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1、精品资料欢迎下载 2017 年 01 月 03 日坐标系与参数方程组卷2 一解答题（共30 小题） 1选修 44：坐标系与参数方程 曲线 C1的参数方程为（为参数），在以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴 的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为 cos2 =sin （1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若射线l：y=kx （x 0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B 异于原点），当斜 率 k（ 1， 时，求 | OA| ?| OB| 的取值范围 2已知曲线C1的极坐标方程是 ，曲线 C2的参数方程是 是参数） （1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方
2、程； （2）求 t 的取值范围，使得C1，C2没有公共点 3已知直线l 的参数方程为（t 为参数）曲线 C 的极坐标方程为 =2 直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与y 轴交于点P （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求的值 4以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴已知点 P 的直角坐标为 （ 1， 5） ， 点 M 的极坐标为（4，） 若直线l 过点 P，且倾斜角为，圆 C 以 M 为圆心，半径为 4 （）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （）试判定直线l 和圆 C 的位置关系 5己知圆C1的参数方程为 （为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴
3、为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为 =2cos（ ） （）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （）圆 C1， C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由 6选修 44 坐标系与参数方程 已知直线l 过定点与圆 C：相交于 A、B 两点 求： （1）若 | AB| =8，求直线l 的方程； （2）若点为弦 AB 的中点，求弦AB 的方程 精品资料欢迎下载 7在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为C（ 2，） ，半径为 2以极点为原点，极轴为x 的 正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为 参数） （）求圆C 的
4、极坐标方程； （）设l 与圆 C 的交点为A，B，l 与 x 轴的交点为P，求 | PA|+| PB| 8直角坐标系中曲线C 的参数方程为（为参数） （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）经过点 M（ 2，1）作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若 M 恰好为线段AB 的三等分点， 求直线 l 的斜率 9在平面直角坐标系xOy 中，动点A 的坐标为（ 23sin ，3cos 2） ，其中 R在极 坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线C 的方程为 cos（ ） =a （）写出动点A 的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状； （）若直线C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共
5、点，求实数a 的值 10 （选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 为参数），P 为 C1上的动点， Q 为线段 OP 的中点 （）求点Q 的轨迹 C2的方程； （）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中， N 为曲线 =2sin上的动点， M 为 C2与 x 轴的交点，求 | MN | 的最大值 11在直角坐标系xOy 中，圆 C1和 C2的参数方程分别是 （为参数）和 （为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C1和 C2的极坐标方程； （2）射线 OM ： =a 与圆 C1的交点为 O、 P，与圆 C
6、2的交点为O、Q，求 | OP| ?| OQ| 的最 大值 12已知曲线C1的参数方程为 （其中 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 cos sin +1=0 （1）分别写出曲线C1与曲线 C2的普通方程； （2）若曲线C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求线段AB 的长 精品资料欢迎下载 13已知曲线C1的参数方程为 （t 为参数），当 t=1 时，曲线 C1上的点为 A，当 t= 1 时，曲线C1上的点为 B以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = （1）求 A、 B 的极坐标； （2）设 M 是曲
7、线 C2上的动点，求| MA | 2+| MB|2 的最大值 14 已知曲线C1的参数方程为 （t 为参数）， 当 t=0 时， 曲线 C1上对应的点为P 以 原点 O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 = （I）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （）设曲线C1与 C2的公共点为A，B，求 | PA| ?| PB| 的值 15在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1： （为参数，实数a0） ，曲线 C2： （为参数，实数b0） 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，射线l： = （ 0，0 ）与 C1交于 O、A 两点， 与 C2交
8、于 O、B 两点 当 =0 时， | OA | =1；当 =时， | OB| =2 （）求a，b 的值； （）求2| OA | 2+| OA | ?| OB| 的最大值 16在直角坐标系xOy 中，直线 l 的方程是y=6，圆 C 的参数方程是（为参 数） 以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）分别求直线l 与圆 C 的极坐标方程； （）射线OM ： = （0 ）与圆 C 的交点为O、P 两点，与直线l 的交于点 M射 线 ON： = +与圆 C 交于 O，Q 两点，与直线l 交于点 N，求?的最大值 17已知曲线C 的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
9、轴 为极轴建立极坐标系，A，B 的极坐标分别为A（2， ） ， （）求直线AB 的直角坐标方程； （）设M 为曲线 C 上的动点，求点M 到直线 AB 距离的最大值 精品资料欢迎下载 18在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为的直线：（t 为参数） 与曲线 C： （为参数）相交于不同的两点A， B （1）若 =，求线段 AB 的长度； （2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，） ，求证： | PA| ?| PB| =| OP| 2 19以坐标原点O 为极点， O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程 为 =2（sin +cos +） （1）写出曲线C 的参数方程； （2）在曲线
10、C 上任取一点P，过点 P作 x 轴，y 轴的垂线， 垂足分别为A，B，求矩形 OAPB 的面积的最大值 20已知曲线C 的极坐标方程为 =2cos 4sin 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数） （）判断直线l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由； （）若直线l 和曲线 C 相交于 A，B 两点，且 | AB| =3，求直线l 的斜率 21已知在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数），以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 24 cos +3=0 （）求直线l 的普通方程和
11、曲线C 的直角坐标方程； （）设点P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离 d 的取值范围 22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），它与曲线 C： （y2） 2x2=1 交于 A、B 两点 （1）求 | AB| 的长； （2）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，） ， 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 23已知在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为（为参数），以坐标 原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 （）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （）设 M 是直线
12、 l 上任意一点，过M 做圆 C 切线，切点为A、B，求四边形AMBC 面积 的最小值 精品资料欢迎下载 24已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 24 （sin +cos ）+4=0 （）写出直线l 的极坐标方程； （）求直线l 与曲线 C 交点的极坐标（ 0，0 2 ） 25在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 （t 是参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 =8cos（ ） （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线 C2
13、交于 A，B 两点，求 | AB | 的最大值和最小值 26在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是 y=8，圆 C 的参数方程是（为 参数） 以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l 和圆 C 的极坐标方程； （2）射线 OM： = （其中）与圆 C 交于 O、P两点，与直线l 交于点 M，射线 ON：与圆 C 交于 O、Q 两点，与直线l 交于点 N，求的最大值 27已知曲线E 的极坐标方程为，倾斜角为的直线 l 过点 P（ 2，2） （1）求 E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设 l1， l2是过点 P 且关于直线x=2 对称的两条直线，l1与
14、E 交于 A，B 两点， l2与 E 交于 C，D 两点求证： | PA| ：| PD| =| PC| ：| PB| 28 在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （为参数） 以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出C1的极坐标方程； （）设曲线C2：+y 2=1 经伸缩变换 后得到曲线C3，射线 = （ 0）分 别与 C1和 C3交于 A，B 两点，求 | AB | 29已知曲线C 的极坐标方程为 4cos =0，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面 直角坐标系，直线l 过点 M（3，0） ，倾斜角为 （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l
15、的参数方程； （2）设直线l 与曲线 C 交于 AB 两点，求 | MA |+| MB| 30在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为（为参数），已知以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为 = （ 0） （注：本题 限定： 0， 0，2 ） ） （1）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程； 精品资料欢迎下载 （2）设射线 l 与椭圆 C 相交于点A，然后再把射线l 逆时针 90 ，得到射线OB 与椭圆 C 相 交于点 B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明 理由 精品资料欢迎下载 2017 年 01 月 03 日坐标系与参数方程组卷2
16、参考答案与试题解析 一解答题（共30 小题） 1 （ 2016?福建模拟）选修44：坐标系与参数方程 曲线 C1的参数方程为（为参数），在以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴 的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为 cos2 =sin （1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若射线l：y=kx （x 0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B 异于原点），当斜 率 k（ 1， 时，求 | OA| ?| OB| 的取值范围 【解答】 解： （1）曲线 C1的直角坐标方程为（x 1） 2+y2=1，即 x2+y22x=0， 曲线 C1的极坐标方程为 22 cos =0，
17、即 =2cos 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 =sin ，即 2cos2 = sin ， 曲线 C2的直角坐标方程为x2=y （2）设射线l 的倾斜角为 ， 则射线 l 的参数方程为（t 为参数，） 把射线 l 的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2 2tcos =0， 解得 t1=0，t2=2cos | OA | =| t2| =2cos 把射线 l 的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos 2 t 2=tsin ， 解得 t1=0，t2= | OB| =| t2| = | OA | ?| OB| =2cos?=2tan =2k k（ 1， ， 2k（ 2，2 | OA | ?|
18、OB| 的取值范围是（2，2 2 （ 2016?南安市校级模拟）已知曲线C1的极坐标方程是 ，曲线 C2的参数方程是 是参数） （1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； （2）求 t 的取值范围，使得C1，C2没有公共点 【解答】 解： （1）曲线 C1的直角坐标方程是x2+y 2=2，表示以原点（ 0， 0）为圆心，半径 等于的圆 曲线 C2的普通方程是， 表示一条垂直于x 轴的线段， 包括端点 （5 分） 精品资料欢迎下载 （2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时， C1， C2没有公共点， 解得，即 t 的取值范围为（0，）（， +） （10 分） 3 （ 2
19、016?湖南模拟）已知直线l 的参数方程为（t 为参数）曲线 C 的极坐标方 程为 =2直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与y 轴交于点P （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求的值 【解答】 解： （1）由曲线C 的极坐标方程 =2，展开为 ， 2=2 sin +2 cos ， 普通方程是x 2+y2=2y+2x， 即（ x1）2+（y1） 2=2 （2）设直线与曲线C 交于 A，B 两点，与y 轴交于点P， 把直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程 （x1）2+（y1）2=2 中， 得 t2t1=0， ， 精品资料欢迎下载 = 4 （ 2016?三亚校级模拟）以直角坐标系的原点
20、O 为极点， x 轴的正半轴为极轴已知点P 的直角坐标为（1，5） ，点 M 的极坐标为（4，） 若直线l 过点 P，且倾斜角为， 圆 C 以 M 为圆心，半径为4 （）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （）试判定直线l 和圆 C 的位置关系 【解答】 解： （1）直线l 过点 P（ 1，5） ，倾斜角为， 设 l 上动点坐标为Q（ x，y） ，则=tan=， 因此，设， 得直线 l 的参数方程为（t 为参数） 圆 C 以 M（ 4，）为圆心， 4 为半径， 圆心坐标为（0，4） ，圆的直角坐标方程为x 2+（ y4）2=16 ，圆 C 的极坐标方程为 =8sin （2）将直线l 化
21、成普通方程，得， 点 C 到直线 l 的距离 d=4=r， 直线 l 和圆 C 相交 5 （ 2016?呼伦贝尔一模）己知圆C1的参数方程为 （为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为 =2cos（ ） （）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （）圆 C1， C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由 【解答】 解： （I）由圆 C1的参数方程， 消去参数可得： x2+y2=1 由圆 C2的极坐标方程 =2cos（ ） ，化为? ， x 2+y2=2x+2y即（ x1）2+（y1）2=2 （I
22、I ）由 x2+y 2=1，x2+y2=2x+2y可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1 精品资料欢迎下载 圆心（ 0，0）到此直线的距离d= 弦长 | AB | =2= 6 （ 2016?衡水模拟）选修44 坐标系与参数方程 已知直线l 过定点与圆 C：相交于 A、B 两点 求： （1）若 | AB| =8，求直线l 的方程； （2）若点为弦 AB 的中点，求弦AB 的方程 【解答】 解： （1） 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k，则， 由圆 C：消去参数化为 x 2+y2=25，圆心 C （0，0） ，半径 r=5 圆心 C （ 0，0）到直线 l 的距离 d=，
23、| AB | =8， 8=2，化为， 直线 l 的方程为，即 3x+4y+15=0； 当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为x=3，满足 | AB| =8，适合题意 （2） kOP= =，AB OP， kAB=2 直线 AB 的方程为，化为 4x+2y+15=0 联立，解得 弦 AB 的方程为4x+2y+15=0 7 （2016?衡水校级模拟）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为C（2，） ，半径为 2以极 点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程 为（ t 为参数） 精品资料欢迎下载 （）求圆C 的极坐标方程； （）设l 与圆 C 的交点为A，B，l
24、 与 x 轴的交点为P，求 | PA|+| PB| 【解答】 解： （I）在直角坐标系中，圆心的坐标为， 圆 C 的方程为即， 把 x= cos ， y= sin代入可得：， 即 （II ）法一：把（t 为参数）代入得 t2=4， 点 A、B 对应的参数分别为t1=2， t2=2， 令得点 P 对应的参数为 | PA|+| PB| =| t1t0|+| t2 t0| =+= 法二：把把（t 为参数）化为普通方程得， 令 y=0 得点 P 坐标为 P（4，0） ， 又直线l 恰好经过圆C 的圆心 C， 故 8 （ 2016?郑州校级模拟）直角坐标系中曲线C 的参数方程为（为参数） （1）求曲线C
25、 的直角坐标方程； （2）经过点 M（ 2，1）作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若 M 恰好为线段AB 的三等分点， 求直线 l 的斜率 【解答】 解： （1）变形曲线C 的参数方程可得， cos2 +sin2 =1， 曲线 C 的直角坐标方程为+=1； （2）设直线l 的倾斜角为 ， 可得直线l 的参数方程为（t 为参数） 代入曲线 C 的直角坐标方程并整理得（cos2 +4sin 2 ）t2+（4cos +8sin ） t8=0 由韦达定理可得t1+t2= ，t1t2= 精品资料欢迎下载 由题意可知t1=2t2，代入上式得12sin 2 +16sin cos +3cos2 =0，
26、 即 12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k= 9 （2016?衡阳县模拟） 在平面直角坐标系xOy 中，动点 A 的坐标为（23sin ， 3cos 2） ， 其中 R在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线C 的方程为 cos（ ）=a （）写出动点A 的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状； （）若直线C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值 【解答】 解： （I）设动点 A（x， y） ， 则 A 的轨迹的参数方程为， （ 为参数） 化成普通方程为（x2）2+（y+2）2=9 A 的轨迹为以（ 2， 2）为圆心，以3 为半径的 圆 （II ）
27、 cos（ ）=a， cos +=a， 曲线 C 的直角坐标方程为 直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点， =3，解得 a=3 或 a=3 10 （2016?江西模拟） （选做题） 在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为 为参数），P 为 C1上的动点， Q 为线段 OP 的中点 （）求点Q 的轨迹 C2的方程； （）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中， N 为曲线 =2sin上的动点， M 为 C2与 x 轴的交点，求 | MN | 的最大值 【解答】 解： （）设 Q（x，y） ，则 Q 为线段 OP 的中点，点P（2x， 2y
28、） ， 又 P 为 C1上的动点，曲线C1的参数方程为 （ t 为参数） （t 为参数） 点 Q 的轨迹 C2的方程为（ t 为参数）； （）由（）可得点M（1，0） ， 曲线 =2sin 精品资料欢迎下载 2=2 sin x 2+y2=2y x 2+（y1）2=1 即曲线 =2sin的直角坐标方程为x2+（y1） 2=1 | MN | 的最大值为 11 （2016?柳州模拟）在直角坐标系xOy 中，圆 C1和 C2的参数方程分别是 （为参数）和（为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系 （1）求圆 C1和 C2的极坐标方程； （2）射线 OM ： =a 与圆 C1的交点
29、为 O、 P，与圆 C2的交点为O、Q，求 | OP| ?| OQ| 的最 大值 【解答】 解： （1）圆 C1（为参数）， 转化成直角坐标方程为：（ x2） 2+y2=4 即： x2+y 24x=0 转化成极坐标方程为： 2=4 cos 即： =4cos 圆 C2（为参数）， 转化成直角坐标方程为：x 2+（y1）2=1 即： x2+y 22y=0 转化成极坐标方程为： 2=2 sin 即： =2sin （2）射线 OM ： =与圆 C1的交点为 O、P，与圆 C2的交点为 O、Q 则： P（2+2cos ，2sin ） ，Q（cos ，1+sin ） 则： | OP| =， | OQ| =
30、 则： | OP| OQ| = = 设 sin +cos =t（） 则： 则关系式转化为： 4= 由于： 精品资料欢迎下载 所以： （| OP| OQ| ）max= 12 （2016?大庆校级模拟）已知曲线C1的参数方程为 （其中 为参数），以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 cos sin +1=0 （1）分别写出曲线C1与曲线 C2的普通方程； （2）若曲线C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求线段AB 的长 【解答】 解： （1）曲线 C1的参数方程为（其中 为参数），消去参数可得： 曲线 曲线 C2的极坐标方程为 cos sin +1=0，可得
31、直角坐标方程：曲线C2：xy+1=0 （2）联立，得 7x2+8x8=0， 设 A（x1，y1） ，B（ x2，y2） ，则， 于是 故线段 AB 的长为 13 （2016?郑州校级模拟）已知曲线C1的参数方程为 （t 为参数），当 t=1 时，曲 线 C1上的点为A，当 t=1 时，曲线 C1上的点为B以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 = （1）求 A、 B 的极坐标； （2）设 M 是曲线 C2上的动点，求| MA | 2+| MB|2 的最大值 【解答】 解： （1）当 t=1 时，即 A 的直角坐标为A（ 1，） ； 当 t=1 时，即 B
32、 的直角坐标为B（1，） A 的极坐标为A， B 的极坐标为B （2）由 =，得 2（4+5sin2 ）=36， 精品资料欢迎下载 曲线 C2的直角坐标方程为=1 设曲线 C2上的动点M 的坐标为 M （3cos ，2sin ） ， 则| MA | 2+| MB |2=10 cos2 +1626， | MA | 2+| MB |2 的最大值为26 14 （2016?曲靖校级模拟）已知曲线C1的参数方程为 （t 为参数），当 t=0 时， 曲线 C1上对应的点为P以原点 O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = （I）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方
33、程； （）设曲线C1与 C2的公共点为A，B，求 | PA| ?| PB| 的值 【解答】 解： （I）因为曲线C1的参数方程为（t 为参数）， 消去参数t，得曲线C1的普通方程为3x4y 4=0； 又曲线 C2的极坐标方程为=， 2sin2 =4 cos ， 化为普通方程是y2=4x； 所以曲线 C2的直角坐标方程为y 2=4x； （4 分） （II ）当 t=0 时， x=0，y=1，所以点P（0， 1） ； 由（ I）知曲线C1是经过点P的直线，设它的倾斜角为 ， 则， 所以， 所以曲线 C1的参数方程为（ T 为参数）， 将上式代入y 2=4x，得 9 T 2110 T+25=0， 所
34、以 （10 分） 15 （2016?大连模拟）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1： （为参数，实 数 a0） ，曲线 C2：（为参数，实数b0） 在以 O 为极点， x 轴的正半 精品资料欢迎下载 轴为极轴的极坐标系中，射线l： = （ 0，0 ）与 C1交于 O、A 两点，与C2交 于 O、B 两点当 =0 时， | OA| =1；当 =时， | OB| =2 （）求a，b 的值； （）求2| OA | 2+| OA | ?| OB| 的最大值 【解答】 解： （）由曲线C1：（为参数，实数a0） ， 化为普通方程为（xa） 2+y2=a2，展开为： x2+y22ax=0， 其极坐标方程
35、为 2=2a cos ，即 =2acos ，由题意可得当 =0 时， | OA | = =1， a= 曲线 C2：（为参数，实数b0） ， 化为普通方程为x2+（yb） 2=b2，展开可得极坐标方程为 =2bsin ， 由题意可得当时， | OB| = =2， b=1 （）由（ I）可得 C1，C2的方程分别为 =cos ， =2sin 2| OA| 2+| OA | ?| OB| =2cos2 +2sin cos =sin2 +cos2 +1= +1， 2 +，+1 的最大值为+1， 当 2 +=时， =时取到最大值 16 （2016?河南模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=6
36、，圆 C 的参数方程是 （为参数）以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）分别求直线l 与圆 C 的极坐标方程； （）射线OM ： = （0 ）与圆 C 的交点为O、P 两点，与直线l 的交于点 M射 线 ON： = +与圆 C 交于 O，Q 两点，与直线l 交于点 N，求?的最大值 【解答】 解： （I）直线 l 的方程是y=6，可得极坐标方程： sin =6 圆 C 的参数方程是（为参数），可得普通方程：x 2+（y1）2=1， 展开为 x 2+y22y=0化为极坐标方程： 2 2 sin =0，即 =2sin （II ）由题意可得：点P，M 的极坐标方程为： （2si
37、n ， ） ， | OP| =2sin ，| OM| =，可得= 同理可得：= 精品资料欢迎下载 ?=当时，取等号 17 （2016?商丘三模）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以坐标原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B 的极坐标分别为A（2， ） ， （）求直线AB 的直角坐标方程； （）设M 为曲线 C 上的动点，求点M 到直线 AB 距离的最大值 【解答】解： （） 将 A、 B 化为直角坐标为A （2cos ， 2sin ） 、， 即 A、B 的直角坐标分别为A（ 2，0） 、， 即有， 可得直线 AB 的方程为， 即为 （）设M（2cos ，sin ） ， 它到
38、直线 AB 距离 =， （其中） 当 sin（ + ）=1 时， d 取得最大值， 可得 18（ 2016春?丰城市校级期中） 在直角坐标系xOy 中， 设倾斜角为 的直线： （t 为参数）与曲线C：（为参数）相交于不同的两点A， B （1）若 =，求线段 AB 的长度； （2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，） ，求证： | PA| ?| PB| =| OP| 2 【解答】 解： （1）由曲线C：（为参数），可得 C 的普通方程是=1 当时，直线方程为：（t 为参数）， 代入曲线 C 的普通方程，得13t2+56t+48=0， 则线段 AB 的长度为 精品资料欢迎下载 （2）证明：将直线l
39、 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 化为： （cos2 +4sin2 ）t2+（8sin +4cos ）t+12=0， ， 而直线的斜率为，则代入上式求得| PA| ?| PB| =7 又， | PA| ?| PB| =| OP| 2 19 （2016?山西三模）以坐标原点O 为极点， O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C 的极坐标方程为 =2（sin +cos +） （1）写出曲线C 的参数方程； （2）在曲线 C 上任取一点P，过点 P作 x 轴，y 轴的垂线， 垂足分别为A，B，求矩形 OAPB 的面积的最大值 【解答】解：（ 1） 由得 2=2 （ sin + cos +
40、1） ， 所以 x2+y2=2x+2y+2， 即（ x1）2+（y1） 2=4 故曲线 C 的参数方程（为参数） （2）由（ 1）可设点P 的坐标为（ 1+2cos ， 1+2sin ） ， 0，2 ） ， 则矩形 OAPB 的面积为S=| （1+2cos ） （1+2sin ） | =| 1+2sin +2cos +4sin cos ）| 令，t2=1+2sin cos ， ， 故当时， 20 （2016?广东模拟） 已知曲线C 的极坐标方程为 =2cos 4sin 以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（ t 为参数） （）判断直线l 与曲线 C
41、的位置关系，并说明理由； （）若直线l 和曲线 C 相交于 A，B 两点，且 | AB| =3，求直线l 的斜率 【解答】 解： （）曲线C 的极坐标方程为 =2cos 4sin ， 2=2 cos 4 sin ， 曲线 C 的直角坐标方程为x2+y 2=2x4y，即（ x1）2+（y+2）2=5， 直线 l 过点（ 1， 1） ，且该点到圆心的距离为， 精品资料欢迎下载 直线 l 与曲线 C 相交 （）当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心， | AB| =23， 因此直线l 必有斜率，设其方程为y+1=k（ x1） ，即 kxyk1=0， 圆心到直线l 的距离=， 解得 k=1， 直线
42、l 的斜率为 1 21 （2016?衡阳二模）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为， （t 为参 数） ，以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 24 cos +3=0 （）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （）设点P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离 d 的取值范围 【解答】 解： （I）根据直线l 的参数方程为， （t 为参数）， 消去 t， 得， 故直线 l 的普通方程为：； 依据曲线 C 的极坐标方程为 24 cos +3=0 结合互化公式，得到： 曲线的直角坐标方程为（x 2）2+y 2=1， （ 4 分
43、） （ II ）设点 P（2+cos ，sin ） （ R） ， 则 所以 d 的取值范围是 （10 分） 22 （2016?岳阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），它与曲线C： （y 2） 2x2=1 交于 A、B 两点 （1）求 | AB| 的长； （2）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，） ， 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 精品资料欢迎下载 【解答】 解： （1）设点 A，B 的参数分别为t1，t2 把直线 l 的参数方程（t 为参数）代入曲线C： （ y2） 2x2=1， 化为 t24t10=0 t1
44、+t2=4，t1t2=10 | AB | =| t1t2| = （2）由点 P 的极坐标（ 2，） ，可得 xP= =2， yP=2， P（ 2，2） 线段 AB 中点 M 所对的参数t=2， xM=2 =3， yM=2+ M | PM| =2 23 （2016?汉中二模）已知在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 （）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （）设 M 是直线 l 上任意一点，过M 做圆 C 切线，切点为A、B，求四边形AMBC 面积 的最小值 【解答】 解： （）圆 C 的参
45、数方程为（为参数）， 所以圆 C 的普通方程为（x3） 2+（y+4）2=4 （2 分） 由得 cos + sin =2， cos =x， sin =y， 直线 l 的直角坐标方程x+y2=0 （ 4 分） （）圆心C（3， 4）到直线 l：x+y2=0 的距离为d= （6 分） 由于 M 是直线 l 上任意一点，则| MC| d=， 四边形 AMBC 面积 S=2AC ?MA=AC=22 四边形 AMBC 面积的最小值为 （10 分） 精品资料欢迎下载 24 （2016?葫芦岛二模）已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐
46、标方程为 24 （sin +cos ） +4=0 （）写出直线l 的极坐标方程； （）求直线l 与曲线 C 交点的极坐标（ 0，0 2 ） 【解答】 解： （）直线l 的参数方程为（t 为参数）， 消去参数t，得到直线l 的普通方程x+y2=0， 再将代入 x+y2=0，得 cos + sin =2 （5 分） （）联立直线l 与曲线 C 的极坐标方程 ， 0，0 2 ，解得或， l 与 C 交点的极坐标分别为（2，0） ， （2，） （10 分） 25 （2016?张掖模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 是 参数） ，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =8cos （ ） （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求 | AB | 的最大