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1、学习必备欢迎下载 授课提纲 一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数） 2、直线的斜率型 3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 4、点到直线的距离型 5、变换问题研究目标函数 二、基本不等式 1、（ 1）基本不等式若Rba,，则abba2 22 (2)若Rba,，则 2 22 ba ab （当 且仅当ba时取“ =”） (2) 若 * ,Rba，则ab ba 2 (2)若 * ,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“ =”） (3) 若 * ,Rba，则 2 2 ba ab (当且仅当ba时取“ =”） 2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容
2、： 一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数） 例 1.已知实数 x、y 满足约束条件 0 50 3 xy xy x ，则24zxy的最小值为（） A5 B -6 C10 D-10 变式练习一：若 x,y 满足约束条件 20 210 220 xy xy xy ,则 z=3x+y 的最大值为 变式练习二：设x，y满足约束条件 13, 10, x xy 则z2xy的最大值为 _ 二 直线的斜率型 2 6 ,5 3 例 2.已知实数 x、y 满足不等式组 22 4 0 xy x ,求函数 3 1 y z x 的值域 . 学习必备欢迎下载 变式练习一：若x，y 满足约束条件 10 0 40 x xy
3、xy ，则 y x 的最大值为 . 变式练习二： 11.若实数yx,满足 0 0 042 y x yx ，则 1 2 x y z的取值范围为（） ), 3 2 4,.(A), 3 2 2,.(B 3 2 , 2.C 3 2 ,4.D 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例 3. 已知实数x、 y 满足 10 10 1 xy xy y ， 则 22 448wxyxy的最值为 _. 解析：目标函数 2222 448(2)(2)wxyxyxy，点 (2,2)到点 B 的距离为其 到可行域内点的最大值， 22 max ( 22)( 12)25w；点 (2,2)到直线 x+y-1=0 的距离 为
4、其到可行域内点的最小值， min |221|3 2 22 w。 变式练习一：设实数x，y满足约束条件 10, 10, 1 xy xy x ， 则 2 2 2xy的取值范围是 （A） 1 ,17 2 （B）1,17（C）1, 17（D） 2 , 17 2 变式练习二： 四 点到直线的距离型 例 4.已知实数 x、y 满足 22 21,42xyuxyxy求的最小值。 学习必备欢迎下载 解析：目标函数 2222 42(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点 (-2,1)与可行域 内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右 上方）： 点(-2,1) 到可行域内的
5、点的最小距离为其到直线2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求 得 |2( 2)1 1|4 5 55 d，故 2169 55 55 d 同步训练：已知实数x、 y 满足 220 240 330 xy xy xy ,则目标函数 22 zxy的最大值是 _。 五 变换问题研究目标函数 例 5.已知 ax yx xy 2，且yxz2的最大值是最小值的3 倍，则 a 等于（） A 3 1 或 3 B 3 1 C 5 2 或 2 D 5 2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2 点和 B 点分别取得最小值和最大值. 由 ),(?aa?A x
6、y ax 得，由 yx yx2 得 B(1，1). a?z?z3,3 minmax . 由题意 B (-2,1) 1 1 2 O x y 2x+y=1 学习必备欢迎下载 变式练习一：如果实数,a b满足条件： 20 10 1 ab ba a ，则 2 2 ab ab 的最大值是 基本不等式 考点一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1） y3x 2 1 2x 2（2） yx1 x 技巧一：凑项 例 1：已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值。 技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。 技巧三： 分离 例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx
7、x 的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当, 即 t=时, 4 259yt t （当 t=2 即 x1 时取“”号）。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( ) a f xx x 的单调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 学习必备欢迎下载 解：令 2 4(2)xt t，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间2
8、,，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数， 故 5 2 y。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 。 考点二：条件求最值 1. 若实数满足2ba，则 ba 33的最小值是 . 2：已知0,0xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值。 变式：（1）若Ryx,且12yx，求 yx 11 的最小值 技巧七 、已知 x，y 为正实数，且x 2y 2 2 1，求 x1y 2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2 b 2 2 。 同时还应化简1y 2 中y 2 前面的系数为 1 2 ，x1y 2 x2 1y
9、 2 2 2 x 1 2 y 2 2 技巧八：已知a，b 为正实数， 2baba30，求函数y 1 ab 的最小值 . 法一： a 302b b1 ，ab302b b1 b 2 b 2 30b b1 由 a0 得， 0b1 学习必备欢迎下载 令 tb+1，1t16， ab 2t 2 34t31 t 2（t 16 t ） 34t 16 t 2t16 t 8 ab18 y 1 18 当且仅当 t4，即 b3， a6 时，等号成立。 法二： 由已知得： 30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab 令 uab则 u 22 2 u300， 52 u32 ab32 ， ab18， y 1 18 变式： 1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。 作业： 1、0 1 x x xy求函数最小值 . 2、0 3 2 2 1 x x xy求函数最小值 . 3、若1x，则函数 1 4 x xxf最小值为 . 4、已知0x，0y，且1yx，求 yx 11 的最小值 . 5、已知 0x ，0y，且32yx，求 yx 11 的最小值 . 6、设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与的等比中项，则的最小值为（） A 8 B 4 C 1 D 1 4