DE EFDE DFEFDE DEF 52 5 52 105 2 cos 22222 180DEFBEF 0 52 5 52 5 0coscos 22 DE DE BE BE DEFBEF 055 22 BEBEDEDEDEBE 5)(5)(DEBEDEBEDEBEDEBE 而 20)52()2()( 222

19、 2 DEBEDEBEBD ，当且仅当“ DEBE ” 时， “”成立。 这表明，当 BD 取得最小值 52 时， DEBE . 又 AC 是圆内过点 E的直径 故 BDAC （2）对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半。 精品资料欢迎下载 10、已知实数 , x y满足方程 22 410xyx . （1）求 y x 的最大值和最小值； （2）求 xy 的最大值和最小值； （3）求 22 yx 最大值和最小值 . 解：方程 22 410xyx ，即 3)2( 22 yx 表示圆，该圆圆心为 )0 ,2( ，半径 3r （1）令 k x y ，则 0ykx k x y 当直线 0yk

20、x 与圆 3)2( 22 yx 相切时，其斜率 k 取得最大值和最小值 于是有 33 )1( 02 22 k k k 故 3 maxx y ， 3 minx y （2）令 bxy ，则 0byx 当直线 0byx 与圆 3)2( 22 yx 相切时，其斜率 k 取得最大值和最小值 于是有 623 ) 1(1 02 22 b b 故 62 max xy ， 62 min xy （3） 22 yx 表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方 由平面几何知识知， 22 yx 在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大 值和最小值 由于坐标原点到圆心的距离为2 因此 347)32()2( 22 max

21、 22 ryx ； 347)32()2( 22 min 22 ryx . 精品资料欢迎下载 【方法总结】 与圆有关的最值问题，可借助图形，利用数形结合求解。一般地： （）形如 ax by 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （）形如 byax 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； （）形如 22 )()(byax 的最值问题， 可转化为两点之间的距离的平方的 最值问题。 题型 5 圆的参数方程的应用 11、（1）把圆的参数方程 sin53 cos54 y x （为参数）化为标准方程； （2）若实数 x ， y 满足 042 22 yxyx ，求 yx 的最大值 . 解： （1）由

22、 sin53 cos54 y x 得， sin53 cos54 y x 于是有 25)sin(cos25sin25cos25)3()4( 222222 yx 故所求圆的标准方程为 25)3()4( 22 yx （2）将圆 042 22 yxyx 的一般方程变形为标准方程 5)2()1( 22 yx 于是该圆的参数方程为 sin52 cos51 y x （为参数） sin52 cos51 y x 于是 sin5cos53)sin52()cos51(yx 103) 4 3 sin(103) 4 3 sin(253)cossin(53 故 yx 的最大值为 103 题型 6 与圆的有关的综合问题 1

23、2、曲线 C： 1 11 22 yx ，下列说法中不正确的是（） 精品资料欢迎下载 A. 曲线 C关于原点对称 B. 曲线C关于直线 0yx 对称 C. 曲线 C是封闭的，且封闭图形的面积大于2 D. 曲线 C与曲线D ： 22yx 有四个交点，这四个交点构成的图形是正方 形 解：对于 A：设 ),( 00 yxP 是曲线 C ： 1 11 22 yx 上任意一点 则 1 11 2 0 2 0 yx 设点 Q为点 ),( 00 yxP 关于坐标原点的对称点 则 ),( 00 yxQ 1 11 )( 1 )( 1 2 0 2 0 2 0 2 0 yxyx 点 ),( 00 yxQ 也在曲线 C

24、： 1 11 22 yx 上 故曲线 C关于原点对称 对于 B：设 ),( 00 yxP 是曲线 C： 1 11 22 yx 上任意一点 则 1 11 2 0 2 0 yx 设点 Q为点 ),( 00 yxP 关于直线 0yx ，即 xy 的对称点 则 ),( 00 xyQ 1 1111 2 0 2 0 2 0 2 0 yxxy 点 ),( 00 xyQ 也在曲线 C： 1 11 22 yx 上 精品资料欢迎下载 故曲线 C关于直线 0yx 对称 对于 C：设 ),( 00 yxP 是曲线 C ： 1 11 22 yx 上任意一点 则 1 11 2 0 2 0 yx 于是有 1 2 0 x ，

25、 1 2 0 y)1,(), 1( 0 x ， )1,(), 1 ( 0 y 故曲线 C： 1 11 22 yx 不是封闭图形（是封闭图形的话， x、 y 的取值范围是有 限区间） 对于 D：显然，曲线 C： 1 11 22 yx 与曲线 D： 22yx 都关于坐标原点、 x 轴、 y 轴对称，并且它们有四个交点，分别为 )2,2(),2,2(),2,2(),2,2( ，而这四个交点恰好是一个正方形的四 个顶点 故这四个顶点构成的图形是正方形 注：证明：点 ),( 00 yx 关于直线 xy 的对称点为 ),( 00 xy 证：设 ),( 00 yxP ， ),(nmQ 为点 ),( 00 y

26、xP 关于直线 xy 的对称点 nmxy nmxy mxny mx ny 00 00 00 0 0 22 11 则 于是 0 0000 2 )()( y xyxy m ， 0 0000 2 )()( x xyxy n 故 ),(),( 00 xyQnmQ ，即点 ),( 00 yxP 关于直线 xy 的对称点为 ),( 00 xyQ 13、已知两点 )1 , 0(A ， ), 2(mB ，若经过点 A和点 B，且与 x 轴相切的圆有且只有 精品资料欢迎下载 一个，求 m的值及圆的方程 . 解：由题意可设所求圆的方程为 222 )()(bbyax （ )0(b ） 则由该圆过 )1 ,0(A ，

27、 ),2(mB 两点，有 )(044)1( )()2( )1 ( 22 222 222 mmaam bbma bba （）当 1m 时，方程 )( 即为 1)11( 2 1 , 1044 2 baa 此时所求圆的方程为 1)1()1( 22 yx （）当 1m 时，由方程 )( 有唯一解，有 0)4)(1(4)4( 22 mmm 即 0)52( 2 mmm 而 052 2 mm ， 所以 0m 代入方程 )( 中，得 2 5 ) 12( 2 1 ,2044 22 baaa 此时所求圆的方程为 4 25 ) 2 5 ()2( 22 yx 故当 1m 时，所求圆的方程为 1) 1()1( 22 y

28、x ；当 0m 时，所求圆的方程为 4 25 ) 2 5 ()2( 22 yx . 14、设 0,1),( 2 yxyyxA ， 0),(myxyxC ， 若 CA ， 则m 的取值范围为 _. 解： （法一）曲线 2 1xy ， 0y ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0 ,0( ， 半径 1r 的下半圆周（不包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 精品资料欢迎下载 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到

29、） 当直线 l： 0myx 过点 )0 ,1 ( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C ： 2 1xy ， 0y ， 即下半圆周 1 22 yx ， 0y 相切时，圆心 )0,0( 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又曲线 C： 2 1xy ， 0y 与直线 l ： 0myx 有公共点 故 12m ，即 m的取值范围为 )1 ,2 （法二）对于曲线 C： 2 1xy ，即下半圆周 1 22 yx ， 0y ， 令 sin cos y x ， 2 则点 )sin,(cosM ， )2,( 是曲线 C 上的点 曲线 C

30、： 2 1xy ， 0y 与直线 l ： 0myx 有公共点 方程 0sincosm 在 )2 ,( 上有解 于是有 ) 4 sin(2cossinsincosm 又 2 4 9 44 5 于是 2 2 ) 4 sin(1 故 12m ，即m的取值范围为 )1 ,2 注： （1）当曲线 C： 2 1xy 与直线 l： 0myx 有且仅有一个公共点时， 可求得 m 的取值范围为 2)1 , 1 。解法如下： 精品资料欢迎下载 曲线 2 1xy ， 0y ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0 ,0( ，半径 1r 的下 半圆周（不包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线

31、l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,1( 时，有 1001mm 当直线 l： 0myx 过点 )0 ,1 ( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C ： 2 1xy ， 即下半圆周 1 22 yx ， 0y 相切时，圆心 )0,0( 到直线 l ： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又曲线 C： 2 1xy 与直线 l ： 0

32、myx 有且仅有一个公共点 故 11m 或 2m ，即 m的取值范围为 2) 1 , 1 （2）当曲线 C： 2 1xy 与直线 l ： 0myx 有两个公共点时，可求得 m 的取值范围为 )1,2( 。解法如下： 曲线 2 1xy ， 0y ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0 ,0( ，半径 1r 的下 半圆周（不包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线

33、l ： 0myx 过点 )0 ,1( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C ： 2 1xy ， 即下半圆周 1 22 yx ， 0y 精品资料欢迎下载 相切时，圆心 )0,0( 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又曲线 C： 2 1xy 与直线 l ： 0myx 有两个公共点 故 12m ，即 m的取值范围为 )1,2( 15、若直线 l ： 0myx 与曲线 C ： 2 1xy 有公共点，则 m 的取值范围为 _. 解： （法一）曲线 C ： 2 1xy ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0,0(C

34、，半径 1r 的上半圆周（包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m 个单位得到；当 0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,1( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1xy ，即上半圆周 1 22 yx ， 0y 相 切时， 圆心 )0 ,0(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又直线 l ： 0myx

35、 与曲线 C： 2 1xy 有公共点 故 21m ，即 m的取值范围为 2, 1 （法二）对于曲线 C： 2 1xy ，即上半圆周 1 22 yx ， 0y ， 令 sin cos y x ， 0 精品资料欢迎下载 则点 )sin,(cosM ， ,0 是曲线 C 上的点 直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1 xy ，即上半圆周 1 22 yx ， 0y 有公共 点 方程 0sincosm 在 ,0 上有解 于是有 ) 4 sin(2cossinsincosm 又 0 4 5 44 于是 1) 4 sin( 2 2 故 21m ，即 m的取值范围为 2, 1 注： （1）当直线 l ：

36、 0myx 与曲线 C ： 2 1xy 有且仅有一个公共点时， 可求得 m 的取值范围为 2)1 , 1 。解法如下： 曲线 C： 2 1xy ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0,0(C ，半径 1r 的上半 圆周（包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,1( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,1

37、 ( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1xy ，即上半圆周 1 22 yx ， 0y 相 切时， 精品资料欢迎下载 圆心 )0 ,0(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1xy 有且仅有一个公共点 故 11m 或 2m ，即 m 的取值范围为 2)1 , 1 （2）当直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1xy 有两个公共点时， 可求得 m的 取值范围为 )2,1 。解法如下： 曲线 C： 2 1xy ，即 1 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0,0

38、(C ，半径 1r 的上半 圆周（包含两个端点 )0 ,1( ， )0, 1( ） 直线l： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,1 ( 时，有 1001mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： 2 1xy ，即上半圆周 1 22 yx ， 0y 相 切时， 圆心 )0 ,0(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 11 00 22 r mm d （舍去）或22mm 又直线 l ： 0my

39、x 与曲线 C： 2 1xy 有两个公共点 故 21m ，即 m 的取值范围为 )2, 1 16、已知曲线 C ： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有两个交点，则 m的取 值范围为 _. 解： 曲线 C ： xxy2 2 ，即 1)1( 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0, 1(C ，半 精品资料欢迎下载 径 1r 的上半圆周（包含两个端点 )0,2( ， )0, 0( ） 直线l： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直

40、线 l ： 0myx 过点 )0,0( 时，有 0000mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： xxy2 2 ， 即上半圆周 1)1( 22 yx ， 0y 相切时，圆心 )0, 1(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 1 11 01 22 r mm d （舍去）或1212mm 又曲线 C： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有两个交点 故 120m ，即 m的取值范围为 )12,0 注： （1）当曲线 C： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有交点时，可求得 m的取 值范围为 12, 2 。解法如下： （法一）曲线 C： xxy2 2 ，即 1) 1( 22 yx

41、， 0y 表示圆心为 )0, 1(C ， 半径 1r 的上半圆周（包含两个端点 )0, 2( ， )0, 0( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,2( 时，有 2002mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： xxy2 2 ， 即上半圆周 1)1( 22 yx ， 0y 相切时，圆心 )0, 1(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 1 11 01 22 r mm d

42、 精品资料欢迎下载 （舍去）或1212mm 又曲线 C： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有交点 故 122m ，即 m的取值范围为 12,2 （法二）对于曲线 C： xxy2 2 ，即上半圆周 1) 1( 22 yx ， 0y ， 令 sin cos1 y x ，即 sin 1cos y x ，0 则点 )sin, 1(cosM ， ,0 是曲线 C上的点 直线 l ： 0myx 与曲线 C： xxy2 2 ，即上半圆周 1) 1( 22 yx ， 0y 有公 共点 方程 0sin1cosm 在 ,0 上有解 于是有 1) 4 sin(21cossinsin1cosm 又 0 4 5

43、 44 于是 1) 4 sin( 2 2 故 122m ，即 m的取值范围为 12,2 （2）当曲线 C： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有且仅有一个交点时，可求 得m的取值范围为 12)0 ,1 。解法如下： 曲线 C： xxy2 2 ，即 1)1( 22 yx ， 0y 表示圆心为 )0 ,1(C ，半径 1r 的上半圆周（包含两个端点 )0,2( ， )0, 0( ） 直线 l ： 0myx ，即 mxy ，可以看作是由直线 xy 上下平移 m 个单 位得到的（具体而言，当 0m 时， 由直线 xy 向上平移 m个单位得到；当0m 时，由直线 xy 向下平移 m个单位得到） 精

44、品资料欢迎下载 当直线 l ： 0myx 过点 )0 ,2( 时，有 2002mm 当直线 l： 0myx 过点 )0,0( 时，有 0000mm 当直线 l ： 0myx 与曲线 C： xxy2 2 ， 即上半圆周 1)1( 22 yx ， 0y 相切时，圆心 )0, 1(C 到直线 l： 0myx 的距离 1 2 1 11 01 22 r mm d （舍去）或1212mm 又曲线 C： xxy2 2 与直线 l ： 0myx 有且仅有一个交点 故 02m 并且 12m ，即 m的取值范围为 12)0 ,2 17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点 )0 ,2(M ，AB 边所在的直线方程

45、为 063yx ，点 )1 ,1(T 在 AD边所在的直线上 . （1）求 AD边所在直线的方程； （2）求矩形 ABCD 的外接圆的方程 . （3）若动圆 P过点 )0,2(N ，且与矩形 ABCD 的外接圆外切，求动圆 P的圆心的 轨迹方程 . 解 ： （ 1 ） 由AB 边 所 在 的 直 线 方 程 为 063yx ， 且 ABAD ， 有 31 3 1 ADAD kk 由点 )1 , 1(T 在 AD边所在的直线上，可得AD边所在直线的方程为 33)1( 31xxy ，此即 023yx （2）矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 )0,2(M 点 )0,2(M 为矩形 ABCD 的外

46、接圆的圆心 联立 023 063 yx yx ，得 2 0 y x ，即点 A的坐标为 )2,0( 于是所求圆的半径 22)2(0)02( 22 AMr 精品资料欢迎下载 故矩形 ABCD 的外接圆的方程为 8)2( 22 yx （3）动圆P过点 )0, 2(N ，且与矩形 ABCD 的外接圆外切 动圆 P的半径等于 PN ，且 22PNPM （注：点 P必在x轴左侧） 由此有 22PNPM ，而 224MN 所以点 P的轨迹是以 )0,2(N 、 )0 ,2(M 为左、右焦点的双曲线的左支，其中 222a ， 42c2a ， 2c 于是 2 222 acb 故动圆 P的圆心的轨迹方程为 1

47、22 22 yx （ 2x ） 18、设圆 C与两圆 4)5( 22 yx ， 4)5( 22 yx 中的一个内切， 另一个外 切。 （1）求圆 C的圆心轨迹 L的方程； （2）已知点 )5 5 4 ,5 5 3 (M ， )0 ,5(F ，且 P为圆心轨迹 L 上一个动点，求 FPMP 的最大值及此时点 P的坐标 . 解： （1）设圆 C的圆心坐标为 ),(yxC ，半径为 r 圆 4)5( 22 yx 的圆心为 )0 ,5( 1 F ，半径为 2； 圆 4)5( 22 yx 的圆心为 )0 ,5( 2 F ，半径为 2 由圆 C与两圆 4)5( 22 yx ， 4)5( 22 yx 中的一

48、个内切，另一个外切， 有 2 2 2 1 rCF rCF 或 2 2 2 1 rCF rCF 于是有 4 21 CFCF ，而 452 21F F 所以圆 C的圆心轨迹 L是以 )0 ,5( 1 F ， )0,5( 2 F 为焦点的双曲线，其中 42a ， 522c ，即 2a ， 5c 145 222 acb 精品资料欢迎下载 故圆 C的圆心轨迹 L的方程为 1 4 2 2 y x （2）在 MPF 中， MFFPMP ； 当 PFM、 三点共线，且点P在MF的延长线上时， FPMP 取得最大值 MF ， 且 2 5 16 5 4 )5 5 4 ()5 5 2 ()05 5 4 ()55 5 3 ( 2222 MF ， 即 2 max FPMP ，此时直线 MF 的方程为 522)5( 55 5 3 05 5 4 xxy 联立 522 1 4 2 2 xy y x 得 08453215 2 xx 解得： 5 5 6 P x 或 5 15 14 P x （舍去） 代入 522xy 中得， 5 5 2 525 5 12 P y 于是点 P的坐标为 )5 5 2 ,5 5 6 (P 故当 FPMP 取得最大值 2 时，点 P的坐标为 )5 5 2 ,5 5 6 (P .