【优质文档】新北师大版中考数学动点(教师版).pdf

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1、学习必备欢迎下载 动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键: 动中求静 . 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 中考数学（动点问题）考试分析 2009 2010 2011 动点个数两个一个两个 问题背景 特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边 上移动 抛物线中特殊直角梯形底边 上移动 考查难点 探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析

2、式 四边形面积的表 示 动三角形面积函 数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含 60的特殊菱形； AOB 是底角为 30的等腰三角 形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时，按对应角 不同分类讨论； 先画图，再探究。 通过相似三角形过度，转化相 似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式求 出 a、t 的值。 观察图形构造特 征适当割补表示面 积 动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性 直角梯形是特殊的（一底 角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个交 点 D 、E 是定点；动

3、线段PF 长度是定值， PF=OA ） 通过相似三角形过度，转 化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先画 图，再探究（按边相等分类 讨论） 共 同 点 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； 求直线、抛物线解析式； 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 学习必备欢迎下载 典型例题（历年真题） 一、三角形边上动点 1、如图，在 ABC中，AB=AC ，BC=acm ，B=30 动点 P以 1cm/s 的速度从点 B 出发， 沿折线 BAC运动到点 C时停止运动设点P出发 x s 时， PBC 的面积为 y cm 2

4、已知 y 与 x 的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题： （1）试判断 DOE 的形状，并说明理由； （2）当 a 为何值时， DOE 与ABC相似？ 考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。 分析： （1）首先作 DF OE于 F，由 AB=AC ，点 PP以 1cm/s 的速度运动，可得点P在边 AB和 AC上的运动时间相同，即可得点F 是 OE的中点，即可证得DF是 OE的垂直平分线，可得 DOE 是等腰三角形； （2）设 D （ 3 3 a, 23 12 a） ，由 DO=DE，AB=AC ，可得当且仅当 DOE= ABC 时，DOE ABC ， 然后由

5、三角函数的性质，即可求得当a= 4 3 3 时， DOE ABC 解答：解：（1）DOE 是等腰三角形 作 DF OE于 F， AB=AC ，点 PP以 1cm/s 的速度运动， 点 P在边 AB和 AC上的运动时间相同， 点 F是 OE的中点， DF是 OE的垂直平分线， DO=DE， DOE 是等腰三角形 （2）由题意得： D（ 3 3 a, 23 12 a） ， DO=DE ，AB=AC ， 当且仅当 DOE= ABC时，DOE ABC ， 在 RtDOF 中，tan DOF= 1 4 D D y a x ， 由 1 4 a=tan30= 3 3 ，得 a = 4 3 3 ， 当 a=

6、4 3 3 时， DOE ABC 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线 的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用 2、 （2011? 郴州）如图， RtABC 中， A=30 ，BC=10cm ，点 Q在线段 BC上从 B向 C运动， 点 P在线段 BA上从 B向 A运动Q 、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点 C时， 两点都停止运动作PM PQ交 CA于点 M ，过点 P分别作 BC 、CA的垂线，垂足分别为E、F （1）求证： PQE PMF ； （2）当点 P、Q运动时，请猜想线段PM与 MA的大小有怎样的

7、关系？并证明你的猜想； 学习必备欢迎下载 （3）设 BP=x ，PEM 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，当x 为何值时， y 有最大值， 并将这个值求出来 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30 度角的 直角三角形；解直角三角形。 分析： （1）由 EPF= QPM=90 ，利用互余关系证明 PQE PMF ； （2）相等运动速度相等，时间相同，则BP=BQ ，B=60， BPQ 为等边三角形，可推出 MPA= A=30 ，等角对等边； （3）由面积公式得SPEM= PE PF ，解直角三角形分别表示PE ，PF ，列出函数式，利用函数 的性

8、质求解 解答： 证明： （1） PE BC ， PFAC ， C=90 ， PEQ= PFM=90 ， EPF=90 ， 即EPQ+ QPF=90 ， 又 FPM+ QPF= QPM=90 ， EPQ= FPM ， PQE PMF ； （2）相等 PB=BQ ，B=60 ， BPQ为等边三角形， BQP=60 ， PQE PMF ， PMF= BQP=60 ， 又A+APM= PMF ， APM= A=30， PM=MA； （3）AB=20，BP=x ，则 AP=20 x， PE=xcos30 =x，PF= （20x） ?， SPEM= PE PF， y= ?x? =（20xx 2） =（x1

9、0） 2+ （0x10） 当 x=10时，函数的最大值为 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二 次函数的性质关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系 3、 （2011成都， 20，10分）如图，已知线段AB CD ，AD与 BC相交于点 K，E是线段 AD上一 动点 （1）若 BK 2 5 KC ，求 AB CD 的值； （2）连接 BE ，若 BE平分 ABC ，则当 AE 2 1 AD时，猜想线段 ABBCCD三者之间有怎样 的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当AE n 1 AD （n2） ，而其余条件不变 时

10、，线段 AB ，BC ，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明 学习必备欢迎下载 考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。 专题：计算题；几何动点问题。 分析： （1）由已知得 5 2 BK CK ，由 CD AB可证 KCD KBA ，利用 BK CK AB CD 求值； （2）AB BC CD 作 ABD的中位线，由中位线定理得EF AB CD ，可知 G为 BC的中点， 由平行线及角平分线性质，得GEB EBA GBE ，则 EG BG 2 1 BC ，而 GF 2 1 CD ，EF 2 1 AB ，利用 EF EG GF求线段 ABBCCD三者之间的数量关系

11、； 当 AE n 1 AD （n2）时，EG BG n 1 BC ，而 GF n 1 CD ，EF n n1 AB ，EF EG GF可得 BC CD （n1）AB 解答：解：（1）BK 2 5 KC ， 5 2 BK CK ， 又CD AB ， KCD KBA ， 5 2 BK CK AB CD ； （2）当 BE平分 ABC ，AE 2 1 AD时，AB BC CD 证明：取 BD的中点为 F，连接 EF交 BC与 G 点， 由中位线定理， 得 EFAB CD ，G为 BC的 中点，GEBEBA， 又EBA GBE ， GEB GBE ， EG BG 2 1 BC ，而 GF 2 1 CD

12、 ，EF 2 1 AB ， EFEG GF ，AB BC CD ； 当 AE n 1 AD （n2）时， BC CD （n1） AB 二、特殊四边形边上动点 1、 （2011? 株洲， 23， ）如图，矩形 ABCD 中，点 P是线段 AD上一动点， O为 BD的中点， PO 的延长线交 BC于 Q （1）求证： OP=OQ； （2） 若 AD=8厘米，AB=6厘米，P从点 A出发，以 1 厘米/ 秒的速度向 D运动（不与 D重合） 设 点 P运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD的长；并求 t 为何值时，四边形PBQD 是菱形 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理

13、；菱形的性质；矩形 的性质。 专题：证明题；动点型。 分析： （1）本题需先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD BC ，PDO= QBO ，再根据 O为 BD 学习必备欢迎下载 的中点得出 POD QOB ，即可证出 OP=OQ （2）本题需先根据已知条件得出A的度数，再根据AD=8厘米， AB=6厘米，得出 BD和 OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，证出 ODP ADB ，即可求出 t 的值，判断出四边形 PBQD 是菱形 解答： （1）证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC PDO= QBO ，又 OB=OD，POD= QOB POD QOB OP=OQ （2）PD=8 t

14、 四边形 ABCD 是矩形， A=90， AD=8cm ，AB=6cm ， BD=10cm ， OD=5cm 当四边形 PBQD 是菱形时， PQ BD ， POD= A， 又ODP= ADB ODP ADB ， BD AD PD OD ，即 10 8 8 5 t ， 解得 t= 4 7 ，即运动时间为 4 7 秒时，四边形 PBQD 是菱形 点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来 是解本题的关键 2、 （2011 天水， 26）在梯形 O ABC中，CB O A，AO C=60， O AB =90，O C =2，BC =4，以 点 O为原点， O A

15、所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2 的等边 DEF ， D E在 x 轴上（如图（ 1） ） ，如果让 DEF以每秒 1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时 点 D与点 A重合，当点 D到达坐标原点时运动停止 （1）设 D EF运动时间为 t ，DEF与梯形 O ABC重叠部分的面积为S，求 S关于 t 的函数关 系式 （2）探究：在 DEF运动过程中，如果射线DF 交经过 O 、C 、B三点的抛物线于点G ，是否存 在这样的时刻 t ，使得 O AG的面积与梯形 O ABC的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存 在，请说明理由 考点：二次函数综合题。 分析： （1）根

16、据 F与 B重合前后及 E与 A重合前后，分三种情况求S关于 t 的函数关系式； （2）依题意得 D （4t ，0） ，求出直线 O C解析式，根据D FO C确定直线 D F 解析式，再由 O AG的面积与梯形 O ABC的面积相等，求出 G点纵坐标，根据 G点在抛物线上求 G点横坐标， 代入直线 DF解析式求 t ，判断是否符号t 的取值范围即可 解答：解：（1）依题意得 O A=5， 当 0t 1 时，s= 3 2 t 2， 当 1t 2 时， s= 3 3 2 （2t ） 2= 3 2 t 2+2 3 t 3， 当 2t 5 时，s= 3； （2）不存在 依题意，得 C（1， 3） ，

17、B（5，3） ，抛物 线对称轴为 x=3， 抛物线与 x 轴两交点坐标为 O （0，0） ， （6， 0） ， 设抛物线解析式为y=ax（x6） ， 学习必备欢迎下载 将 C点坐标代入， 得 a= 3 5 ，y= 3 5 x （x6）= 3 5 x 2+6 3 5 x， 由 C点坐标可知，直线O C解析式为 y=3x， DFO C， 设直线 DF解析式为 y= 3x+k， 将 D（4t ，0）代入得 k=3（t 4） ， 直线 DF：y=3 x+ 3（t 4） ， 设O AG的 O A边上高为 h，由 SOA G=S梯形 OABC， 得 1 2 5h= 1 2 （4+5）3， 解得 h= 9

18、3 5 ， 将 y= 9 3 5 代入 y= 3 5 x（x6）中，得 x=3 32， F（332， 9 3 5 ）或（3+32， 9 3 5 ） ， 分别代入直线 DF：y=3x+3（t 4）中， 得 t = 14 5 +32或 14 5 32， 但 0t 5， 不存在 三、直线上动点 1、（20XX年山东省东营市， 24，12 分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点 A、C的坐标分 别为（ -3，0），（ 0，1），点 D是线段 BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点 D作直 线 1 2 yxb交折线 OAB于点 E （1）记 ODE 的面积为 S，求 S与 b 的函数关系式； （2

19、）当点 E在线段 0A上时，且 tan DEC= 1 2 若矩形 OABC 关于直线 DE的对称图形为四边 形 O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求 出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由 考点：一次函数综合题 专题：综合题 分析：（ 1）要表示出 ODE 的面积，要分两种情况讨论，如果点E在 OA边上，只需求出 这个三角形的底边OE长（ E点横坐标）和高（ D点纵坐标），代入三角形面积公式即可； 如果点 E在 AB边上，这时 ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去 OCD 、OAE 、BDE 的 学习必备欢迎下载 面积

20、； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部 分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化 解答： 解：（1）四边形 OABC 是矩形，点 A、C的 坐标分别为（ -3 ，0），（ 0，1）， B（-3，1）， 若直线经过点 A（-3，0）时，则 b= 3 2 ， 若直线经过点 B（-3，1）时，则 b= 5 2 ， 若直线经过点 C （0，1）时，则 b=1， 若直线与折线 OAB 的交点在 OA上时，即 1 b 3 2 ，如图 1， 此时 E（2b，0）， S= 1 2 OE ? CO= 1 2 2b1=b； 若直线与折线

21、 OAB 的交点在 BA上时，即 3 2 b 5 2 ，如图 2 S=S矩- （SOCD+SOAE+SDBE） =3- 1 2 （2b-2）1+ 1 2 （5-2b） ?（-b） + 3（b- 3 2 ） = 5 2 b-b 2， S= 12 2 3 2 535 () 222 bb bb b ； （2）如图 3，设 O1A1与 CB相交于点 M ，OA 与 C1B1相交于点 N ， 则矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积 由题意知， DM NE ，DN ME ， 四边形 DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知， MED= NED ， 又MDE= N

22、ED ， MED= MDE ， MD=ME， 平行四边形 DNEM 为菱形 过点 D作 DH OA ，垂足为 H， 由题易知， DH HE = 1 2 ，DH=1 ， HE=2 ， 设菱形 DNEM 的边长为 a， 则在 RtDHN 中，由勾股定理知： a 2=（2-a） 2+12， a= 5 4 ， S四边形 DNEM=NE ? DH= 5 4 矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积 不发生变化，面积始终为 5 4 学习必备欢迎下载 点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是 看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题

23、，有利于培养学生的 思维能力，但难度较大，具有明显的区分度 2、 （2011 江苏镇江常州， 27，9 分）在平面直角坐标系XOY 中，一次函数 y 3 4 x3 的图象 是直线 l1，l 1与 x 轴y 轴分别相交于 AB两点直线 l2过点 C（a，0）且与直线 l1垂直， 其中 a0点 PQ同时从 A点出发，其中点P沿射线 AB运动，速度为每秒4 个单位；点 Q 沿射线 AO运动，速度为每秒5 个单位 （1）写出 A点的坐标和 AB的长； （2）当点 PQ运动了多少秒时，以点Q为圆心， PQ为半径的 Q与直线 l2y 轴都相切， 求此时 a 的值 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角

24、形的判定与性质 专题：几何动点问题；分类讨论 分析： （1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； （2）根据相似三角形的判定得出APQ AOB ，以及当 Q在 y 轴右侧与 y 轴相切时，当 Q在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，分别分析得出答案 解答：解：（1）一次函数 y 3 4 x3 的图 象是直线 l1，l1与x轴y轴分别相交于AB 两点， y=0时，x=4， A（4，0） ，AO =4， 图象与 y 轴交点坐标为：（0，3） ，BO =3， AB =5； （2） 由题意得：AP=4t，AQ=5t，AP AO = AQ BO =t， 又PAQ =OAB ， APQ AO

25、B ， APQ =AOB =90， 点 P在 l1上， Q在运动过程中保持与l1相切， 当 Q在 y 轴右侧与 y 轴相切时，设 l2与 Q相切于 F，由 APQ AOB ，得： 3 PQ 4 5 PQ ， PQ=6； 连接 QF ， 则 QF =PQ ， 由QFC APQ AOB ， 得： QF AO QC AB ， PQ AO QC AB ， 6 4 5 QC ， QC = 12 5 ， a=OQ +QC = 27 2 ， 当 Q在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，设 l2 与Q相切于 E，由APQAOB得： 3 PQ = 4 5 PQ ， PQ = 3 2 ， 连接 QE ，则 QE =P

26、Q ，由QEC APQ AOB 得： QE OA = QC AB ， QF AO QC AB ， 3 2 4 5 QC ， QC = 15 8 ，a=QC OQ = 3 8 ， 学习必备欢迎下载 a 的值为 27 2 和 3 8 ， 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注 意分类讨论才能得出正确答案 四、抛物线上动点 1、 （2011? 菏泽）如图，抛物线y= x 2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C点，且 A （1，0） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断 ABC的形状，证明你的结论； （3）点 M （m ，0

27、）是 x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求 m的值 考点：二次函数综合题。 分析： （1）把 A点的坐标代入抛物线解析式，求b 得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶 点坐标公式，即可求出顶点坐标； （2）根据直角三角形的性质，推出AC 2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即 AC2+BC2=25=AB2，即可 确ABC是直角三角形； （3）作出点 C关于 x 轴的对称点 C，则 C （0，2） ，OC=2连接 CD 交 x 轴于点 M ，根 据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小首先确定最小值，然后根据三角形 相似的有关性质定理，求m的值 解答：解

28、：（1）点 A（1，0）在抛物线 y= x 2+bx2 上， （ 1 ）2+b（ 1） 2=0，解得 b= 抛物线的解析式为y= x 2 x2 y= x 2 x2 = （ x23x4 ）= （x ）2 ， 顶点 D的坐标为（ ，） （2）当 x=0时 y=2，C（0，2） ，OC=2 当 y=0 时， x 2 x2=0，x 1=1，x2=4，B （4，0） OA=1 ，OB=4 ，AB=5 AB 2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20， 学习必备欢迎下载 AC 2+BC2=AB2 ABC 是直角三角形 （3）作出点 C关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，2） ，O

29、C =2， 连接 C D交 x 轴于点 M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小 解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点 E ED y 轴， OC M= EDM ，C OM= DEM COM DEM ，m= 解法二：设直线 CD的解析式为 y=kx+n， 则， 解 得n=2 ， 当y=0时 ， 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性 质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形 2、 （2011? 郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（ 0，1）和（1，0） ， P是线段 AB上的一动

30、点（不与A、B重合） ，坐标为（ m ，1m ） （m为常数） （1）求经过 O 、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当 P点在线段 AB上移动时，过 O 、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而 改变； （3）当 P移动到点（）时，请你在过 O 、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个 点都能与 P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标 考点：二次函数综合题。 分析： （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b 的 值确定解析式； （2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变； （3）可作出对称轴与x 轴的交点为 K，过 K点作 PB的垂直

31、平分线，交抛物线于两点，这两 点就符合要求 解 答 ： 解 ： （ 1 ） 设 抛 物 线 的 解 析 式 为y=ax 2+bx+c， 学习必备欢迎下载 因为抛物线过原点O （0，0） 所以 c=0 ， 所以 y=x 2+ x； （2）由（ 1）可知抛物线的对称轴是x= = 所以它不会随 P的移动而改变； （3）点 O （0，0）可满足 设抛物线的对称轴与x 轴交于 K，过 K作 PB 的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则 Q1PB ，Q2PB是等腰三角形 因为 P点的坐标是（， ） 所以 Q1Q2的解析式是： y=x ，抛物线的解 析式为： y=2x 2+2x 所以直线和抛物线的交点Q1

32、，Q2两点的坐标 是（，） ， （，） 点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的 对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标 3. （2011四川广安，30，12分）如图所示，在平面直角坐标系中， 四边形 ABCD 是直角梯形， BC AD ，BAD 90 ，BC与 y 轴相交于点 M ，且 M是 BC的中点， A、B、D三点的坐标 分别是 A（1，0） ，B( 1，2)，D( 3，0)，连接 DM ，并把线段 DM沿 DA方向平移到 ON ， 若抛物线 yax 2bxc 经过点 D、M 、N （1）求抛物线的解析式 （2）抛物线上是否存在点P使得 PA

33、PC 若存在，求出点P的坐标；若不存在请说 明理由 （3）设抛物线与x 轴的另个交点为E点 Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值 考点：抛物线，存在，动态，压轴 专题：压轴题、综合题 分析： （1）由题意可知点M的坐标为（ 0，2） ，根据平移可知线段DM是向左平移 3 个单 位得到线段 NO 的，由此可知 N（3，2） ，把 D 、M 、N三点的坐标代入 2 yaxbxc即可得 学习必备欢迎下载 到抛物线的解析式 （2）由题意可知点 P应该是线段 AC的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定 AC的 垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程

34、组确定交点坐标，若能求得，则说明 存在，否则说明不存在 （ 3） 由题 意可 知 点 D 与点E 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴对 称， 所以QE QD ， 所 以 QEQCQDQC ，延长 DC交抛物线的对称轴相交，当点Q在交点上时， QD QC CD ， 此时QEQC的值最大，恰好为线段CD的长 解答： （1）解：由题意可得 M （0，2） ，N （3，2） ， 2, 293, 093. c abc abc 解得： 1 , 9 1 , 3 2. a b c y 2 11 2 93 x （2）PA PC ， P为 AC的垂直平分 线上，依题意， AC的垂直平分线经过（ 1， 2） 、 （

35、1，0） ，其所在的直线为yx1 根据题意可列方程组 2 1, 11 2. 93 yx yxx 解得： 1 1 332 23 2 x y 2 2 33 2 23 2 x y P1（33 2, 23 2） 、P2 （ 33 2, 23 2 ） （3）如图所示，延长DC交抛物线的对 称轴于点 Q ，根据题意可知此时点Q 满足条 件 由题意可知 C （1，2） ，D（3，0） ，可求 得 CD所在的直线的解析式为3yx 抛物线 211 2 93 yxx的对称轴为直 线1.5x 点 Q在直线 x1.5 上，又在直线 3yx上 Q （1 .5 ，4.5 ） ，QE QD 2 2 3 122 2QEQCQDQCCD 即当点 Q的坐标为（ 1.5 ，4.5 ）时， QEQC有最大值，最大值为 2 2 点评： （1）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，运用时要确定好图象上关键点的 坐标，本题中点 N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到 （2）求函数的交点坐标，通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解 本题综合性强，解答时需具备较强的数学基本功，若知识掌握欠缺，则不容易得分