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1、第一节平面向量的概念及其线性运算 时间： 45分钟分值： 75 分 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1如图，在四边形ABCD 中，下列各式成立的是 () A.BC BD CD B.CD DA AC C.CB AD BA CD D.AB AC BD DC 解析BC BD BC DB DC ，故 A 项错误； CD DA CA ， 故 B 项错误； CB AD BA CB BA AD CD ，故 C 项正确； BD DC BC AB AC ，故 D 项错误 答案C 2. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个 三等分点，那么
2、 EF () A. 1 2AB 1 3AD B. 1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D. 1 2AB 2 3AD 解析在CEF 中， EF EC CF .因为点 E 为 DC 的中点，所 以EC 1 2DC .因为点 F 为 BC 的一个三等分点， 所以CF 2 3CB .所以EF 1 2DC 2 3CB 1 2AB 2 3DA 1 2AB 2 3AD ，故选 D. 答案D 3如图，已知 AB a，AC b，BD 3DC ，用 a，b 表示AD ，则 AD () Aa3 4b B. 1 4 a 3 4b C.1 4a 1 4b D. 3 4a 1 4b 解析CB AB AC
3、ab，又BD 3DC ， CD 1 4 CB 1 4(ab) AD AC CD b 1 4(ab) 1 4a 3 4b. 答案B 4如图，已知AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三 等分点， AB a，AC b，则AD () Aa1 2b B. 1 2ab Ca1 2b D. 1 2ab 解析连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得CDAB 且CD 1 2AB 1 2a，所以 AD AC CD b 1 2a. 答案D 5已知点 O，N 在ABC 所在平面内，且 |OA |OB |OC |，NA NB NC 0，则点 O，N 依次是 ABC 的() A重心外心B重心内心 C
4、外心重心D外心内心 解析由|OA |OB |OC |知，O 为ABC的外心；NA NB NC 0，知，N 为ABC的重心 答案C 6. (2014 烟台高三诊断 )如图，O 为线段 A0A2 013外一点，若 A0，A1， A2，A3，A2 013中任意相邻两点的距离相等，OA0 a，OA2 013b， 用 a，b 表示OA0 OA1 OA2 OA2 013，其结果为 () A1 006(ab) B1 007(ab) C2 012(ab) D2 014(ab) 解析OA0 OA2 2OA1 ，OA3 OA5 2OA4 ， OA2 011OA2 013 2OA2 012，OA0 OA1 OA2
5、OA2 013 OA0 OA2 0132 014 2 1 007(ab)选 B. 答案B 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7(2014 北京东城区综合练习 )设 a，b，c 是单位向量，且 ab c，则向量 a，b的夹角等于 _ 解析不妨设 aOA ，bOB ，cOC ，由 abc 可知，OA OB OC ， 又|OA |OB |OC |1， 故四边形 OBAC 为菱形，且BOA 60 ，故向量 a，b的夹角为 60 . 答案60 8(2014 无锡质检 )设 a，b 是两个不共线的非零向量，若8a kb与 ka2b共线，则实数 k_. 解析因为 8akb与
6、ka2b共线，所以存在实数 ，使 8akb (ka2b)，即(8k)a(k2 )b0.又 a，b 是两个不共线的非零 向量，故 8k0， k2 0， 解得 k 4. 答案 4 9ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，重心为 G， 若 aGA bGB 3 3 cGC 0，则 A_. 解析由 G 为ABC 的重心知 GA GB GC 0，则GC GA GB ，因此aGA bGB 3 3 c(GA GB )(a 3 3 c)GA (b 3 3 c)GB 0，又GA ， GB 不共线，所以 a 3 3 cb 3 3 c0， 即 ab 3 3 c.由余弦定理得 cosAb 2c2a2 2
7、bc c2 2 3 3 c2 3 2 ，又 0A ，所以 A 6. 答案 6 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10(2014 东莞阶段检测 )如图所示，在 ABC 中，点 D，F 分别 是 BC，AC 的中点， AE 2 3AD ，AB a，AC b. (1)用 a，b 表示向量 AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证： B，E，F 三点共线 解(1)延长 AD 到 G， 使AD 1 2AG ， 连接 BG、 CG，得到?ABGC， 所以AG ab， AD 1 2AG 1 2(ab)， AE 2 3AD 1 3(ab)， AF 1 2AC 1
8、2b， BE AE AB 1 3 (ab)a 1 3(b2a)， BF AF AB 1 2ba 1 2(b2a) (2)由(1)可知， BE 2 3BF ，所以 B，E，F 三点共线 11(2014 临沂模拟 )若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a，tb， 1 3(ab)三向量的终点在同一条 直线上？ 解设OA a，OB tb，OC 1 3(ab)， AC OC OA 2 3a 1 3b，AB OB OA tba. 要使 A，B，C 三点共线，只需 AC AB . 即 2 3a 1 3bt b a. 2 3 ， 1 3t ， 解得 2 3， t1 2. 当 t 1 2时，三向量终点在同一直线上 12已知ABC 中，AB a，AC b，对于平面 ABC上任意一点 O，动点 P 满足OP OA a b，则动点 P 的轨迹是什么？其轨迹 是否过定点，并说明理由 解依题意，由 OP OA a b， 得OP OA (ab)， 即AP (AB AC ) 如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于 O， 则AP AD ， A，P，D 三点共线 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线，由图可知 P 点轨迹必过 ABC 边 BC 的中点