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1、学习必备欢迎下载 第九章定积分 教学要求： 1 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决 这些实际问题的数学思想方法； 深刻理解并掌握定积分的思想： 分割、近似求和、 取极限，进而会利用定义解决问题； 2. 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计 算定积分； 3. 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质， 掌握可积的充要条件及可积 函数类，能独立地证明可积性的问题；4. 理解并熟练地应用定积分的性质； 5. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 1. 深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿- 莱布尼兹公式计算 定
2、积分； 2. 掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 3. 理解并熟练地应用定积分的性质； 4. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学时数 ：14 学时 1 定积分概念（2 学时） 教学要求： 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等， 以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、 近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 学习必备欢迎下载 教学重点： 深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积 : 2. 变力所作的功 : 二、不积分的定义 : 三、举例 : 例 1已知函数在区间上可积 .
3、用定义求积分 . 解取等分区间作为分法, . 取 .= . 由函数在区间上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例 2已知函数在区间上可积 , 用定义求积分 . 解分法与介点集选法如例1 , 有 学习必备欢迎下载 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分. 例 3讨论 Dirichlet函数在区间上的可积性 . 四、小结：指出本讲要点 2 Newton Leibniz公式（ 2 学时） 教学要求： 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿 - 莱布尼 兹公式计算定积分 . 教学重点： 能够熟练地应用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分 . Th9.1 （ N L
4、公式 ）( 证 ) 例 1 求 ; ; 例 2 求. 3 可积条件（ 4 学时） 教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要 条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类， 能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件 : 学习必备欢迎下载 Th 9.2 ，在区间上有界 . 二、充要条件 : 1. 思路与方案 : 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和 . 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个 “积分和 ”去双逼一般的积分和 , 即用极限的 双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件 . 方案: 定义上和和下
5、和. 研究它们的性质和当时有 相同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数在区间上有界 . 并设 , 其中和分别是函数在区间上的下确界和上 确界 . 定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 唯一确定 . 分别用、和记相应于分法的上（大）和、下 （小） 和与积分和 . 积分和是数集 (多值) . 但总有, 因 此有. 和的几何意义 . 3. Darboux 和的性质 : 本段研究 Darboux 和的性质 , 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示是的加细 . 性质 1 若, 则, . 即 :
6、分法加细 , 大 和不增 , 小和不减 . ( 证 ) 学习必备欢迎下载 性质 2 对任何, 有, . 即 : 大和有 下界, 小和有上界 . ( 证 ) 性质 3 对任何和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 . 证. 性质 4 设是添加个新分点的加细 . 则有 + , . 证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的 分法, 分别设 , , . 显然有和. 于是 . 添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式 . 可类证第一式 . 系设分法有个分点，则对任何分法，有 学习必备欢迎下载 ，. 证. . 4. 上积分和下积分 :设函数在区间上有界 . 由以上性质 2 ，有上界 ，有
7、下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义记, . 分别称和 为函数在区间上的上积分 和下积分 . 对区间上的有界函数, 和存在且有限 , . 并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义 . 例 1求和. 其中是 Dirichlet函数 . 5. Darboux 定理 : Th 1 设函数在区间上有界 , 是区间的分法 . 则有 =, =. 证( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有 . 是显然的 . 因此只证. ) , 对, 使0. 例4 证明不等式. 证明分析所证不等式为只要证明在 上成立不等式, 且等号不恒成立 , 则由性质 4和上例 得所证不等式 . 例 5 证明 . 5 微积分
8、基本定理 . 定积分计算（续）（ 2 学时） 教学要求： 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 学习必备欢迎下载 一. 变限积分与原函数的存在性 引入： 由定积分计算引出 . 1.变限积分 : 定义上限函数， （以及函数） 其中函数. 指出这是一种新的函数 , 也叫做 面积函数 . Th 9 ( 面积函数的连续性 ) 思路： 表达面积函数. 2. 微积分学基本定理： Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数则面 积函数在上可导，且=. 即当时, 面积函数可导且在点的导 数恰为被积函数在上限的值. 亦即
9、是的一个原函数 . 证 系连续函数必有原函数 . 3. 积分第二中值定理 Th11 （积分第二中值定理 ）设函数在上可积， （i ）若函数在上减，且，则存在，使得 学习必备欢迎下载 （ii ）若函数在上增，且，则存在，使得 推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得 二换元积分法与分部积分法： 1. 换元积分法 Th 12 设函数满足条件： , 且; 在上有连续的导函数 . 则. （ 证 ） 例 1. ( P225 ) 例 2 . ( P225 ) 例 3 计算. ( P225226 ) 该例为技巧积分 . 学习必备欢迎下载 例 4 . 该例亦为技巧积分 . 例 5 已知 , 求 例 6 设
10、函数连续且有求积分 例 7 设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （. ） 例 8 2. 分部积分法 Th13 ( 分部积分公式 ) 例 9 例 10计算. 解= ； 学习必备欢迎下载 解得直接求得，. 于是, 当为偶数时 , 有 ; 当为奇数时 , 有. 三. Taylor 公式的积分型余项 : P227 229. 习 题 课 （2 学时） 一 积分不等式： 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1 证明不等式. 证注意在区间 0 , 1 上有 , 例 2证明不等式. 证 考虑函数, . 易见对任何, 在区间上和均单调 , 因此可积 , 且有 , 注意到 , 就有. 而
11、 学习必备欢迎下载 , . 因此有. 取, . 在区间仿以上讨论 , 有. 而 ， . 综上 , 有不等式. 2.某些不等式的积分推广 : 原理: 设函数和在区间上可积 . 为区间的 等分分法 , . 若对任何和, 均有 , 即得. 令, 注意到函数和在区间上可积 , 即得积分不等 式 学习必备欢迎下载 . 倘若函数和连续 , 还可由 . 例 3证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy 不等式 ): 设函数和在区间上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 . 证法一( 由 Cauchy 不等式Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参 阅上册 : 设和为两组实数 ,
12、 则有 . ) 设为区间的等分分法 . 由 Cauchy 不等式 , 有 , 两端同乘以, 有 , 学习必备欢迎下载 令, 注意到函数、和在区间上的可 积性以及函数的连续性，就有积分不等式 . 证法二（ 用判别式法） 对任何实数，有， , 即 对任何实数成 立. 即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 , 即. 例 4 且. 证明不等式 . 证取. 对函数和应用 Schwarz 不等式 , 即得所证 . 例 5 设函数在区间 0 , 1 上可积 . 试证明有不等式 学习必备欢迎下载 . 证先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对, 有不等 式 . 设为区间的等分分法 . 由上
13、述不等式 , 有 . 令, 注意到函数和在区间 0 , 1 上的可积性以 及函数和的连续性，就有积分不等式. 仿该例 , 可得到均值不等式、用Jensen 不等式法证明的某些不等式的积分 形式 . 二. 面积函数的导数 : 例 6 求和 例 7 求和 例 8 求 . 例 9 设时函数连续且. 求.(=) 学习必备欢迎下载 例 10 设函数连续且. 求和. 解令. 两端求导 , = . 例 11设. =. 试证明 : =. 证=, =. 例 12 设函数在区间上连续且0. . 试证明 : 函数在区间内严格递增 . 证= , 而 . 0 , 在内，又连续 ， ，在区间内0 . 因此在区间 内严格递
14、增 . 三. 含有变限积分的未定型极限: 学习必备欢迎下载 例 13求极限. ( 2 ) 四. 定积分的计算 : 例 14 计算积分. 例 15计算积分=. 解时, =; 时, =; 时, =. 因此, 例 16利用积分的值 , 计算积分. 解 . 学习必备欢迎下载 , 而 , . 因此， 例 17 , 求 ( 2) 例 18 设是区间上连续的偶函数 . 试证明 : 是上的奇函数 . 证法 一. 证法 二注意到, 有 = . 五. 利用定积分求和式极限 : 原理 : 用定积分定义， 在函数可积时， 能用特殊的分割及介点取法，计算 定积分 . 学习必备欢迎下载 例 19 求极限. 3 P163 E13 . 与1 例 2 连系. 例 20 求极限. 解=. 由函数在区间 0 , 1 上可积 , 有 =. . 例 21 求极限. 解=. , . 因此 , . 学习必备欢迎下载 例 22 试证明 : 对任何, 有不等式 . 证=是函数=在区间 0 , 1 上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间 0 , 1 上可积 , 有时, . 又易见. 对任何, 有 , 即 .