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1、学习必备欢迎下载 m l l 立体几何知识点整理 一直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 A l 符号表示： 3. 线在面内 l 符号表示： 二平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 ml m l l / / 方法二：用面面平行实现。 ml m l/ / 方法三：用线面垂直实现。 若ml,，则ml /。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 / / l l m ml 方法二：用面面平行实现。 / / l l 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面的一个法向量，l
2、n且l, 则/l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 / , , / / 且相交 且相交 ml ml mm ll 方法二： 用线面平行实现。 / , / / 且相交ml m l 三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 l ABAC AABAC ABl ACl , 方法二：用面面垂直实现。 l lml m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂 直实现。 n l m l l m m l A B C l l m A B C l m 学习必备欢迎下载 l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 ml m l 方法二：三垂线定理及其逆定理
3、。 PO lOAlPA l 方法三：用向量方法： 若向量l和向量m的数量积为0，则ml。 三夹角问题。 (一)异面直线所成的角： (1) 范围：90,0( (2)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab cba 2 cos 222 (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： ACAB ACAB cos (二 )线面角 (1)定义： 直线 l 上任取一点P （交点除外） ，作 PO于 O,连结 AO， 则 AO 为斜线 PA在面内的射影，PAO(图 中)为直线 l
4、与面所成的角。 A O P (2)范围：90,0 当0时，l或/l 当90时，l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出线面角，并证明。 步骤 2：解三角形，求出线面角。 (三 )二面角及其平面角 (1)定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作l 的垂 线（射线） m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角 l的平面角。 n m l P (2)范围：180,0 (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理 )，并证明。 步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤 1：如图，若平面POA 同时垂直于平面和，则 交线 (射线 )AP 和
5、 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。 l m l c b a n A O P l A O P 学习必备欢迎下载 A O P 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 n1 n2 步骤一：计算 12 12 12 cos nn n n nn 步骤二： 判断与 12 n n的关系， 可能相等或者互补。 四距离问题。 1点面距。 方法一：几何法。 OA P 步骤 1：过点 P作 PO于 O，线段 PO 即为所求。 步骤 2：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法 和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。 3异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离
6、。 n m 如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面 之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 d c b a m D C BA m n 如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm， 则异面直线m 和 n 之间的距离为： cos2 222 abbacd 高考题典例 考点 1 点到平面的距离 例 1 如图，正三棱柱 111ABCAB C的所有棱长都为 2， D 为 1CC中点 （）求证： 1 AB 平面 1A BD ； （）求二面角 1 AA DB的大小； （）求点C到平面 1 A BD的距离 A
7、 B C D 1 A 1 C 1 B 学习必备欢迎下载 解答过程 （）取 BC 中点 O，连结AO ABC为正三角形，AOBC 正三棱柱 111ABCA BC 中，平面 ABC 平面 11 BCC B， AO平面 11 BCC B 连结 1 B O，在正方形 11 BB C C中，O D，分别 为 1 B CC C， 的中点， 1 BOBD， 1 ABBD 在正方形 11 ABB A中， 11 ABA B， 1 AB 平面 1ABD （）设 1 AB 与 1 AB交于点 G ，在平面 1 ABD 中，作 1 GFA D于 F ， 连 结 AF，由（）得 1AB 平面1 A BD 1AFAD ，
8、 AFG 为二面角 1 AADB的平面角 在 1 AA D中，由等面积法可求得 4 5 5 AF ， 又 1 1 2 2 AGAB ，210 sin 4 4 5 5 AG AFG AF 所以二面角 1 AA DB的大小为 10 arcsin 4 （） 1 ABD 中， 1 11 52 26 A BD BDADABS， ，1 BCD S 在正三棱柱中， 1 A到平面 11 BCC B的距离为3 设点 C 到平面 1 ABD 的距离为d 由 11 ABCDCA BDVV ，得 1 11 3 33 BCDA BDSSd ， 1 32 2 BCD A BD S d S 点 C 到平面 1 A BD的距
9、离为 2 2 考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别 为ABBC、的中点，求CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ， EF为BCD的中位线，EFCDCD ,面SEF,CD 到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距 离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF A B C D 1 A 1 C 1 B O F 学习必备欢迎下载 的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB、BC 、BD 的中点， 2,2,6 2 1 ,62S
10、CDFCDEFCD 3 32 226 2 1 3 1 2 1 3 1 SCDFEFV CEFS 在 RtSCE中，32 22 CESCSE 在 RtSCF中，302244 22 CFSCSF 又3,6 SEF SEF由于hSVV SEFCEFSSEFC 3 1 ，即 3 32 3 3 1 h，解得 3 32 h 故 CD 与 SE 间的距离为 3 32 . 考点 3 直线到平面的距离 例 3 如图，在棱长为2 的正方体 1 AC中， G 是 1 AA的中点，求BD 到平面 11D GB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一BD平面 1
11、1D GB， BD上任意一点到平面 11D GB的距离皆为所求，以下求 点 O 平面 11D GB的距离 , 1111 CADB，AADB 111 ， 11D B平面 11ACC A, 又 11D B 平面 11D GB 平面 1111 DGBACCA ，两个平面的交线是 GO1, 作GOOH 1 于 H，则有OH平面 11D GB，即 OH 是 O 点到平面 11D GB的距离 . 在OGO1 中，222 2 1 2 1 1 1 AOOOS OGO . 又 3 62 ,23 2 1 2 1 1 1 OHOHGOOHS OGO . 即 BD 到平面 11D GB的距离等于 3 62 . 解析二
12、BD平面 11D GB， B A C D O G H 1 A 1 C 1 D 1 B 1 O 学习必备欢迎下载 BD上任意一点到平面 11D GB的距离皆为所求，以下求点B 平面 11D GB的距离 . 设点 B 到平面 11D GB的距离为h，将它视为三棱锥 11D GBB的高，则 ，由于6322 2 1 , 111111 DGBGBBDDGBB SVV 3 4 222 2 1 3 1 11 GBBD V, , 3 62 6 4 h 即 BD 到平面 11D GB的距离等于 3 62 . 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是 选准恰
13、当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距 离. 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图，在 RtAOB中， 6 OAB ，斜边4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转 得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点 （I）求证：平面COD平面AOB； （II）求异面直线AO与CD所成角的大小 解答过程 ： （I）由题意，COAO，BOAO， BOC是二面角BAOC是直二面角， COBO，又AOBOO，CO平面AOB， 又CO平面COD平面COD平面AOB （II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO， CDE 是异
14、面直线AO与CD所成的角 在 RtCOE 中，2COBO， 1 1 2 OEBO ， 22 5CECOOE 又 1 3 2 DEAO 在 RtCDE中， 515 tan 33 CE CDE DE 异面直线AO与CD所成角的大小为 15 arctan 3 小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直 线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间 图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三 .一般来说， 平移法是最常 O C A D B E O C A D B x y z 学
15、习必备欢迎下载 用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围： 2 ,0 . 考点 5 直线和平面所成的角 例 5. 四棱锥 SABCD中，底面 ABCD为平行四边形， 侧面 SBC 底面 ABCD 已知45ABC，2AB， 2 2BC，3SASB （）证明SABC ； （）求直线SD与平面SAB所成角的大小 解答过程：（） 作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面 AB，得SO底面ABCD 因为SASB，所以AOBO， 又45ABC， 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AOBO，由三垂线定理，得SABC （）由（）知SABC，依题设AD
16、BC， 故SAAD， 由2 2ADBC，3SA，2AO， 得1SO，11SDSAB的面积 2 2 1 11 2 22 SABSAAB 连结DB，得DAB的面积 2 1 sin1352 2 SAB AD 设D到平面SAB的距离为h，由于 DSABSABD VV，得 12 11 33 h SSO S ，解得2h 设SD与平面SAB所成角为，则 222 sin 1111 h SD 所以，直线SD与平面SBC所成的我为 22 arcsin 11 小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平 面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证
17、作出的角为所求的角， 计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角 例 6如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB， 45BAP，直线CA和平面所成的角为30 （I）证明BCPQ （II）求二面角BACP的大小 过程指引 ： （I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB A B C Q P D B C A S O D B C A S A B C Q P O H 学习必备欢迎下载 因为，PQ，所以CO， 又因为CACB，所以OAOB 而45BAO，所以45ABO，90AOB， 从而BOPQ，又COPQ， 所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC，故PQB
18、C （II）由（ I）知，BOPQ，又，PQ， BO，所以BO 过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故 BHO是二面角BACP的平面角 由（ I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO， 不妨设2AC，则3AO， 3 sin 30 2 OHAO 在RtOAB中 ，45ABOBAO， 所 以3B OA O， 于 是 在RtBOH中 ， 3 t a n2 3 2 BO BHO OH 故二面角BACP的大小为arctan2 小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面 角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内
19、的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条 平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面 角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7 如图，已知 1111 ABCDA B C D是棱长为3的正方体， 点E在 1 AA上，点F在 1 CC上，且 1 1AEFC （1）求证： 1 EBFD， ， ，四点共面； （2）若点G在BC上， 2 3 BG，点M在 1 BB上，GMBF，垂 足 为 H，求证：EM 平面 11 BCC B； CB A G H M D E
20、F 1 B 1 A 1 D 1 C 学习必备欢迎下载 （3）用表示截面 1 EBFD和侧面 11 BCC B所成的锐二面角的大小，求tan 过程指引 ： （1）如图，在 1 DD上取点N，使1DN，连结EN，CN， 则1AEDN， 1 2CFND 因为AEDN， 1 NDCF，所以四边形ADNE， 1 CFD N都为平行四 边形从而ENAD， 1 FDCN 又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此 推知CNBE，从而 1 FDBE因此， 1 EBFD， ，四点共面 （2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB， tantanBMBGBGMBGCFB 23 1 32 BC BG CF 因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM 又AB 平面 11 BCC B，所以 EM 平面11 BCC B （3） 如图，连结EH 因为MHBF，EMBF， 所以BF 平面EMH， 得E HB F 于是EHM 是所求的二面角的平面角，即EHM 因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFB 2222 33 1 13 32 BC BM BCCF ， tan13 EM MH C B A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C N