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1、学习必备欢迎下载 第十五章Fourier 级数 教学目的： 1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数 的 Fourier 级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确 2L 为周期的函数的Fourier 级数是为周期的函数的 Fourier 级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier 级数和 Fourier 级数的收敛定理。 教学重点难点 ：本章的重点是将一个函数展开成Fourier 级数；难点是 Fourier 级数的收敛性的判别。 教学时数 ：10 学时 1 Fourier 级数 一三角级数与正交函数系 . 1背景： 波的分析：频谱分析 . 基频( ) . 倍频. 函数展
2、开条件的减弱: 积分展开 . 中用 Descates 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介 : 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了 Fourier 分析理 论的基础 . 学习必备欢迎下载 2.三角级数的一般形式 : 一般的三角级数为. 由于, 设, 得三角级数的一般形式 3. 三角级数的收敛性 : Th1 若级数收敛 , 则级数在 R 内绝对且一 致收敛 . 证用 M 判别法 . 4.三角函数正交系统 : （ 1. ） 内积和正交 : 由 R中的内积与正交概念引入. 设函数和在区间上 ( R)可积 . 定义内积为 . 当时 , 称函数和在区间上正交 . 学习必备欢迎下
3、载 函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间 上并不正交 ( 因为) , 但在区间却是正交的 . （2）.正交函数系统: 标准正交系( 幺正系 ) , 完全系 . 三角函数系统 是区间上的正交系统 . 验证如下 : , ; , 对且,有 和. 该系统不是标准正交系, 因为 , . 因此 , 三角函数系统 学习必备欢迎下载 是标准正交系 . （与 R中的坐标系比较 ） 二.以为周期函数的 Fourier 级数： 1 三角级数的系数与其和函数的关系： Th2 若在整个数轴上 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 ， ， 证P64 2 Fourier 系数和 Fourier 级数： Eule
4、rFourier 公式： 设函数在区间上（R）可积，称公式 ， ， 为 EulerFourier 公式. 称由 EulerFourier 公式得到的和为函数 的 Fourier 系数. 并称以 Fourier 系数和为系数的三角级数 学习必备欢迎下载 为函数的 Fourier 级数 , 记为 例 1, . 求函数的 Fourie r 级数. 解是上的奇函数 , ; . 因此, . 例 2设函数满足条件( 称满足该条件的函数为 反周期函数). 问这种函数在区间内的 Fourier 系数具有什么特性 . 解. 而. 因此, . 时, , ; 学习必备欢迎下载 同理得. 三.收敛定理 : 1. 按段
5、光滑函数 : . 定义若的导函数在区间上连续 , 则称函数在区间 上光滑 .若函数在区间上至多有有限个第一类间断点, 且 仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称是 区间上的按段光滑函数 . 按段光滑函数的性质 : 设函数在区间上按段光滑 , 则 在区间上可积 ; 对, 都存在 , 且有 , ( 用 Lagrange 中值定理证明) 在区间上可积 . 2.收敛定理 : Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光 滑 , 则在, 的 Fourier 级数收 敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即 学习必备欢迎下载 , 其中和为函数的 Fourier 系数. ( 证明放到以后进行
6、) 系若是以为周期的连续函数, 在上按段光滑 ,且 则的 Fourier 级数在内收敛于. 3.函数的周期延拓 : 四.展开举例 : 例 3 把函数展开为 Fourier 级数. 解参阅例 1 , 有 例 4展开函数. 解; . 函数在上连续且按段光滑 , 又, 因此有 . 学习必备欢迎下载 ( 倘令, 就有,) 例 5设 求函数的 Fourier 级数展开式 . P67 . 例 1 例 6 把函数展开成 Fourie r 级数. P68 例 2 例 7在区间内把函数展开成 Fourier 级数.练习 1 （2）（i） 解法一( 直接展开) ; ; . 函数在区间内连续且按段光滑 , 因此有
7、, . 学习必备欢迎下载 由于, 该展开式在上成立 . ( 在该展开式中 , 取得, ; 取, . ) 解法二( 间接展开 : 对例 3 中的展开式作积分运算) 由例 3 , 在区间内有. 对该式两端积分 , 由 Fourier 级数 可逐项积分 ,有 . 为求得, 上式两端在上积分 , 有 , 因此 , , . 2 以为周期的函数的展开式 学习必备欢迎下载 一.以为周期的函数的Fourier 级数: 设函数以为周期 , 在区间上 (R )可积 . 作代换, 则函数以为周期. 由是线性函数 , 在区间 上(R )可积 . 函数的 Fourier 系数 为 . . , , 还原为自变量, 注意到
8、, 就有 其中, , 当函数在区间上按段光滑时 , 可展开为 Fourier 级数. 註三角函数系是区间 上的正交函数系统 . 学习必备欢迎下载 例 1把函数展开成 Fourier 级数. P72 例 1 二. 正弦级数和余弦级数 : 1.区间上偶函数和奇函数的Fourier 级数: 2.奇展开和偶展开 : 例 2设, . 求的 Fourier 级数展开式 . P74 例 2 例 3把定义在上的函数 ( 其中之一 展开成正弦级数 . 例 4把函数在内展开成 : 正弦级数 ; 余弦级数 . P76 例 4 3 收敛定理的证明 学习必备欢迎下载 Dini 定理设以为周期的函数在区间上按段光滑 ,
9、则在 每一点, 的 Fourier 级数收敛于在点的左、右极限的算术 平均值 , 即 , 其中和为的 Fourier 系数. 证明思路 : 设对每个, 我们要证明. 即证明 . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 Riemann Lebesgue 定理证明相应积分 的极限为零 . 施证方案 : 1.写出的简缩形式 . 称这一简缩形 式为的积分形式 , 或称为 Dirichlet 积分 , 即 . 利用该表示式 , 式可化为 学习必备欢迎下载 + , 于是把问题归结为证明 , 和. 这两式的证明是相同的 , 只证第一式 . 2.为证上述第一式 , 先利用三角公式 学习必备欢迎下载 建立所谓 D
10、irichlet 积分, 利用该式把表示为积 分,即把表示为 Dirichlet 积分 . 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为 . 3.利用所谓 Riemann Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先 证明 Bessel 不等式 (P78 预备定理 1 ), 再建立 Riemann Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为 . 4.把上式化为应用Riemann Lebesgue 定理的形式 , 即令 , 学习必备欢迎下载 则. 为使最后这一极限等于零 , 由 Riemann Lebesgue 定理, 只要函数 在区间上可积 . 因此希望存在. 由函数在区间上按
11、 段光滑 , 可以验证存在. 预备定理及其推论 : 为实施以上证明方案 , 我们先建立以下预备定理和其 推论. 预备定理 1 ( Bessel 不等式 ) 若函数在区间上可积 , 则有 Bessel 不等式 , 其中和为函数的 Fourier 系数. 证P78 . 推论 1 ( Riemann Lebesgue 定理 ) 若函数在区间上可积 , 则有 , . 证P79 . 学习必备欢迎下载 推论 2 若函数在区间上可积 , 则有 , . 证 P79. 预备定理 2 若是以为周期的周期函数 , 且在区间上可 积, 则函数的 Fourie r 级数部分和有积分表示式 . 当时, 被积函数中的不定式
12、由极限 来确定 . 证P8081. Dirichlet 积分: . 证由三角公式 学习必备欢迎下载 , . Dini 定理的证明 : P8182 . 附註 1.Parseval 等式 ( 或称等式 ) 设可积函数的 Fourie r 级数 在区间上一致收敛于, 则成立 Parseval 等式 . 证法一 注意到此时函数在区间可积 ,由 Bessel 不等式 , 有 . 现证对, 有. 学习必备欢迎下载 事实上 , 令由一致收敛于 ,对对, 有, 因 此 , . 即当时有 . 令, . 由的任意 性, 有 . 综上即得所证 . 证法二由一致收敛于, . 而 . 因此, . 学习必备欢迎下载 由双
13、逼原理 , 即得所证等式 . 证法三利用内积的连续性 ( 可参阅一般泛函书) , 有 = . Parseval 等式还可用公式( 其中 、与、分别是函数和的 Fourier 系数（ 参阅吉林大学邹 承祖等编数学分析习题课讲义上册P427）证明；也可用所谓卷积函数证明. Parseval 等式的意义： 设在幺正系 下函数的 Fourier 系数为和，可见 ，； ，； 同理有; 其中和为函数的通常 Fourier 系数. 于是 , Parseva l 等式即成为 学习必备欢迎下载 . 注意到, 就有 , 这是勾股定理的推广 , 即在坐标系中的勾股定理 . 因此, 可称 Parseval 等 式是无
14、穷维空间中的勾股定理 .( 与三维空间中的勾股定理做比较) . 2.Fourier 级数与三角级数 : Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级 数. 一个三角级数是 Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要 条件为 : 若三角级数为 Fourier 级数, 则数项级数 收敛.( 参阅复旦大学编数学分析下册 P116117 ). 比如正弦级数 是收敛的三角级数 (利用 Dirichlet 判别法 ), 由级数发散, 正弦级数 不是 Fourier 级数. 学习必备欢迎下载 例
15、证明: 当时, 三角级数在 R 内收敛 , 但其和函 数在区间上不是 ( R )可积的 . 证由 Dirichlet 判别法, 可得该级数在内收敛 . 反设和函数 在区间在上( R )可积, 则该三角级数是函数的 Fourier 级 数 . 由于也在上( R )可积 , 则有 Bessel 不等式 . 即有上式左端的正项级数收敛 . 但由, 矛盾. 可 见, 函数在区间在上不是 ( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数 不是 Fourier 级数. 一个三角级数是否为Fourier 级数 , 与所用积分有关 . 在某种积分意义下 不是 Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些 积分的建立 ,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是 : 在所谓 SCP 积分( Symmetric Cesaro Pe rron 积分 ) 意义下 , 上例中的三角级数是Fourier 级数.