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1、量子力学复习 一、关于状态 1. 波函数及其几率诠释 1.1. ( , )x t与 ( , )r t 1.1.1 相对几率密度 1.1.2 归一化、“归一化”到函数及箱归一化 1.2 ( , )p t与 ( , )p t 1.3. Q 表象中状态用列矩阵表达 1.4. 右矢 1.5 旋量波函数 1.5.1 电子自旋状态的描述 自旋向上态，1 2 ， 1 0 自旋向下态， 1 2 ， 0 1 1.5.2 旋量波函数 1 1121 222 ( ; ) ( ,; )( ; )( ; ) ( ; ) z r t r s tr tr t r t 1.6 多粒子体系波函数12 ( ,; )r rt 1.6
2、.1 非全同粒子体系波函数-不考虑交换对称性 1.6.2 全同玻色子体系波函数-粒子交换对称 1.6.3 全同费米子体系波函数-粒子交换反对称 1.7 常用的特殊态 1.7.1 ( )x 1.7.2 / 1 ( ) 2 ipx p xe 1.7.3 无线深方势阱中的能量本征函数 2 ( )sin,0 n n x xxa aa ；( )0,0, n xxxa 1.7.4 一维线性谐振子能量本征函数 22 /2 ( )() x nnn xN eHx 11 11 22 nn x nnn 1 ?11 22 nn p ninn 1.7.5 ? z l的本征函数即平面转子能量本征函数 1 ( ) 2 im
3、 m e 1.7.6 2 ? l的本征函数即空间转子能量本征函数( ,) l m Y(cos )e mim lml NP 1.7. 7 氢原子能量本征函数 ( , ,)( )( ,) nlmnll m rRr Y或 ( , ,)( )( , ) ss nlmmznll mm rsRr Y 2. 波函数的标准条件连续单值有限 3. 束缚态与非束缚态(游离态、电离态) 4. 波函数满足薛定谔方程 22 2 ( , )( , ) ( , )( , ) 2 x tx t iV x tx t tmx 2 2( , ) ( , )( , )( , ) 2 r t ir tV r tr t tm 5. 定态
4、与非定态 6. 薛定谔方程的求解 6.1 能量本征方程 (定态薛定谔方程) ? nnn HE 6.2 含时薛定谔方程的特解(定态解 ) / ( , )( ) n iE t nn r tr e 6.3 含时薛定谔方程的一般解 / ( , )( ) n iE t nn n r tcr e 6.4 含时薛定谔方程的定解 满足(, 0 )(rr的解， * (,)()() nnn cxx d x 7. 几率密度及几率流密度 * 2 i j m * ? Re p m 8. 态叠加原理 8.1 nn n c 8.2 测量值及相应概率 若 n是力学量 A 具有确定值na的状态，则体系处于 nn n c 时 A
5、 的测值：12,naaa 相应概率 222 12 , n ccc 8.3 波函数坍缩 (量子态坍缩 ) 若测得 A 的值为na，则体系状态由坍缩至n 二、关于力学量 1. 力学量算符 1.1 用线性厄密算符表示 1.2 测量值是算符本征值 1.3 从经典量向量子力学的力学量过渡：先对称化再量子化 2 常用力学量算符 2.1 坐标算符x 2.2 动量算符 ? ?, x pipi x 2.3 角动量算符 2 ? , z lil 2.4 宇称算符 ? 和粒子交换算符 2.4.1 ? ( )()rr ， 即 ? ( , , )(,)x y zxyz 或 ? ( , ,)( ,)rr 2.4.2 11
6、? ( ,; )( ,; ) i jijji Prrrtrrrt 2.5 电子自旋算符与泡利矩阵 2.6 哈密顿算符及能量本征值 2.6.1 无限深方势阱，分立谱 222 2 2 n n E ma 2.6.2 有限深方势阱，分立谱+连续谱 2.6.3 一维线性谐振子 22 22 2 1 ? 22 d Hmx m dx ，分立谱 1 () 2 n En 2.6.4 中心力场 22 2 22 ? ? ()( ) 22 l HrV r mrrrmr 2.6.5 氢原子 222 2 22 ? ? () 22 le Hr mrrrmrr ， 分立谱 +连续谱 24 1 22222 13.6 22 eV
7、n Eee E nn ann . 3. 算符代数 3.1 基本对易关系 ?,xpi 3.2 算符恒等式 3.3 常用对易关系 3.3.1 ? , , x lyi z 3.3.2 ? ? , xyz lpi p 3.3.3 ? ? , xyz lli l ; ? ? lli l 3.3.4 1 ? ? ? , ,( ,) ? nn F x pni px F x pi p 3.3.5 1 ? ? ? , ,( ,) nn F p xni xp F x pi x 4. 力学量平均值 4.1 ? ( ,)FF或 ? (,) / (,)FF 4.2 若 ? nnn Fuf u ，将按 ? F 的正交归一
8、化的本征函数系 n u展开 1122 a ua u，则平均值 222 1122nn n Fafafaf 或 2 2 nn n n n af F a 5. 厄密算符本征函数的性质 5.1 正交性 * ( )( ) mnm n ux ux dx 5.2 完备性 ( , )( )( ) nn n r tct ur 5.3 封闭性 * ( )( )() nn n ux uxxx 6. ? ,0,A BA B有共同的本征函数系 ? ? ,0A B且系统处于 ? ? ,A B的共同本征态，则 ? ? ,A B同时有确定值 7. 不确定度及不确定度关系 222 ()AAAAA 1 ? ? , 2 A BA
9、B， 2 E t 8. 力学量平均值的时间变化率 1 ? ? , dA A H dti 9. 守恒量 10. 两个角动量的耦合 121212 ,1 ,jjjjjjj 三、表象理论 1. Q 表象中态矢量用列矩阵表示 2. Q 表象中力学量用厄密方阵表示 3. 表象变换矩阵为幺正矩阵S 3.1 mn S老 m 新 n 3.2 新表象基矢在老表象中的列矩阵按列排起来 4. 表象变换 4.1 S 4.2 FS FS 5. 狄拉克符号 5.1 状态 5.2 内积 5.3 算符 6. 用狄拉克符号表达的公式 6.1 正交归一 mn m n 6.2 完备性 1 n nn 6.3 薛定谔方程 ( ) ? (
10、 ) t iHt t ， ? nnn HE 6.4 平均值 ? FF 7. ( )xx 四、近似方法 1. 定态非简并能级微扰 (0)(0)(0) ? kkk HE 2 (0) (0)(0) nk kkkk n k kn H EEH EE (0)(0) (0)(0) nk kkn n k kn H EE 2. 定态简并能级微扰 (0)(0)(0) ? ,1,2, kkk HE (1) 111121 (1) 221222 (1) 12 0 n n nnnnn CHEHH CHHEH CHHHE (0)(0)(0) 1122 CC 3. 含时微扰 2 2 0 1 k k t it kkk k WHedt