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1、选修 41几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及有关性质 时间： 45分钟分值： 75 分 一、填空题 (本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分) 1 如图所示，已知 DEBC， BF： EF3： 2， 则 AC： AE_， AD：DB_. 解析DEBC， AE AC DE BC EF BF. BF：EF3：2， AE AC EF BF 2 3. AC：AE3：2. 同理 DEBC，得 AB：AD 3：2，即 AB AD 3 2. AD AB 2 3 ，则 AD ABAD 2 322. 即 AD BD 2.2：1. 答案3:22:1 2如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBA
2、B，ABAD a， CDa 2， 点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF_. 解析连接 DE 和 BD，依题知， EBDC，EBDC a 2， EBCD 为平行四边形， CBAB， DEAB ，又 E 是 AB 的中点，故 ADDBa. E，F 分别是 AB，AD 的中点， EF 1 2DB 1 2a. 答案 a 2 3如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点， AEDE，BE4， EC1，则 AB 的长为_ 解析根据题意可以判断RtABERtECD，则有 AB BE EC CD， 可得 AB2. 答案2 4(2014 湖南模拟 )如图，在平行四边形ABCD 中， 1:2，
3、若AEF 的面积等于 1 cm 2，则CDF 的面积等于 _ cm2. 解析ABCD，AEFCDF，又 AE CD AE AB 1 3，且相似 三角形的面积之比等于对应边的比的平方，CDF 的面积等于9 cm 2. 答案9 5如图，在 ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于 点 D，E，AD:AB 1:3.若 DE2，则 BC_. 解析DEBC， AD AB DE BC，即 1 3 2 BC.解得 BC6. 答案6 6. (2014 东莞调研 )如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBC A，BC6，AC3，则 CD_. 答案2 7如图，在 ABC 中，M，N 分别是
4、AB，BC 的中点， AN， CM 交于点 O，那么 MON 与AOC 面积的比是 _ 解析M，N 分别是 AB，BC 的中点， MNAC，MN1 2AC. MNOCAO. SMON SCOA MN AC 2 1 2 21 4. 答案1:4 8 如图，RtABC 中， CD 为斜边 AB 上的高，CD6， 且 AD:BD 3:2，则斜边 AB 上的中线 CE 的长为_ 解析ACB90 ，CDAB， CD2AD BD. 设 AD3x，那么 BD2x，AB5x， CD6，6x236. x6，AB5x5 6. CE 是斜边 AB 上的中线， CE1 2AB 5 2 6. 答案 5 2 6 9(201
5、3 广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB3，BC3， BEAC，垂足为 E，则 ED_. 解析tanBCABA BC 3 3 ，所以BCA30 ，ECD90 BCA60 .在 RtBCE 中，CEBC cosBCA3cos30 3 3 2 .在 ECD 中，由余弦定理得 EDCE2CD22CE CD cosECD 3 3 2 2 3 223 3 2 31 2 21 2 . 答案 21 2 二、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10如图所示，已知直线FD 和ABC 的 BC 边交于 D，与 AC 边交于 E， 与 BA 的延长线交于 F， 且 BDDC， 求证：
6、AE FBEC FA. 证明过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点 FA FB AG BD .又BDDC， FA FB AG DC. AGBC， AG DC AE EC， AE EC FA FB， 即 AE FBEC FA. 11如图在 ?ABCD 中，AM BC，ANCD，M，N 分别为垂足 求证： AMN BAC. 证明在?ABCD 中BD，ADBC， ABCD， 又AMB AND90 ， RtAMB RtAND， AM AN AB AD AB BC . ABCD，ANCD， ANAB，BAM MAN BAM B90 . BMAN. AMN BAC( 两边对应成比例且夹角相等，两三角形
7、相 似) 12已知在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点 C 任作一直线与 边 AB 与 AD 分别交于点 F，E. (1)如下图 (1)，DGCF 交 AB 于点 G，当 D 是 BC 的中点时， 求证： AE ED 2AF FB ； (2)如下图 (2)，当 BD DC 1 2时，求证： AE ED 3AF 2FB. 证明(1)DGCF，BDDC，BGFG1 2BF. FEDG，AE ED AF FG. AE ED AF 1 2BF 2AF BF . (2)过点 D 作 DGCF 交 AB 于 G 点， AE ED AF FG. 又 BD DC 1 2 ，DC2BD2 3BC. DGFC， FG BF DC BC 2 3. FG2 3BF， AE ED AF 2 3BF 3AF 2BF.