【优质文档】实际问题与二元一次方程组题型归纳.pdf

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1、精品资料欢迎下载 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联 系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： (1) 方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一；(3) 方程两边的数值要相等. 知识点 二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1审题 : 弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数 : 可直接设元，也可间接设元； 3找出题目中的等量关系；4列出方程组 : 根据题目中

2、能表示全部含义的等量关系列出方程， 并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案 . 要点诠释： (1) 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果 是否合理，不符合题意的解应该舍去； (2) “设”、 “答”两步，都要写清单位名称； (3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；注 意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时， 不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单

3、位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含 的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。 知识点 三：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 类型一：列二元一次方程组解决行程问题 (1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观， 画线段 , 用图便于理解与分析。其等量关系式是: 两者的行程差开始时两者相距的路程； ； (2) 相遇问题 : 相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直 观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。 (3) 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的

4、速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。 注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题 类似。 精品资料欢迎下载 例 1甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分 相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发 半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨： 画直线型示意图理解题意： (1) 这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2) 有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米

5、 ; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 . 解： 设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米 . 根据题意，列方程组解这个方程组，得: . 答：汽车行驶了165 千米，拖拉机行驶了85 千米 . 总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题 的常用的解决策略。 【变式 1】甲、乙两人相距36 千米， 相向而行， 如果甲比乙先走2 小时， 那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多 少千米？ 【变式 2】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时

6、，逆流用20 小时，求船在静 水中的速度和水流速度。 精品资料欢迎下载 类型二：列二元一次方程组解决工程问题 工程问题： 工作效率工作时间=工作量 . 例 2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24 天完 成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨： 本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施 工， 8 天可以完成，需付两

7、组费用共3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独 做 12 天可完成，需付两组费用共3480 元。设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店 应付 y 元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520, 由第二层含义可得方程6x+12y=3480. 解 ：(1) 设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付300 元，乙组单独做一天商店应付140 元。 (2) 单独请甲组做，需付款300 123600 元，单独请乙组做，需付款241403360 元， 故请乙组单独做费用最少。 答：请乙组单独做费用最少。

8、总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将 工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进 行分析。 【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元； 若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元 . 若只选一个公司单 独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题 (1) 利润售价成本( 进价 ) ；(2)；(3) 利润成本（进价）利 润率； 定价成本 ( 进价

9、) (1 利润率 ) ；(5) 实际售价标价打折率； 注意： “商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按 标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 精品资料欢迎下载 例 3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整 后，甲商品的利润率为4% ，乙商品的利润率为5% ，共可获利44 元，则两件商品的进价分别是多少 元？ 思路点拨 ：做此题的关键要知道：利润进价利润率 解：甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，由题意得： ，解得： 答：两件商品的进价分别为600 元和

10、 400 元。 【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000 元， 其中甲种蔬菜每亩获利2000 元，乙种蔬菜每亩获利1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 多少亩？ 【变式 2】某商场用36 万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元 / 件）1200 1000 售价（元 / 件）1380 1200 (4) （注：获利 = 售价 进价）求该商场购进A 、B两种商品各多少件； 类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题 (1) 基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金

11、叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。 (2) 基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1 利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 精品资料欢迎下载 税后利息利息 (1 利息税率 ) 年利率月利率12 。 注意： 免税利息 =利息 例 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱， 一种是年利率为2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储

12、蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20% ，教育储蓄没有利息所得 税） 思路点拨：设教育储蓄存了x 元，一年定期存了y 元，我们可以根据题意可列出表格： 解：设存一年教育储蓄的钱为x 元，存一年定期存款的钱为y 元，则列方程： ，解得： 答：存教育储蓄的钱为1500 元，存一年定期的钱为500 元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找 出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随 之浮现出来 . 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可 得利

13、息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注： 公民应缴利息所得税=利息金额 20% ） 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第 一种，一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%； 第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共得利息303.75 元( 不计 利息税 ) ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 精品资料欢迎下载 类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的

14、比例=每一套各部分之间的比例。 例 5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ，应分别用多少布料才能使做的衣 身和衣袖恰好配套？ 思路点拨： 本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132 米；第二个 相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍( 注意： 别 把 2 倍的关系写反了). 解： 设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得： 答：用 60 米布料做衣身，用72 米布料做衣袖才能使做的衣身

15、和衣袖恰好配套. 总结升华： 生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的 配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数 量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【变式 2】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺 栓 14 个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人

16、生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好 配套。 【变式 3】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做桌腿 300 条。现有5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的 桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 精品资料欢迎下载 类型六：列二元一次方程组解决增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是：原量(1 增长率 ) 增长后的量； 原量 (1 减少率 ) 减少后的量 . 例 6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20% ，总支 出比去年减少了10% ，今年的利润为780 万元，去年

17、的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨 ：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则有 总产值（万元）总支出（万元）利润（万元） 去年x y 200 今年120%x 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润 =总产值总支出和表格里的已知量和未知量，可以 列出两个等式。 解： 设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得： 答：去年的总产值为2000 万元，总支出为1800 万元 总结升华： 当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。 【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 【变式 2】某城市现有人口42 万，估计一年后城

18、镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全 市人口增加1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口。 类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量， 总量倍数倍量. 例 7. “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖” 帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶 制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 精品资料欢迎下载 思路点拨： 找出已知量和

19、未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍 数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。 解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得： ， 解得： 所以： 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷6 千顶 . 【变式 1】 “地球一小时”是世界自然基金会在20XX 年提出的一项倡议号召个人、社区、 企业和政府在每年3 月最后一个星期六20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时，旨在通过一个人人可 为的活动，让全球民众共同携手关注气候

20、变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城 市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别 有多少个城市参加了此项活动 【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看 到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍，你知道男孩与女孩 各有多少人吗？ 类型八：列二元一次方程组解决数字问题 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整数 时，奇数可表示为2n+1( 或 2n-1) ，偶数可表示为2n 等 有关两位数的基本等量关系式为：两位数

21、=十位数字10+个位数字 例 8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数 大 2178，求这两个两位数。 思路点拨 ：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。 问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y x 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得： ，解得： 答：这两个两位数分别为45，23. 【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是

22、23；这个两位数除以它的各位 数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ 精品资料欢迎下载 【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数 字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？ 【变式 3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位 数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 类型九：列二元一次方程组解决浓度问题 浓度问题： 溶液质量浓度=溶质质量 . 例 9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水的 比是 4 1，今要

23、得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨： 本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题 中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（ 2）混合前两种溶 液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和 混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含 纯酒精与水的比。 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得： ， 答：甲取20kg，乙取 30kg 法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x k

24、g 和 5y kg ， 则甲种酒精溶液含水7x kg ，乙种酒精溶液含水y kg ，根据题意得： ， 所以 10x=20,5y=30. 答：甲取20kg，乙取 30kg 总结升华 ：此题的第（ 1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问 题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的 关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未 知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知 数。 举一反三： 【变式 】要配浓度是45% 的盐水 12 千克， 现有 1

25、0% 的盐水与 85% 的盐水， 这两种盐水各需多少？ 精品资料欢迎下载 类型十：列二元一次方程组解决几何问题 几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积、体积等计算公式 例 10 如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 思路点拨 ：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相 等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为 y，就可以列出关于x、y 的二元一次方程组。 解 ：设长方形地砖的长xcm, 宽 ycm，由题意得： ， 答：每块长方形地砖的长为45cm 、宽为 15cm。 总结升华： 几

26、何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真 分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。 举一反三： 【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米， 补到较短边上去， 则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m ，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？ 类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题 年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的 例 11今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在

27、父亲和儿子的 年龄各是多少？ 思路点拨： 解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义，即6 年后父子俩都长了6 岁。今 年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，根据这两个相等关系列方程。 解：设现在父亲x 岁，儿子y 岁，根据题意得： ， 答：父亲现在30 岁，儿子6 岁。 精品资料欢迎下载 总结升华： 解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样 增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。 【变式】 今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的 三分之一 . 试求出今年小李的年龄.

28、 类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题： 优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的 使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。 注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点, 比较几种方案得出最佳 方案 例 12某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售， 每吨利润可达4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬 菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨；如果进行细 加工， 每天可加

29、工6吨 . 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内 将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 思路点拨： 如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这 一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决， 并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.

30、解： 方案一获利为：4500140=630000( 元). 方案二获利为：7500(6 15)+1000 (140 615)=675000+50000=725000( 元). 方案三获利如下： 设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得： ，解得： 所以方案三获利为：750060+450080=810000( 元). 因为 630000725000810000，所以选择方案三获利最多 答：方案三获利最多，最多为810000 元。 总结升华： 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案 的具体结果，再进行比较从中选择最优方案. 举一反三： 【变式 】某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电 视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元。 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的 进货方案； (2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、 200 元、 250 元，在以上的方案 中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？