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1、第六节正弦定理和余弦定理 时间： 45分钟分值： 75 分 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1(2013 北京卷)在ABC 中，a3，b5，sinA1 3，则 sinB () A. 1 5 B.5 9 C. 5 3 D1 解析利用 a sinA b sinB代入计算即可 答案B 2 在ABC中， 若 sin 2Asin2Bsin2C， 则ABC 的形状是 ( ) A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不能确定 解析sin 2Asin2Bsin2C，a2b2c2. cosC a 2b2c2 2ab 0，C 为钝角 答案C 3若 ABC 的内角 A，B，C 所对
2、的边 a，b，c 满足(ab)2c 2 4，且 C60 ，则 ab 的值为 () A. 4 3 B84 3 C1 D.2 3 解析由(ab)2c24，得 a2b2c22ab4. 由余弦定理得 a2b2c22abcosC2abcos60 ab， 将代入得 ab2ab4，即 ab4 3. 答案A 4(2013 新课标全国卷 )已知锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c,23cos 2Acos2A0，a7，c6，则 b( ) A10 B9 C8 D5 解析23cos 2Acos2A23cos2A2cos2A10，所以 cos 2A 1 25，因为 A 是锐角，所以cosA 1
3、5，由余弦定理得 4936b2 26bcosA，解得 b5 或 b 13 5 (舍去)，故选 D. 答案D 5(2013 新课标全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B 6，C 4，则 ABC 的面积为 ( ) A2 32 B. 31 C2 32 D. 31 解析由正弦定理得 c sinC b sinB? c 2 2 2 1 2 2 2，又 sinAsin(BC)sin( 6 4) 62 4 ，所以三角形面积 为 S1 2bcsinA 1 222 2 6 2 4 31，故选 B. 答案B 6(2014 湖南五市十校联考 )在ABC 中，a，b，c 分别是角
4、 A， B，C 所对边的边长，若cosAsinA 2 cosBsinB0，则 ab c 的值是 () A1 B. 2 C. 3 D2 解 析(cosA sinA)(cosB sinB) 2，cosAcosBcosAsinB sinAcosBsinAsinBcos(AB)sin(AB)2，cos(AB)sinC2. 所以 cos(AB)1，sinC1， 所以 AB0 且 C90 ，所以 AB45 ，该三角形为等腰直 角三角形，所以 ab c 2. 答案B 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7在ABC 中，若 a2，bc7，cosB 1 4，则 b_. 解析由余弦定
5、理可得 cosB 2 2c2b2 22c 1 4，又 bc7，从 而 cosB 2 2 7b2b2 22 7b ，化简得 15b60，解得 b4. 答案4 8设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若(ab c)(abc)ab，则角 C_. 解析由(abc)(abc)ab，得 a2b22abc2ab，则 a2b2c2ab，故 cosC a 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2，又 C 是三角形 的内角，所以 C2 3 . 答案 2 3 9(2013 福建卷 )如图，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD AC，sinBAC 2 2 3 ，AB3 2，AD3，则
6、BD 的长为 _ 解析sinBACsin(90 BAD) cosBAD 2 2 3 ， BD 2AB2AD22AB ADcosBAD 18929 2 2 2 3 3.BD 3. 答案3 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 b 2 c 2a2bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 sinB sinCsin2A，试判断 ABC 的形状 解(1)由已知得 cosAb 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2. 又角 A 是ABC 的内角， A 3. (2)由正弦定理，得 bca2， 又 b2c2a2
7、bc，b2c22bc. (bc)20，即 bc. 又 A 3 ， ABC 是等边三角形 11(2013 北京卷 )在ABC 中，a3，b2 6，B2A. ()求 cosA 的值； ()求 c 的值 解()因为 a3，b2 6，B2A， 所以在 ABC中，由正弦定理得 3 sinA 2 6 sin2A. 所以 2sinAcosA sinA 2 6 3 .故 cosA 6 3 . ()由()知 cosA 6 3 ，所以 sinA1cos 2A 3 3 . 又B2A，所以 cosB2cos 2A11 3. 所以 sinB1cos 2B2 2 3 . 在ABC 中，sinCsin(AB)sinAcos
8、BcosAsinB 5 3 9 .所以 c asinC sinA 5. 12(2014 南昌模拟 )在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，已知 sinCcosC1sinC 2. (1)求 sinC 的值； (2)若 a2b24(ab)8，求边 c 的值 解(1)由已知得 sinCsinC 21cosC， sinC 2(2cos C 2 1)2sin2C 2. 由 sinC 20，得 2cos C 2 12sinC 2， sinC 2cos C 2 1 2. 两边平方，得 1sinC 1 4 ，sinC 3 4. (2)由 sinC 2 cos C 2 1 20，得 4 C 2 2， 即 2C ，则由 sinC 3 4得 cosC 7 4 . 由 a2b24(ab)8 得(a2)2(b2)20， 得 a2，b2. 由余弦定理得 c2a 2b22abcosC82 7， 所以 c71.