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1、学习必备欢迎下载 第三章函数极限 教学目的： 1. 使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2. 理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3. 掌握两个重要极限和，并能熟练运用； 4. 理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点 ： 本章的重点是函数极限的概念、 性质及其计算； 难点是海涅定理与柯西准则 的应用。 教学时数 ：14学时 1 函数极限概念（2 学时） 教学目的 ：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函 数极限等有关命题。 教学要求 ：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函 数极
2、限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以 某实数为极限等相应陈述。 教学重点 ：函数极限的概念。 教学难点 ：函数极限的定义及其应用。 一、 复习： 数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一）时函数的极限： 学习必备欢迎下载 以时和为例引入 . 介绍符号 : 的意义 ,的直观意义 . 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意 义 例 1 验证 例 2 验证 例 3 验证 证 （二）时函数的极限： 由考虑时的极限引入 . 定义函数极限的“”定义 . 几何意义 . 用定义验证函数极限的基本思路. 学习必备欢迎下载 例 4 验证 例
3、 5验证 例 6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例 7 验证 例 8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限 : 1定义： 单侧极限的定义及记法 . 几何意义 : 介绍半邻域 学习必备欢迎下载 然后介绍 等的几何意义 . 例 9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有 : 例 10 证明: 极限不存在 . 例 11 设函数在点的某邻域内单调 . 若存在, 则有 = 2 函数极限的性质（ 2 学时） 教学目的 ：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求 ：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以 及有理运算性等。 教学重点 ：函数极
4、限的性质及其计算。 教学难点 ：函数极限性质证明及其应用。 教学方法 ：讲练结合。 一、组织教学： 学习必备欢迎下载 我们引进了六种极限 : , . 以下以极限为例讨论性质 . 均给出证明或简证 . 二、讲授新课： （一）函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性 : 2.局部有界性 : 3.局部保号性 : 4.单调性 ( 不等式性质 ): Th 4 若和都存在 , 且存在点的空心邻域, 使 ，都有 证设= ( 现证对有) 註: 若在 Th 4 的条件中 , 改“”为“”, 未必 就有以举例说明 . 5.迫敛性 : 6.四则运算性质 : ( 只证“ +”和“”) （二）利用极限
5、性质求极限：已证明过以下几个极限： 学习必备欢迎下载 （ 注意前四个极限中极限就是函数值） 这些极限可作为公式用 . 在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限作为 公式用 , 我们将陆续证明这些公式 . 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极 限化为基本极限 , 代入基本极限的值 , 即计算得所求极限 . 例 1 ( 利用极限和) 例 2 例 3 註: 关于的有理分式当时的极限 . 例 4 利用公式 例 5 例 6 例 7 学习必备欢迎下载 例 8 例 9 例 10 已知求和 补充题 : 已知求和 () 3 函数极限存在的条件（ 4 学时） 教学目的 ：理解并运用
6、海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求 ：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点 ：海涅定理及柯西准则。 教学难点 ：海涅定理及柯西准则运用。 教学方法 ：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例. 一.Heine 归并原则函数极限与数列极限的关系： Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义 . 则极限存 在,对任何且都存在且相等 .( 证 ) Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系, 是证明极限不存在 的有力工具 . 对单侧极限 , 还可加强为单调趋于. 参阅1P70. 例 1 证明函
7、数极限的双逼原理 . 学习必备欢迎下载 例 2 证明 例 3 证明不存在 . 二.Cauchy准则: Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定 义. 则存在, 证 ( 利用 Heine 归并原则 ) Cauchy准则的否定 : 不存在的充要条件 . 例 4 用 Cauchy准则证明极限不存在 . 证取 例 5 设在 上函数. 则极限存在, 在上有界 . ( 简证, 留为作业 ). 4 两个重要极限（ 2 时） 教学目的 ：掌握两个重要极限，并能熟练应用。 教学要求 ：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并 能灵活运用。 教学重点 ：两个重要极限的证明及运用
8、。 学习必备欢迎下载 教学难点 ：两个重要极限的证明及运用。 教学方法 ：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一（证）（同理有） 例 1 例 2 . 例 3 例 4 例 5 证明极限不存在 . 二. 证对有 例 6特别当等. 例 7 例 8 学习必备欢迎下载 例 9 5 无穷小量与无穷大量阶的比较（ 2 学时） 教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极 限。 教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概 念，并由此求出某些函数的极限。 一.无穷小量 : 定义. 记法. 例 1判断: 可怜虫是很小很可怜的虫 ; ( ) 无穷小量是很小很小的量
9、 . ( ) 无穷小的性质 : 性质 1 ( 无穷小的和差 ) 性质 2 ( 无穷小与有界量的积 ) 例 2 无穷小与极限的关系 : Th 1 ( 证 ) 二. 无穷小的阶 : 设时 1 高阶（或低阶）无穷小： 2 同阶无穷小： 学习必备欢迎下载 三 等价无穷小： Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 几组常用等价无穷小 : （见2 ） 例 3 时, 无穷小与是否等价 ? 例 4 四.无穷大量 : 1.定义: 2.性质: 性质 1同号无穷大的和是无穷大 . 性质 2无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系 .
10、无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论 , 有平行的结果 . 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小 , 非零无穷小 的倒数是无穷大 习题课（ 2 学时） 一、理论概述： 学习必备欢迎下载 二、范例讲析： 例 1 设数集无界. 试证明 : 存在数列 使 例 2 设为定义在上的递增函数 . 证明: 极限存 在的充要条件是函数在上有上界 . 例 3证明: 对其中是 Riemann函数. 例 4 设函数定义在内, 且满足条件 对有试证明是内的常值函数 . 例 5求极限 注意=有界 例 6求和. 解法一 又 解法二， 由且原式极限存 在， 即. 学习必备欢迎下载 例 7. 求. 注意时,且. 先求由 Heine 归并原则 即求得所求极限. 例 8 求和. 并说明极限 是否存在 . 解; 可见极限不存在 .