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1、第二节直线与圆的位置关系 时间： 45分钟分值： 75 分 一、填空题 (本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分) 1(2014 广东一模 )如图所示， AB 是O 的直径，过圆上一点E 作切线 EDAF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C.若 CB2，CE4，则 AD 的长为 _ 解析设 r 是O 的半径由 CE2CA CB，解得 r3.由 CO CA OE AD ，解得 AD 24 5 . 答案 24 5 2(2014 北京模拟 )如图，AB，CD 是半径为 a的圆 O 的两条弦， 它们相交于 AB 的中点 P.若 PD 2a 3 ， OAP30 ， 则 AB
2、_， CP_.(用 a表示) 解析点 P是 AB 的中点， 由垂径定理知 OPAB， 在 RtOPA 中，BPAP 3a 2 ，AB2AP3a，由相交弦定理知BP AP CP DP，即 3a 2 3a 2 CP 2a 3 ，解得 CP 9a 8 . 答案3a 9a 8 3 如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E， EFDB， 垂足为 F，若 AB6，AE1，则 DF DB_. 解析根据相交弦定理得15DE2，根据直角三角形射影定理 得 DE2DF DB，所以 DF DB5. 答案5 4 如图，圆 O 的半径为 1， A， B， C 是圆周上的三点，满足ABC 30 ，过点
3、 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点P，则 PA _. 题图 答图 解析如图，连接 AO，AC，易知AOC60 ，AOC 为正三 角形 ACOA1，且 ACP120 .又由弦切角定理知CAP ABC30 ， APC30 .CPAC1，易得 PA 3. 答案3 5(2013 北京卷)如图，AB 为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于 D.若 PA3，PD:DB9:16，则 PD_； AB_. 解析由，设 PD9a，DB16a，根据切割线 定理 PA2PD PB 得 a1 5，所以 PD 9 5，PB5，在直角 PBA 中， 由勾股定理得 AB4. 答案 9
4、5 4 6 (2013 湖北卷 )如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D， 点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB3AD，则 CE EO的值为 _ 解析连接 AC，BC，则 ACBC.又 AB3AD，则 AD 1 3AB， BD 2 3AB， OD 1 6AB， OC 1 2AB.在ABC 中， CD 2AD BD2 9AB 2. 在OCD 中，OD 2OE OC，CD2CE OC 可得： OE 1 18AB，CE 4 9AB，所以 CE EO 4 9AB 1 18AB 4 9188. 答案8 7(2014 湖北八校联考 )已知 O1和O2交于点 C 和 D，O1 上的
5、点 P 处的切线交 O2于 A、B 点，交直线 CD 于点 E，M 是O2 上的一点，若PE2，EA1，AMB 45 ，那么 O2的半径为 _ 解析连接 AO2，BO2. AMB 45 ，AO2B90 . 设O2的半径为 r，则 AB 2r， 又 PE 2EC ED，EA EBEC ED， 所以 PE 2EA EB 即 41 (1 2r)，r3 2 2 . 答案 3 2 2 8(2013 广东卷)如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上延 长 BC 到 D 使 BCCD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB6， ED2，则 BC_. 解析连接 OC，则 OCCE，OCA
6、ACE90 ，OAC OCA，OACACE90 得ACBACD ，则OAC EAC，EACACE90 ，AEC90 .在 RtACD 中， CD2ED AD，又 CDBC，ADAB，将 AB6，ED2 代入得 CD2 3，所以 BC2 3. 答案2 3 9 (2013 陕西卷 )如图， 弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点P. 已知 PD2DA2, 则 PE_. 解析由 PEBC 得PEDCA， APE 中与EPD 中， APEEPD，PEDA，故PDEPEA，则 PD PE PE PA，即 PE 2PA PD，又 PAPDDA3，
7、PD2，故 PE2236，则 PE6. 答案6 二、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10(2013 江苏卷 )如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， AC 经过圆心 O，且 BC2OC. 求证： AC2AD. 题图 答图 证明连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以ADOACB90 . 又因为 AA，所以 RtADORtACB. 所以 BC OD AC AD . 又 BC2OC2OD，故 AC2AD. 11(2014 云南师大附中模拟 )如图，在正 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 AD1 3A
8、C，AE 2 3AB，BD，CE 相交于点 F. (1)求证： A，E，F，D 四点共圆； (2)若正 ABC 的边长为 2，求 A，E，F，D 所在圆的半径 解(1)证明： AE 2 3AB，BE 1 3AB. 在正ABC 中，AD 1 3AC，ADBE， 又 ABBC，BADCBE， BAD CBE，ADBBEC， 即ADFAEF180 ，A，E，F，D 四点共圆 (2)取 AE 的中点 G，连接 GD，则 AGGE1 2AE. AE2 3AB，AGGE 1 3AB 2 3. AD 1 3 AC 2 3，DAE60 ， AGD 为正三角形 GDAGAD2 3，即 GAGEGD 2 3， 点
9、 G 是AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为 2 3. 由于 A，E，F，D 四点共圆，即A，E，F，D 四点共圆 G，其 半径为 2 3. 12(2013 新课标全国卷 )如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D. ()证明： DBDC； ()设圆的半径为 1，BC3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径 解()证明：连接 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得， ABEBCE.而ABECBE，故CBE BCE，BECE. 又 DBBE，所以 DE 为直径，则DCE90 ，由勾股定理可得 DBDC. ()由()知，CDEBDE，DBDC， 故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG 3 2 . 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG60 . 从而ABEBCECBE30 ， 所以 CFBF，故 RtBCF 外接圆的半径等于 3 2 .